MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscacl Structured version   Unicode version

Theorem psrvscacl 18552
Description: Closure of the power series scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvscacl.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrvscacl.n  |-  .x.  =  ( .s `  S )
psrvscacl.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
psrvscacl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrvscacl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrvscacl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
psrvscacl.y  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrvscacl  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  F
)  e.  B )

Proof of Theorem psrvscacl
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvscacl.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 psrvscacl.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
42, 3ringcl 17729 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  e.  K )
543expb 1206 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  K  /\  y  e.  K )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  K )
61, 5sylan 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  e.  K )
7 psrvscacl.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
8 fconst6g 5789 . . . . 5  |-  ( X  e.  K  ->  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { X } ) : {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> K )
97, 8syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X } ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> K )
10 psrvscacl.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
11 eqid 2429 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
12 psrvscacl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
13 psrvscacl.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
1410, 2, 11, 12, 13psrelbas 18538 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> K )
15 ovex 6333 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4576 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  e.  _V )
18 inidm 3677 . . . 4  |-  ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  i^i  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
196, 9, 14, 17, 17, 18off 6560 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X } )  oF ( .r `  R ) F ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> K )
20 fvex 5891 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
212, 20eqeltri 2513 . . . 4  |-  K  e. 
_V
2221, 16elmap 7508 . . 3  |-  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X } )  oF ( .r `  R ) F )  e.  ( K  ^m  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  <->  ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X }
)  oF ( .r `  R ) F ) : {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> K )
2319, 22sylibr 215 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X } )  oF ( .r `  R ) F )  e.  ( K  ^m  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
24 psrvscacl.n . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  S )
2510, 24, 2, 12, 3, 11, 7, 13psrvsca 18550 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  F
)  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) F ) )
26 reldmpsr 18520 . . . . . 6  |-  Rel  dom mPwSer
2726, 10, 12elbasov 15134 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)
2813, 27syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)
2928simpld 460 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
3010, 2, 11, 12, 29psrbas 18537 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( K  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
3123, 25, 303eltr4d 2532 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  F
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {crab 2786   _Vcvv 3087   {csn 4002    X. cxp 4852   `'ccnv 4853   "cima 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oFcof 6543    ^m cmap 7480   Fincfn 7577   NNcn 10609   NN0cn0 10869   Basecbs 15084   .rcmulr 15153   .scvsca 15156   Ringcrg 17715   mPwSer cmps 18510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-tset 15171  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mgp 17659  df-ring 17717  df-psr 18515
This theorem is referenced by:  psrlmod  18560  psrass23l  18567  psrass23  18569  mpllsslem  18594
  Copyright terms: Public domain W3C validator