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Theorem psropprmul 18816
Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psropprmul.y  |-  Y  =  ( I mPwSer  R )
psropprmul.s  |-  S  =  (oppr
`  R )
psropprmul.z  |-  Z  =  ( I mPwSer  S )
psropprmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
psropprmul.u  |-  .xb  =  ( .r `  Z )
psropprmul.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
psropprmul  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  =  ( G  .x.  F
) )

Proof of Theorem psropprmul
Dummy variables  b 
c  e  f  a  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 ringcmn 17796 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
433ad2ant1 1026 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  R  e. CMnd )
54adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  R  e. CMnd )
6 ovex 6329 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
76rabex 4571 . . . . . . 7  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  e.  _V
87rabex 4571 . . . . . 6  |-  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  e.  _V
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b }  e.  _V )
10 simpll1 1044 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  R  e.  Ring )
11 psropprmul.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( I mPwSer  R )
12 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
13 psropprmul.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  Y
)
14 simp3 1007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
1511, 1, 12, 13, 14psrelbas 18588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
1615adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  G : {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R
) )
17 elrabi 3226 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b }  ->  e  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
18 ffvelrn 6031 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R )  /\  e  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( G `  e )  e.  ( Base `  R
) )
1916, 17, 18syl2an 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( G `  e )  e.  (
Base `  R )
)
20 simp2 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  B )
2111, 1, 12, 13, 20psrelbas 18588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
2221ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  F : {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R
) )
23 ssrab2 3546 . . . . . . . . 9  |-  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  C_  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }
24 reldmpsr 18570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  dom mPwSer
2511, 13, 24strov2rcl 15157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  B  ->  I  e.  _V )
26253ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  I  e.  _V )
2726ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  I  e.  _V )
28 simplr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
29 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b } )
30 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  =  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }
3112, 30psrbagconcl 18582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  /\  e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( b  oF  -  e
)  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b } )
3227, 28, 29, 31syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( b  oF  -  e )  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } )
3323, 32sseldi 3462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( b  oF  -  e )  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
3422, 33ffvelrnd 6034 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( F `  ( b  oF  -  e ) )  e.  ( Base `  R
) )
35 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
361, 35ringcl 17779 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G `  e )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( F `  ( b  oF  -  e ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
3710, 19, 34, 36syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( ( G `
 e ) ( .r `  R ) ( F `  (
b  oF  -  e ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
38 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  oF  -  e
) ) ) )  =  ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) )
3937, 38fmptd 6057 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) ) : { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } --> ( Base `  R ) )
40 mptexg 6146 . . . . . . 7  |-  ( { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  e.  _V  ->  ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) )  e.  _V )
418, 40mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) )  e. 
_V )
42 funmpt 5633 . . . . . . 7  |-  Fun  (
e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) )
4342a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  Fun  ( e  e.  { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) ) )
44 fvex 5887 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( 0g `  R )  e.  _V )
4612psrbaglefi 18581 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b }  e.  Fin )
4726, 46sylan 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b }  e.  Fin )
48 suppssdm 6934 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  dom  ( e  e.  { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) )
4938dmmptss 5346 . . . . . . . 8  |-  dom  (
e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) )  C_  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }
5048, 49sstri 3473 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b }
5150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  oF  -  e
) ) ) ) supp  ( 0g `  R
) )  C_  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b } )
52 suppssfifsupp 7900 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  oF  -  e
) ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e.  _V )  /\  ( { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  e.  Fin  /\  ( ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) ) 
C_  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } ) )  ->  (
e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) ) finSupp  ( 0g
`  R ) )
5341, 43, 45, 47, 51, 52syl32anc 1272 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
5412, 30psrbagconf1o 18583 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( b  oF  -  c ) ) : { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } -1-1-onto-> { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )
5526, 54sylan 473 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( b  oF  -  c ) ) : { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } -1-1-onto-> { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )
561, 2, 5, 9, 39, 53, 55gsumf1o 17535 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  oF  -  e
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) )  o.  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( b  oF  -  c
) ) ) ) )
5726ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  I  e.  _V )
58 simplr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
59 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b } )
6012, 30psrbagconcl 18582 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  /\  c  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( b  oF  -  c
)  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b } )
6157, 58, 59, 60syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( b  oF  -  c )  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } )
62 eqidd 2423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( b  oF  -  c ) )  =  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( b  oF  -  c
) ) )
63 eqidd 2423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) )  =  ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) ) )
64 fveq2 5877 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( b  oF  -  c )  ->  ( G `  e )  =  ( G `  ( b  oF  -  c
) ) )
65 oveq2 6309 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( b  oF  -  c )  ->  ( b  oF  -  e )  =  ( b  oF  -  ( b  oF  -  c
) ) )
6665fveq2d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( b  oF  -  c )  ->  ( F `  ( b  oF  -  e ) )  =  ( F `  ( b  oF  -  ( b  oF  -  c ) ) ) )
6764, 66oveq12d 6319 . . . . . . 7  |-  ( e  =  ( b  oF  -  c )  ->  ( ( G `
 e ) ( .r `  R ) ( F `  (
b  oF  -  e ) ) )  =  ( ( G `
 ( b  oF  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  ( b  oF  -  c
) ) ) ) )
6861, 62, 63, 67fmptco 6067 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  oF  -  e
) ) ) )  o.  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( b  oF  -  c ) ) )  =  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  (
b  oF  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `  (
b  oF  -  ( b  oF  -  c ) ) ) ) ) )
6912psrbagf 18574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  b : I --> NN0 )
7026, 69sylan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  b : I --> NN0 )
7170adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  b : I --> NN0 )
7226adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  I  e.  _V )
73 elrabi 3226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b }  ->  c  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
7412psrbagf 18574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  _V  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  c : I --> NN0 )
7572, 73, 74syl2an 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  c : I --> NN0 )
76 nn0cn 10879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  NN0  ->  e  e.  CC )
77 nn0cn 10879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  NN0  ->  f  e.  CC )
78 nncan 9903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( e  e.  CC  /\  f  e.  CC )  ->  ( e  -  (
e  -  f ) )  =  f )
7976, 77, 78syl2an 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( e  e.  NN0  /\  f  e.  NN0 )  -> 
( e  -  (
e  -  f ) )  =  f )
8079adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } )  /\  c  e.  { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  /\  ( e  e. 
