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Theorem psrridmOLD 18038
Description: The identity element of the ring of power series is a right identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Obsolete version of psrridm 18037 as of 8-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrring.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrring.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psr1cl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psr1cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psr1cl.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
psr1cl.u  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
psr1cl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrlidm.t  |-  .x.  =  ( .r `  S )
psrlidm.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrridmOLD  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  U
)  =  X )
Distinct variable groups:    x, f,  .0.    f, I, x    x, B    R, f, x    x, D    f, X, x    ph, x    x, V    x,  .x.    x, S   
x,  .1.
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .x. ( f)    U( x, f)    .1. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrridmOLD
Dummy variables  y 
z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 psr1cl.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
4 psr1cl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 psrlidm.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  S )
6 psrring.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 psrlidm.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 psrring.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
9 psr1cl.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
10 psr1cl.o . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
11 psr1cl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
121, 8, 6, 3, 9, 10, 11, 4psr1cl 18034 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  B )
131, 4, 5, 6, 7, 12psrmulcl 18020 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  U
)  e.  B )
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 18011 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  U
) : D --> ( Base `  R ) )
15 ffn 5721 . . 3  |-  ( ( X  .x.  U ) : D --> ( Base `  R )  ->  ( X  .x.  U )  Fn  D )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  U
)  Fn  D )
171, 2, 3, 4, 7psrelbas 18011 . . 3  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
18 ffn 5721 . . 3  |-  ( X : D --> ( Base `  R )  ->  X  Fn  D )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  X  Fn  D )
20 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
217adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  X  e.  B )
2212adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U  e.  B )
23 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
241, 4, 20, 5, 3, 21, 22, 23psrmulval 18018 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X  .x.  U
) `  y )  =  ( R  gsumg  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  oF  -  z
) ) ) ) ) )
258adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  I  e.  V )
263psrbagf 17993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
278, 26sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
28 nn0re 10811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  RR )
2928leidd 10126 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  <_ 
z )
3029adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  NN0 )  ->  z  <_  z )
3125, 27, 30caofref 6551 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  oR  <_  y )
32 breq1 4440 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  y  ->  (
g  oR  <_ 
y  <->  y  oR  <_  y ) )
3332elrab 3243 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  <->  ( y  e.  D  /\  y  oR  <_  y
) )
3423, 31, 33sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )
3534snssd 4160 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { y }  C_  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y } )
36 resmpt 5313 . . . . . 6  |-  ( { y }  C_  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  ->  ( ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  oF  -  z
) ) ) )  |`  { y } )  =  ( z  e. 
{ y }  |->  ( ( X `  z
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  oF  -  z ) ) ) ) )
3735, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { y } )  =  ( z  e.  { y }  |->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) ( U `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) )
3837oveq2d 6297 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { y } ) )  =  ( R  gsumg  ( z  e.  {
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) ) )
39 ringcmn 17208 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
406, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
4140adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
42 ovex 6309 . . . . . . . . 9  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
4342rabex 4588 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
443, 43eqeltri 2527 . . . . . . 7  |-  D  e. 
