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Theorem psropprmul 17668
Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psropprmul.y  |-  Y  =  ( I mPwSer  R )
psropprmul.s  |-  S  =  (oppr
`  R )
psropprmul.z  |-  Z  =  ( I mPwSer  S )
psropprmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
psropprmul.u  |-  .xb  =  ( .r `  Z )
psropprmul.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
psropprmul  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  =  ( G  .x.  F
) )

Proof of Theorem psropprmul
Dummy variables  b 
c  e  f  a  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 rngcmn 16663 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
433ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  R  e. CMnd )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  R  e. CMnd )
6 ovex 6111 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
76rabex 4438 . . . . . . 7  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  e.  _V
87rabex 4438 . . . . . 6  |-  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  e.  _V
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b }  e.  _V )
10 simpll1 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  R  e.  Ring )
11 psropprmul.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( I mPwSer  R )
12 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
13 psropprmul.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  Y
)
14 simp3 990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
1511, 1, 12, 13, 14psrelbas 17427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
1615adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  G : {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R
) )
17 elrabi 3109 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b }  ->  e  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
18 ffvelrn 5836 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R )  /\  e  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( G `  e )  e.  ( Base `  R
) )
1916, 17, 18syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( G `  e )  e.  (
Base `  R )
)
20 simp2 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  B )
2111, 1, 12, 13, 20psrelbas 17427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  F : {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R
) )
23 ssrab2 3432 . . . . . . . . 9  |-  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  C_  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }
24 reldmpsr 17405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  dom mPwSer
2511, 13, 24strov2rcl 17667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  B  ->  I  e.  _V )
26253ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  I  e.  _V )
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  I  e.  _V )
28 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
29 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b } )
30 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  =  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }
3112, 30psrbagconcl 17420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  /\  e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( b  oF  -  e
)  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b } )
3227, 28, 29, 31syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( b  oF  -  e )  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } )
3323, 32sseldi 3349 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( b  oF  -  e )  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
3422, 33ffvelrnd 5839 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( F `  ( b  oF  -  e ) )  e.  ( Base `  R
) )
35 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
361, 35rngcl 16646 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G `  e )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( F `  ( b  oF  -  e ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
3710, 19, 34, 36syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( ( G `
 e ) ( .r `  R ) ( F `  (
b  oF  -  e ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
38 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  oF  -  e
) ) ) )  =  ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) )
3937, 38fmptd 5862 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) ) : { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } --> ( Base `  R ) )
40 mptexg 5942 . . . . . . 7  |-  ( { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  e.  _V  ->  ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) )  e.  _V )
418, 40mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) )  e. 
_V )
42 funmpt 5449 . . . . . . 7  |-  Fun  (
e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) )
4342a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  Fun  ( e  e.  { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) ) )
44 fvex 5696 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( 0g `  R )  e.  _V )
4612psrbaglefi 17418 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b }  e.  Fin )
4726, 46sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b }  e.  Fin )
48 suppssdm 6698 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  dom  ( e  e.  { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) )
4938dmmptss 5329 . . . . . . . 8  |-  dom  (
e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) )  C_  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }
5048, 49sstri 3360 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b }
5150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  oF  -  e
) ) ) ) supp  ( 0g `  R
) )  C_  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b } )
52 suppssfifsupp 7627 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  oF  -  e
) ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e.  _V )  /\  ( { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  e.  Fin  /\  ( ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) ) 
C_  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } ) )  ->  (
e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) ) finSupp  ( 0g
`  R ) )
5341, 43, 45, 47, 51, 52syl32anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
5412, 30psrbagconf1o 17421 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( b  oF  -  c ) ) : { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } -1-1-onto-> { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )
5526, 54sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( b  oF  -  c ) ) : { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } -1-1-onto-> { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )
561, 2, 5, 9, 39, 53, 55gsumf1o 16389 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  oF  -  e
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) )  o.  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( b  oF  -  c
) ) ) ) )
5726ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  I  e.  _V )
58 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
59 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b } )
6012, 30psrbagconcl 17420 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  /\  c  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( b  oF  -  c
)  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b } )
6157, 58, 59, 60syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( b  oF  -  c )  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } )
62 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( b  oF  -  c ) )  =  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( b  oF  -  c
) ) )
63 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  e ) ) ) )  =  ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) ) )
64 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( b  oF  -  c )  ->  ( G `  e )  =  ( G `  ( b  oF  -  c
) ) )
65 oveq2 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( b  oF  -  c )  ->  ( b  oF  -  e )  =  ( b  oF  -  ( b  oF  -  c
) ) )
6665fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( b  oF  -  c )  ->  ( F `  ( b  oF  -  e ) )  =  ( F `  ( b  oF  -  ( b  oF  -  c ) ) ) )
6764, 66oveq12d 6104 . . . . . . 7  |-  ( e  =  ( b  oF  -  c )  ->  ( ( G `
 e ) ( .r `  R ) ( F `  (
b  oF  -  e ) ) )  =  ( ( G `
 ( b  oF  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  ( b  oF  -  c
) ) ) ) )
6861, 62, 63, 67fmptco 5871 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  oF  -  e
) ) ) )  o.  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( b  oF  -  c ) ) )  =  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  (
b  oF  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `  (
b  oF  -  ( b  oF  -  c ) ) ) ) ) )
6912psrbagf 17409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  b : I --> NN0 )
7026, 69sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  b : I --> NN0 )
7170adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  b : I --> NN0 )
7226adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  I  e.  _V )
73 elrabi 3109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b }  ->  c  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
7412psrbagf 17409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  _V  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  c : I --> NN0 )
7572, 73, 74syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  c : I --> NN0 )
76 nn0cn 10581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  NN0  ->  e  e.  CC )
77 nn0cn 10581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  NN0  ->  f  e.  CC )
78 nncan 9630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( e  e.  CC  /\  f  e.  CC )  ->  ( e  -  (
e  -  f ) )  =  f )
7976, 77, 78syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( e  e.  NN0  /\  f  e.  NN0 )  -> 
( e  -  (
e  -  f ) )  =  f )
8079adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } )  /\  c  e.  { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  /\  ( e  e. 