NN0  /\  f  e.  NN0 ) )  ->  (
e  -  ( e  -  f ) )  =  f )
8157, 71, 75, 80caonncan 6579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( b  oF  -  ( b  oF  -  c
) )  =  c )
8281fveq2d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( F `  ( b  oF  -  ( b  oF  -  c ) ) )  =  ( F `  c ) )
8382oveq2d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( ( G `
 ( b  oF  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  ( b  oF  -  c
) ) ) )  =  ( ( G `
 ( b  oF  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `
 c ) ) )
84 psropprmul.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  (oppr
`  R )
85 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
861, 35, 84, 85opprmul 17839 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) )  =  ( ( G `  ( b  oF  -  c
) ) ( .r
`  R ) ( F `  c ) )
8783, 86syl6eqr 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( ( G `
 ( b  oF  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  ( b  oF  -  c
) ) ) )  =  ( ( F `
 c ) ( .r `  S ) ( G `  (
b  oF  -  c ) ) ) )
8887mpteq2dva 4507 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  (
b  oF  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `  (
b  oF  -  ( b  oF  -  c ) ) ) ) )  =  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) )
8968, 88eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  oF  -  e
) ) ) )  o.  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( b  oF  -  c ) ) )  =  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( F `  c
) ( .r `  S ) ( G `
 ( b  oF  -  c ) ) ) ) )
9089oveq2d 6317 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( ( e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) )  o.  (
c  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( b  oF  -  c
) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( F `  c ) ( .r
`  S ) ( G `  ( b  oF  -  c
) ) ) ) ) )
918mptex 6147 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( F `  c ) ( .r
`  S ) ( G `  ( b  oF  -  c
) ) ) )  e.  _V
9291a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( F `  c ) ( .r
`  S ) ( G `  ( b  oF  -  c
) ) ) )  e.  _V )
93 id 23 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Ring )
94 fvex 5887 . . . . . . . . 9  |-  (oppr `  R
)  e.  _V
9584, 94eqeltri 2506 . . . . . . . 8  |-  S  e. 
_V
9695a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  S  e. 
_V )
9784, 1opprbas 17842 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  S )
9897a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  S )
)
99 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
10084, 99oppradd 17843 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  S )
101100a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  S ) )
10292, 93, 96, 98, 101gsumpropd 16500 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( R 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) ) )
1031023ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( R  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) ) )
104103adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( F `  c ) ( .r
`  S ) ( G `  ( b  oF  -  c
) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) ) )
10556, 90, 1043eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  oF  -  e
) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) ) )
106105mpteq2dva 4507 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  ( R  gsumg  ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) ) ) )  =  ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( S 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) ) ) )
107 psropprmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
10811, 13, 35, 107, 12, 14, 20psrmulfval 18594 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( G  .x.  F )  =  ( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  ( R  gsumg  ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) ) ) ) )
109 psropprmul.z . . 3  |-  Z  =  ( I mPwSer  S )
110 eqid 2422 . . 3  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
111 psropprmul.u . . 3  |-  .xb  =  ( .r `  Z )
11297a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  S
) )
113112psrbaspropd 18813 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( Base `  ( I mPwSer  R
) )  =  (
Base `  ( I mPwSer  S ) ) )
11411fveq2i 5880 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  ( I mPwSer  R ) )
11513, 114eqtri 2451 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )
116109fveq2i 5880 . . . . 5  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  ( I mPwSer  S ) )
117113, 115, 1163eqtr4g 2488 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  B  =  ( Base `  Z
) )
11820, 117eleqtrd 2512 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  ( Base `  Z
) )
11914, 117eleqtrd 2512 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  ( Base `  Z
) )
120109, 110, 85, 111, 12, 118, 119psrmulfval 18594 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  =  ( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  ( S  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) ) ) )
121106, 108, 1203eqtr4rd 2474 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  =  ( G  .x.  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   {crab 2779   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   `'ccnv 4848   dom cdm 4849   "cima 4852    o. ccom 4853   Fun wfun 5591   -->wf 5593   -1-1-onto->wf1o 5596   ` cfv 5597  (class class class)co 6301    oFcof 6539    oRcofr 6540   supp csupp 6921    ^m cmap 7476   Fincfn 7573   finSupp cfsupp 7885   CCcc 9537    <_ cle 9676    - cmin 9860   NNcn 10609   NN0cn0 10869   Basecbs 15106   +g cplusg 15175   .rcmulr 15176   0gc0g 15323    gsumg cgsu 15324  CMndccmn 17415   Ringcrg 17765  opprcoppr 17835   mPwSer cmps 18560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-ofr 6542  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-tpos 6977  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-oi 8027  df-card 8374  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-hash 12515  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-sca 15191  df-vsca 15192  df-tset 15194  df-0g 15325  df-gsum 15326  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-grp 16658  df-minusg 16659  df-cntz 16956  df-cmn 17417  df-abl 17418  df-mgp 17709  df-ur 17721  df-ring 17767  df-oppr 17836  df-psr 18565
This theorem is referenced by:  ply1opprmul  18817
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