Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscafval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem psrvscafval 18691
 Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvsca.s mPwSer
psrvsca.n
psrvsca.k
psrvsca.b
psrvsca.m
psrvsca.d
Assertion
Ref Expression
psrvscafval
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   (,,)   ()   ()   ()

Proof of Theorem psrvscafval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvsca.s . . . . 5 mPwSer
2 psrvsca.k . . . . 5
3 eqid 2471 . . . . 5
4 psrvsca.m . . . . 5
5 eqid 2471 . . . . 5
6 psrvsca.d . . . . 5
7 psrvsca.b . . . . . 6
8 simpl 464 . . . . . 6
91, 2, 6, 7, 8psrbas 18679 . . . . 5
10 eqid 2471 . . . . . 6
111, 7, 3, 10psrplusg 18682 . . . . 5
12 eqid 2471 . . . . . 6
131, 7, 4, 12, 6psrmulr 18685 . . . . 5 g
14 eqid 2471 . . . . 5
15 eqidd 2472 . . . . 5
16 simpr 468 . . . . 5
171, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13, 14, 15, 8, 16psrval 18663 . . . 4 Scalar TopSet
1817fveq2d 5883 . . 3 Scalar TopSet
19 psrvsca.n . . 3
20 fvex 5889 . . . . . 6
212, 20eqeltri 2545 . . . . 5
22 fvex 5889 . . . . . 6
237, 22eqeltri 2545 . . . . 5
2421, 23mpt2ex 6889 . . . 4
25 psrvalstr 18664 . . . . 5 Scalar TopSet Struct
26 vscaid 15338 . . . . 5 Slot
27 snsstp2 4115 . . . . . 6 Scalar TopSet
28 ssun2 3589 . . . . . 6 Scalar TopSet Scalar TopSet
2927, 28sstri 3427 . . . . 5 Scalar TopSet
3025, 26, 29strfv 15235 . . . 4 Scalar TopSet
3124, 30ax-mp 5 . . 3 Scalar TopSet
3218, 19, 313eqtr4g 2530 . 2
33 eqid 2471 . . . . . 6
34 fn0 5705 . . . . . 6
3533, 34mpbir 214 . . . . 5
36 reldmpsr 18662 . . . . . . . . . 10 mPwSer
3736ovprc 6338 . . . . . . . . 9 mPwSer
381, 37syl5eq 2517 . . . . . . . 8
3938fveq2d 5883 . . . . . . 7
40 df-vsca 15285 . . . . . . . 8 Slot
4140str0 15239 . . . . . . 7
4239, 19, 413eqtr4g 2530 . . . . . 6
4336, 1, 7elbasov 15249 . . . . . . . . . 10
4443con3i 142 . . . . . . . . 9
4544eq0rdv 3773 . . . . . . . 8
4645xpeq2d 4863 . . . . . . 7
47 xp0 5261 . . . . . . 7
4846, 47syl6eq 2521 . . . . . 6
4942, 48fneq12d 5678 . . . . 5
5035, 49mpbiri 241 . . . 4
51 fnov 6423 . . . 4
5250, 51sylib 201 . . 3
5344pm2.21d 109 . . . . . 6
5453a1d 25 . . . . 5
55543imp 1224 . . . 4
5655mpt2eq3dva 6374 . . 3
5752, 56eqtr4d 2508 . 2
5832, 57pm2.61i 169 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  crab 2760  cvv 3031   cun 3388  c0 3722  csn 3959  ctp 3963  cop 3965   cxp 4837  ccnv 4838  cima 4842   wfn 5584  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310   cof 6548   cmap 7490  cfn 7587  c1 9558  cn 10631  c6 10685  c9 10688  cn0 10893  cnx 15196  cbs 15199   cplusg 15268  cmulr 15269  Scalarcsca 15271  cvsca 15272  TopSetcts 15274  ctopn 15398  cpt 15415   mPwSer cmps 18652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-tset 15287  df-psr 18657 This theorem is referenced by:  psrvsca  18692
 Copyright terms: Public domain W3C validator