_V
4544rabex 4588 . . . . . 6  |-  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  e.  _V
4645a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  e.  _V )
476ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  ->  R  e.  Ring )
4817ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
49 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y } )
50 breq1 4440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  z  ->  (
g  oR  <_ 
y  <->  z  oR  <_  y ) )
5150elrab 3243 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  <->  ( z  e.  D  /\  z  oR  <_  y
) )
5249, 51sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( z  e.  D  /\  z  oR 
<_  y ) )
5352simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z  e.  D )
5448, 53ffvelrnd 6017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( X `  z
)  e.  ( Base `  R ) )
551, 2, 3, 4, 22psrelbas 18011 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U : D --> ( Base `  R
) )
5655adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  ->  U : D --> ( Base `  R ) )
578ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  ->  I  e.  V )
5823adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
y  e.  D )
593psrbagf 17993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  D )  ->  z : I --> NN0 )
6057, 53, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z : I --> NN0 )
6152simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z  oR  <_ 
y )
623psrbagcon 18001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( y  e.  D  /\  z : I --> NN0  /\  z  oR  <_  y
) )  ->  (
( y  oF  -  z )  e.  D  /\  ( y  oF  -  z
)  oR  <_ 
y ) )
6357, 58, 60, 61, 62syl13anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( ( y  oF  -  z )  e.  D  /\  (
y  oF  -  z )  oR  <_  y ) )
6463simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( y  oF  -  z )  e.  D )
6556, 64ffvelrnd 6017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( U `  (
y  oF  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
662, 20ringcl 17191 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( U `  ( y  oF  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  oF  -  z ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
6747, 54, 65, 66syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( ( X `  z ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  oF  -  z
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
68 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  oF  -  z
) ) ) )  =  ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  oF  -  z ) ) ) )
6967, 68fmptd 6040 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) ( U `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }
--> ( Base `  R
) )
70 eldifi 3611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { y } )  ->  z  e.  { g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y } )
7170, 64sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( y  oF  -  z
)  e.  D )
72 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  oF  -  z )  ->  ( x  =  ( I  X.  {
0 } )  <->  ( y  oF  -  z
)  =  ( I  X.  { 0 } ) ) )
7372ifbid 3948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  oF  -  z )  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
( y  oF  -  z )  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
74 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
7510, 74eqeltri 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  .1.  e.  _V
76 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
779, 76eqeltri 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  e.  _V
7875, 77ifex 3995 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( y  oF  -  z )  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
7973, 11, 78fvmpt 5941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  oF  -  z )  e.  D  ->  ( U `  (
y  oF  -  z ) )  =  if ( ( y  oF  -  z
)  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
8071, 79syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( U `  ( y  oF  -  z ) )  =  if ( ( y  oF  -  z )  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
81 eldifsni 4141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { y } )  ->  z  =/=  y )
8281adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { y } ) )  ->  z  =/=  y )
8382necomd 2714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { y } ) )  ->  y  =/=  z )
84 nn0sscn 10807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN0  C_  CC
85 fss 5729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y : I --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  y : I --> CC )
8627, 84, 85sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> CC )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
y : I --> CC )
88 fss 5729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z : I --> NN0  /\  NN0  C_  CC )  ->  z : I --> CC )
8960, 84, 88sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z : I --> CC )
90 ofsubeq0 10540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  y : I --> CC  /\  z : I --> CC )  ->  ( ( y  oF  -  z
)  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  y  =  z ) )
9157, 87, 89, 90syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( ( y  oF  -  z )  =  ( I  X.  { 0 } )  <-> 
y  =  z ) )
9270, 91sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( (
y  oF  -  z )  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  y  =  z ) )
9392necon3bbid 2690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( -.  ( y  oF  -  z )  =  ( I  X.  {
0 } )  <->  y  =/=  z ) )
9483, 93mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { y } ) )  ->  -.  (
y  oF  -  z )  =  ( I  X.  { 0 } ) )
95 iffalse 3935 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( y  oF  -  z )  =  ( I  X.  {
0 } )  ->  if ( ( y  oF  -  z )  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { y } ) )  ->  if (
( y  oF  -  z )  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
9780, 96eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( U `  ( y  oF  -  z ) )  =  .0.  )
9897oveq2d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( ( X `  z )
( .r `  R
) ( U `  ( y  oF  -  z ) ) )  =  ( ( X `  z ) ( .r `  R
)  .0.  ) )
992, 20, 9ringrz 17215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  z )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R )  .0.  )  =  .0.  )
10047, 54, 99syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( ( X `  z ) ( .r
`  R )  .0.  )  =  .0.  )
10170, 100sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( ( X `  z )
( .r `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
10298, 101eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { y } ) )  ->  ( ( X `  z )
( .r `  R
