Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrplusgpropd Structured version   Unicode version

Theorem psrplusgpropd 18822
 Description: Property deduction for power series addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrplusgpropd.b1
psrplusgpropd.b2
psrplusgpropd.p
Assertion
Ref Expression
psrplusgpropd mPwSer mPwSer
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem psrplusgpropd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1009 . . . . . . . 8 mPwSer mPwSer
2 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11 mPwSer mPwSer
3 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11
4 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11
5 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11 mPwSer mPwSer
6 simp2 1007 . . . . . . . . . . 11 mPwSer mPwSer mPwSer
72, 3, 4, 5, 6psrelbas 18596 . . . . . . . . . 10 mPwSer mPwSer
87ffvelrnda 6035 . . . . . . . . 9 mPwSer mPwSer
9 psrplusgpropd.b1 . . . . . . . . . 10
101, 9syl 17 . . . . . . . . 9 mPwSer mPwSer
118, 10eleqtrrd 2514 . . . . . . . 8 mPwSer mPwSer
12 simp3 1008 . . . . . . . . . . 11 mPwSer mPwSer mPwSer
132, 3, 4, 5, 12psrelbas 18596 . . . . . . . . . 10 mPwSer mPwSer
1413ffvelrnda 6035 . . . . . . . . 9 mPwSer mPwSer
1514, 10eleqtrrd 2514 . . . . . . . 8 mPwSer mPwSer
16 psrplusgpropd.p . . . . . . . . 9
1716oveqrspc2v 6326 . . . . . . . 8
181, 11, 15, 17syl12anc 1263 . . . . . . 7 mPwSer mPwSer
1918mpteq2dva 4508 . . . . . 6 mPwSer mPwSer
20 ffn 5744 . . . . . . . 8
217, 20syl 17 . . . . . . 7 mPwSer mPwSer
22 ffn 5744 . . . . . . . 8
2313, 22syl 17 . . . . . . 7 mPwSer mPwSer
24 ovex 6331 . . . . . . . . 9
2524rabex 4573 . . . . . . . 8
2625a1i 11 . . . . . . 7 mPwSer mPwSer
27 inidm 3672 . . . . . . 7
28 eqidd 2424 . . . . . . 7 mPwSer mPwSer
29 eqidd 2424 . . . . . . 7 mPwSer mPwSer
3021, 23, 26, 26, 27, 28, 29offval 6550 . . . . . 6 mPwSer mPwSer
3121, 23, 26, 26, 27, 28, 29offval 6550 . . . . . 6 mPwSer mPwSer
3219, 30, 313eqtr4d 2474 . . . . 5 mPwSer mPwSer
3332mpt2eq3dva 6367 . . . 4 mPwSer mPwSer mPwSer mPwSer
34 psrplusgpropd.b2 . . . . . . 7
359, 34eqtr3d 2466 . . . . . 6
3635psrbaspropd 18821 . . . . 5 mPwSer mPwSer
37 mpt2eq12 6363 . . . . 5 mPwSer mPwSer mPwSer mPwSer mPwSer mPwSer mPwSer mPwSer
3836, 36, 37syl2anc 666 . . . 4 mPwSer mPwSer mPwSer mPwSer
3933, 38eqtrd 2464 . . 3 mPwSer mPwSer mPwSer mPwSer
40 ofmres 6801 . . 3 mPwSer mPwSer mPwSer mPwSer
41 ofmres 6801 . . 3 mPwSer mPwSer mPwSer mPwSer
4239, 40, 413eqtr4g 2489 . 2 mPwSer mPwSer mPwSer mPwSer
43 eqid 2423 . . 3
44 eqid 2423 . . 3 mPwSer mPwSer
452, 5, 43, 44psrplusg 18598 . 2 mPwSer mPwSer mPwSer
46 eqid 2423 . . 3 mPwSer mPwSer
47 eqid 2423 . . 3 mPwSer mPwSer
48 eqid 2423 . . 3
49 eqid 2423 . . 3 mPwSer mPwSer
5046, 47, 48, 49psrplusg 18598 . 2 mPwSer mPwSer mPwSer
5142, 45, 503eqtr4g 2489 1 mPwSer mPwSer
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   w3a 983   wceq 1438   wcel 1869  crab 2780  cvv 3082   cmpt 4480   cxp 4849  ccnv 4850   cres 4853  cima 4854   wfn 5594  wf 5595  cfv 5599  (class class class)co 6303   cmpt2 6305   cof 6541   cmap 7478  cfn 7575  cn 10611  cn0 10871  cbs 15114   cplusg 15183   mPwSer cmps 18568 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-tset 15202  df-psr 18573 This theorem is referenced by:  ply1plusgpropd  18830
 Copyright terms: Public domain W3C validator