MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscacl Structured version   Unicode version

Theorem psrvscacl 17476
Description: Closure of the power series scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvscacl.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrvscacl.n  |-  .x.  =  ( .s `  S )
psrvscacl.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
psrvscacl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrvscacl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrvscacl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
psrvscacl.y  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrvscacl  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  F
)  e.  B )

Proof of Theorem psrvscacl
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvscacl.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 psrvscacl.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
42, 3rngcl 16670 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  e.  K )
543expb 1188 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  K  /\  y  e.  K )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  K )
61, 5sylan 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  e.  K )
7 psrvscacl.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
8 fconst6g 5611 . . . . 5  |-  ( X  e.  K  ->  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { X } ) : {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> K )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X } ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> K )
10 psrvscacl.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
11 eqid 2443 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
12 psrvscacl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
13 psrvscacl.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
1410, 2, 11, 12, 13psrelbas 17462 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> K )
15 ovex 6128 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4455 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  e.  _V )
18 inidm 3571 . . . 4  |-  ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  i^i  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
196, 9, 14, 17, 17, 18off 6346 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X } )  oF ( .r `  R ) F ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> K )
20 fvex 5713 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
212, 20eqeltri 2513 . . . 4  |-  K  e. 
_V
2221, 16elmap 7253 . . 3  |-  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X } )  oF ( .r `  R ) F )  e.  ( K  ^m  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  <->  ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X }
)  oF ( .r `  R ) F ) : {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> K )
2319, 22sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { X } )  oF ( .r `  R ) F )  e.  ( K  ^m  { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
24 psrvscacl.n . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  S )
2510, 24, 2, 12, 3, 11, 7, 13psrvsca 17474 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  F
)  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) F ) )
26 reldmpsr 17440 . . . . . 6  |-  Rel  dom mPwSer
2726, 10, 12elbasov 14234 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)
2813, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)
2928simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
3010, 2, 11, 12, 29psrbas 17460 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( K  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
3123, 25, 303eltr4d 2524 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  F
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2731   _Vcvv 2984   {csn 3889    X. cxp 4850   `'ccnv 4851   "cima 4855   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    oFcof 6330    ^m cmap 7226   Fincfn 7322   NNcn 10334   NN0cn0 10591   Basecbs 14186   .rcmulr 14251   .scvsca 14254   Ringcrg 16657   mPwSer cmps 17430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-tset 14269  df-mnd 15427  df-mgp 16604  df-rng 16659  df-psr 17435
This theorem is referenced by:  psrlmod  17484  psrass23  17494  mpllsslem  17523  mpllsslemOLD  17525  psrass23l  30836
  Copyright terms: Public domain W3C validator