NN0  /\  f  e.  NN0 ) )  ->  (
e  -  ( e  -  f ) )  =  f )
8157, 71, 75, 80caonncan 6353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( b  oF  -  ( b  oF  -  c
) )  =  c )
8281fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( F `  ( b  oF  -  ( b  oF  -  c ) ) )  =  ( F `  c ) )
8382oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( ( G `
 ( b  oF  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  ( b  oF  -  c
) ) ) )  =  ( ( G `
 ( b  oF  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `
 c ) ) )
84 psropprmul.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  (oppr
`  R )
85 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
861, 35, 84, 85opprmul 16706 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) )  =  ( ( G `  ( b  oF  -  c
) ) ( .r
`  R ) ( F `  c ) )
8783, 86syl6eqr 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b } )  ->  ( ( G `
 ( b  oF  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  oF  -  ( b  oF  -  c
) ) ) )  =  ( ( F `
 c ) ( .r `  S ) ( G `  (
b  oF  -  c ) ) ) )
8887mpteq2dva 4373 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( G `  (
b  oF  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `  (
b  oF  -  ( b  oF  -  c ) ) ) ) )  =  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) )
8968, 88eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  oF  -  e
) ) ) )  o.  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( b  oF  -  c ) ) )  =  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  oR  <_  b }  |->  ( ( F `  c
) ( .r `  S ) ( G `
 ( b  oF  -  c ) ) ) ) )
9089oveq2d 6102 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( ( e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) )  o.  (
c  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( b  oF  -  c
) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( F `  c ) ( .r
`  S ) ( G `  ( b  oF  -  c
) ) ) ) ) )
918mptex 5943 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( F `  c ) ( .r
`  S ) ( G `  ( b  oF  -  c
) ) ) )  e.  _V
9291a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( F `  c ) ( .r
`  S ) ( G `  ( b  oF  -  c
) ) ) )  e.  _V )
93 id 22 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Ring )
94 fvex 5696 . . . . . . . . 9  |-  (oppr `  R
)  e.  _V
9584, 94eqeltri 2508 . . . . . . . 8  |-  S  e. 
_V
9695a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  S  e. 
_V )
9784, 1opprbas 16709 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  S )
9897a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  S )
)
99 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
10084, 99oppradd 16710 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  S )
101100a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  S ) )
10292, 93, 96, 98, 101gsumpropd 15495 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( R 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) ) )
1031023ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( R  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) ) )
104103adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( F `  c ) ( .r
`  S ) ( G `  ( b  oF  -  c
) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) ) )
10556, 90, 1043eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  oR  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  oF  -  e
) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) ) )
106105mpteq2dva 4373 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  ( R  gsumg  ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) ) ) )  =  ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( S 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) ) ) )
107 psropprmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
10811, 13, 35, 107, 12, 14, 20psrmulfval 17433 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( G  .x.  F )  =  ( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  ( R  gsumg  ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  oF  -  e ) ) ) ) ) ) )
109 psropprmul.z . . 3  |-  Z  =  ( I mPwSer  S )
110 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
111 psropprmul.u . . 3  |-  .xb  =  ( .r `  Z )
11297a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  S
) )
113112psrbaspropd 17664 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( Base `  ( I mPwSer  R
) )  =  (
Base `  ( I mPwSer  S ) ) )
11411fveq2i 5689 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  ( I mPwSer  R ) )
11513, 114eqtri 2458 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )
116109fveq2i 5689 . . . . 5  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  ( I mPwSer  S ) )
117113, 115, 1163eqtr4g 2495 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  B  =  ( Base `  Z
) )
11820, 117eleqtrd 2514 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  ( Base `  Z
) )
11914, 117eleqtrd 2514 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  ( Base `  Z
) )
120109, 110, 85, 111, 12, 118, 119psrmulfval 17433 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  =  ( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  ( S  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  oR  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  oF  -  c ) ) ) ) ) ) )
121106, 108, 1203eqtr4rd 2481 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  =  ( G  .x.  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   "cima 4838    o. ccom 4839   Fun wfun 5407   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313    oRcofr 6314   supp csupp 6685    ^m cmap 7206   Fincfn 7302   finSupp cfsupp 7612   CCcc 9272    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   NN0cn0 10571   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   .rcmulr 14231   0gc0g 14370    gsumg cgsu 14371  CMndccmn 16268   Ringcrg 16633  opprcoppr 16702   mPwSer cmps 17395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-tset 14249  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-oppr 16703  df-psr 17400
This theorem is referenced by:  ply1opprmul  17669
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