Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psropprmul Structured version   Unicode version

Theorem psropprmul 18147
 Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psropprmul.y mPwSer
psropprmul.s oppr
psropprmul.z mPwSer
psropprmul.t
psropprmul.u
psropprmul.b
Assertion
Ref Expression
psropprmul

Proof of Theorem psropprmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . . 5
2 eqid 2441 . . . . 5
3 ringcmn 17097 . . . . . . 7 CMnd
433ad2ant1 1016 . . . . . 6 CMnd
54adantr 465 . . . . 5 CMnd
6 ovex 6305 . . . . . . . 8
76rabex 4584 . . . . . . 7
87rabex 4584 . . . . . 6
98a1i 11 . . . . 5
10 simpll1 1034 . . . . . . 7
11 psropprmul.y . . . . . . . . . 10 mPwSer
12 eqid 2441 . . . . . . . . . 10
13 psropprmul.b . . . . . . . . . 10
14 simp3 997 . . . . . . . . . 10
1511, 1, 12, 13, 14psrelbas 17900 . . . . . . . . 9
1615adantr 465 . . . . . . . 8
17 elrabi 3238 . . . . . . . 8
18 ffvelrn 6010 . . . . . . . 8
1916, 17, 18syl2an 477 . . . . . . 7
20 simp2 996 . . . . . . . . . 10
2111, 1, 12, 13, 20psrelbas 17900 . . . . . . . . 9
2221ad2antrr 725 . . . . . . . 8
23 ssrab2 3567 . . . . . . . . 9
24 reldmpsr 17878 . . . . . . . . . . . . 13 mPwSer
2511, 13, 24strov2rcl 14553 . . . . . . . . . . . 12
26253ad2ant3 1018 . . . . . . . . . . 11
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
28 simplr 754 . . . . . . . . . 10
29 simpr 461 . . . . . . . . . 10
30 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11
3112, 30psrbagconcl 17893 . . . . . . . . . 10
3227, 28, 29, 31syl3anc 1227 . . . . . . . . 9
3323, 32sseldi 3484 . . . . . . . 8
3422, 33ffvelrnd 6013 . . . . . . 7
35 eqid 2441 . . . . . . . 8
361, 35ringcl 17080 . . . . . . 7
3710, 19, 34, 36syl3anc 1227 . . . . . 6
38 eqid 2441 . . . . . 6
3937, 38fmptd 6036 . . . . 5
40 mptexg 6123 . . . . . . 7
418, 40mp1i 12 . . . . . 6
42 funmpt 5610 . . . . . . 7
4342a1i 11 . . . . . 6
44 fvex 5862 . . . . . . 7
4544a1i 11 . . . . . 6
4612psrbaglefi 17891 . . . . . . 7
4726, 46sylan 471 . . . . . 6
48 suppssdm 6912 . . . . . . . 8 supp
4938dmmptss 5489 . . . . . . . 8
5048, 49sstri 3495 . . . . . . 7 supp
5150a1i 11 . . . . . 6 supp
52 suppssfifsupp 7842 . . . . . 6 supp finSupp
5341, 43, 45, 47, 51, 52syl32anc 1235 . . . . 5 finSupp
5412, 30psrbagconf1o 17894 . . . . . 6
5526, 54sylan 471 . . . . 5
561, 2, 5, 9, 39, 53, 55gsumf1o 16793 . . . 4 g g
5726ad2antrr 725 . . . . . . . 8
58 simplr 754 . . . . . . . 8
59 simpr 461 . . . . . . . 8
6012, 30psrbagconcl 17893 . . . . . . . 8
6157, 58, 59, 60syl3anc 1227 . . . . . . 7
62 eqidd 2442 . . . . . . 7
63 eqidd 2442 . . . . . . 7
64 fveq2 5852 . . . . . . . 8
65 oveq2 6285 . . . . . . . . 9
6665fveq2d 5856 . . . . . . . 8
6764, 66oveq12d 6295 . . . . . . 7
6861, 62, 63, 67fmptco 6045 . . . . . 6
6912psrbagf 17882 . . . . . . . . . . . . 13
7026, 69sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