) ( U `  ( y  oF  -  z ) ) )  =  .0.  )
103102suppss2OLD 6515 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { y } )
104 snfi 7598 . . . . . 6  |-  { y }  e.  Fin
105 ssfi 7742 . . . . . 6  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  ( `' ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( X `
 z ) ( .r `  R ) ( U `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  { y } )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
106104, 103, 105sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
1072, 9, 41, 46, 69, 103, 106gsumresOLD 16904 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { y } ) )  =  ( R  gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) ) )
1086adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
109 ringmnd 17186 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
110108, 109syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Mnd )
111 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  y  =  y
112 ofsubeq0 10540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  y : I --> CC  /\  y : I --> CC )  ->  ( ( y  oF  -  y
)  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  y  =  y ) )
11325, 86, 86, 112syl3anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( y  oF  -  y )  =  ( I  X.  {
0 } )  <->  y  =  y ) )
114111, 113mpbiri 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
y  oF  -  y )  =  ( I  X.  { 0 } ) )
115114fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( U `  ( y  oF  -  y
) )  =  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) )
116 0nn0 10817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
117116fconst6 5765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } ) : I --> NN0 )
119 0fin 7749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  Fin
120 nn0suppOLD 10857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
121118, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
122116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
123 eldifi 3611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( I  \  (/) )  ->  x  e.  I )
124 fvconst2g 6109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  x  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `
 x )  =  0 )
125122, 123, 124syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (/) ) )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `  x )  =  0 )
126118, 125suppssOLD 6005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  (/) )
127121, 126eqsstr3d 3524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN ) 
C_  (/) )
128 ssfi 7742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  C_  (/) )  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
129119, 127, 128sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
1303psrbag 17992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I  X.  {
0 } )  e.  D  <->  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
1318, 130syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  <->  ( (
I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  {
0 } ) " NN )  e.  Fin ) ) )
132118, 129, 131mpbir2and 922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } )  e.  D )
133132adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  D
)
134 iftrue 3932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
135134, 11, 75fvmpt 5941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  ->  ( U `  (
I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
136133, 135syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
137115, 136eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( U `  ( y  oF  -  y
) )  =  .1.  )
138137oveq2d 6297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X `  y
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  oF  -  y ) ) )  =  ( ( X `  y
) ( .r `  R )  .1.  )
)
13917ffvelrnda 6016 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )
1402, 20, 10ringridm 17202 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  y
) ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X `  y ) )
141108, 139, 140syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X `  y
) ( .r `  R )  .1.  )  =  ( X `  y ) )
142138, 141eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X `  y
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  oF  -  y ) ) )  =  ( X `  y ) )
143142, 139eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X `  y
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  oF  -  y ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
144 fveq2 5856 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( X `  z )  =  ( X `  y ) )
145 oveq2 6289 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
y  oF  -  z )  =  ( y  oF  -  y ) )
146145fveq2d 5860 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( U `  ( y  oF  -  z
) )  =  ( U `  ( y  oF  -  y
) ) )
147144, 146oveq12d 6299 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( X `  z
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  oF  -  z ) ) )  =  ( ( X `  y
) ( .r `  R ) ( U `
 ( y  oF  -  y ) ) ) )
1482, 147gsumsn 16960 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  y  e.  D  /\  ( ( X `  y ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  oF  -  y
) ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) )  =  ( ( X `  y ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  oF  -  y
) ) ) )
149110, 23, 143, 148syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) )  =  ( ( X `  y ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  oF  -  y
) ) ) )
15038, 107, 1493eqtr3d 2492 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( X `  z ) ( .r `  R
) ( U `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) )  =  ( ( X `  y ) ( .r
`  R ) ( U `  ( y  oF  -  y
) ) ) )
15124, 150, 1423eqtrd 2488 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( X  .x.  U
) `  y )  =  ( X `  y ) )
15216, 19, 151eqfnfvd 5969 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  U
)  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   {crab 2797   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ifcif 3926   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   `'ccnv 4988    |` cres 4991   "cima 4992    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oFcof 6523    oRcofr 6524    ^m cmap 7422   Fincfn 7518   CCcc 9493   0cc0 9495    <_ cle 9632    - cmin 9810   NNcn 10543   NN0cn0 10802   Basecbs 14614   .rcmulr 14680   0gc0g 14819    gsumg cgsu 14820   Mndcmnd 15898  CMndccmn 16777   1rcur 17132   Ringcrg 17177   mPwSer cmps 17979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-tset 14698  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-psr 17984
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