7170adantr 465 . . . . . . . . . . 11
7226adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
73 elrabi 3238 . . . . . . . . . . . 12
7412psrbagf 17882 . . . . . . . . . . . 12
7572, 73, 74syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
76 nn0cn 10806 . . . . . . . . . . . . 13
77 nn0cn 10806 . . . . . . . . . . . . 13
78 nncan 9848 . . . . . . . . . . . . 13
7976, 77, 78syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12
8079adantl 466 . . . . . . . . . . 11
8157, 71, 75, 80caonncan 6559 . . . . . . . . . 10
8281fveq2d 5856 . . . . . . . . 9
8382oveq2d 6293 . . . . . . . 8
84 psropprmul.s . . . . . . . . 9 oppr
85 eqid 2441 . . . . . . . . 9
861, 35, 84, 85opprmul 17143 . . . . . . . 8
8783, 86syl6eqr 2500 . . . . . . 7
8887mpteq2dva 4519 . . . . . 6
8968, 88eqtrd 2482 . . . . 5
9089oveq2d 6293 . . . 4 g g
918mptex 6124 . . . . . . . 8
9291a1i 11 . . . . . . 7
93 id 22 . . . . . . 7
94 fvex 5862 . . . . . . . . 9 oppr
9584, 94eqeltri 2525 . . . . . . . 8
9695a1i 11 . . . . . . 7
9784, 1opprbas 17146 . . . . . . . 8
9897a1i 11 . . . . . . 7
99 eqid 2441 . . . . . . . . 9
10084, 99oppradd 17147 . . . . . . . 8
101100a1i 11 . . . . . . 7
10292, 93, 96, 98, 101gsumpropd 15768 . . . . . 6 g g
1031023ad2ant1 1016 . . . . 5 g g
104103adantr 465 . . . 4 g g
10556, 90, 1043eqtrd 2486 . . 3 g g
106105mpteq2dva 4519 . 2 g g
107 psropprmul.t . . 3
10811, 13, 35, 107, 12, 14, 20psrmulfval 17906 . 2 g
109 psropprmul.z . . 3 mPwSer
110 eqid 2441 . . 3
111 psropprmul.u . . 3
11297a1i 11 . . . . . 6
113112psrbaspropd 18144 . . . . 5 mPwSer mPwSer
11411fveq2i 5855 . . . . . 6 mPwSer
11513, 114eqtri 2470 . . . . 5 mPwSer
116109fveq2i 5855 . . . . 5 mPwSer
117113, 115, 1163eqtr4g 2507 . . . 4
11820, 117eleqtrd 2531 . . 3
11914, 117eleqtrd 2531 . . 3
120109, 110, 85, 111, 12, 118, 119psrmulfval 17906 . 2 g
121106, 108, 1203eqtr4rd 2493 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 972   wceq 1381   wcel 1802  crab 2795  cvv 3093   wss 3458   class class class wbr 4433   cmpt 4491  ccnv 4984   cdm 4985  cima 4988   ccom 4989   wfun 5568  wf 5570  wf1o 5573  cfv 5574  (class class class)co 6277   cof 6519   cofr 6520   supp csupp 6899   cmap 7418  cfn 7514   finSupp cfsupp 7827  cc 9488   cle 9627   cmin 9805  cn 10537  cn0 10796  cbs 14504   cplusg 14569  cmulr 14570  c0g 14709   g cgsu 14710  CMndccmn 16667  crg 17066  opprcoppr 17139   mPwSer cmps 17868 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-tpos 6953  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-hash 12380  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-tset 14588  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-abl 16670  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-oppr 17140  df-psr 17873 This theorem is referenced by:  ply1opprmul  18148
 Copyright terms: Public domain W3C validator