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Theorem psropprmul 16587
Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psropprmul.y  |-  Y  =  ( I mPwSer  R )
psropprmul.s  |-  S  =  (oppr
`  R )
psropprmul.z  |-  Z  =  ( I mPwSer  S )
psropprmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
psropprmul.u  |-  .xb  =  ( .r `  Z )
psropprmul.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
psropprmul  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  =  ( G  .x.  F
) )

Proof of Theorem psropprmul
Dummy variables  b 
c  e  f  a  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 rngcmn 15649 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
433ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  R  e. CMnd )
54adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  R  e. CMnd )
6 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
76rabex 4314 . . . . . . 7  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  e.  _V
87rabex 4314 . . . . . 6  |-  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  e.  _V
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b }  e.  _V )
10 simpll1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  R  e.  Ring )
11 psropprmul.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( I mPwSer  R )
12 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
13 psropprmul.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  Y
)
14 simp3 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
1511, 1, 12, 13, 14psrelbas 16399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
1615adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  G : {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R
) )
17 elrabi 3050 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b }  ->  e  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
18 ffvelrn 5827 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R )  /\  e  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } )  ->  ( G `  e )  e.  ( Base `  R
) )
1916, 17, 18syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( G `  e )  e.  (
Base `  R )
)
20 simp2 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  B )
2111, 1, 12, 13, 20psrelbas 16399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F : { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
2221ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  F : {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R
) )
23 ssrab2 3388 . . . . . . . . 9  |-  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  C_  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }
24 reldmpsr 16383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  dom mPwSer
2511, 13, 24strov2rcl 16586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  B  ->  I  e.  _V )
26253ad2ant3 980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  I  e.  _V )
2726ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  I  e.  _V )
28 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
29 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b } )
30 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  =  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }
3112, 30psrbagconcl 16393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  /\  e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( b  o F  -  e
)  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b } )
3227, 28, 29, 31syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( b  o F  -  e )  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } )
3323, 32sseldi 3306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( b  o F  -  e )  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
3422, 33ffvelrnd 5830 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( F `  ( b  o F  -  e ) )  e.  ( Base `  R
) )
35 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
361, 35rngcl 15632 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G `  e )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( F `  ( b  o F  -  e ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  o F  -  e ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
3710, 19, 34, 36syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( ( G `
 e ) ( .r `  R ) ( F `  (
b  o F  -  e ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
38 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  o F  -  e
) ) ) )  =  ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  o F  -  e ) ) ) )
3937, 38fmptd 5852 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  o F  -  e ) ) ) ) : { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } --> ( Base `  R ) )
4012psrbaglefi 16392 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b }  e.  Fin )
4126, 40sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b }  e.  Fin )
42 cnvimass 5183 . . . . . . 7  |-  ( `' ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) )
4338dmmptss 5325 . . . . . . 7  |-  dom  (
e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) )  C_  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }
4442, 43sstri 3317 . . . . . 6  |-  ( `' ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }
45 ssfi 7288 . . . . . 6  |-  ( ( { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  e.  Fin  /\  ( `' ( e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b } )  -> 
( `' ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  o F  -  e
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
4641, 44, 45sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( `' ( e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
4712, 30psrbagconf1o 16394 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( b  o F  -  c ) ) : { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } -1-1-onto-> { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )
4826, 47sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( b  o F  -  c ) ) : { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } -1-1-onto-> { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )
491, 2, 5, 9, 39, 46, 48gsumf1o 15477 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  o F  -  e
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  o F  -  e ) ) ) )  o.  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( b  o F  -  c
) ) ) ) )
5026ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  I  e.  _V )
51 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
52 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b } )
5312, 30psrbagconcl 16393 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  /\  c  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( b  o F  -  c
)  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b } )
5450, 51, 52, 53syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( b  o F  -  c )  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } )
55 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( b  o F  -  c ) )  =  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( b  o F  -  c
) ) )
56 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( e  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( G `  e
) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  o F  -  e ) ) ) )  =  ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) ) )
57 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( b  o F  -  c )  ->  ( G `  e )  =  ( G `  ( b  o F  -  c
) ) )
58 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( b  o F  -  c )  ->  ( b  o F  -  e )  =  ( b  o F  -  ( b  o F  -  c
) ) )
5958fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( b  o F  -  c )  ->  ( F `  ( b  o F  -  e ) )  =  ( F `  ( b  o F  -  ( b  o F  -  c ) ) ) )
6057, 59oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( e  =  ( b  o F  -  c )  ->  ( ( G `
 e ) ( .r `  R ) ( F `  (
b  o F  -  e ) ) )  =  ( ( G `
 ( b  o F  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  o F  -  ( b  o F  -  c
) ) ) ) )
6154, 55, 56, 60fmptco 5860 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  o F  -  e
) ) ) )  o.  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( b  o F  -  c ) ) )  =  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( G `  (
b  o F  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `  (
b  o F  -  ( b  o F  -  c ) ) ) ) ) )
6212psrbagf 16387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  b : I --> NN0 )
6326, 62sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  b : I --> NN0 )
6463adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  b : I --> NN0 )
6526adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  I  e.  _V )
66 elrabi 3050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b }  ->  c  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )
6712psrbagf 16387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  _V  /\  c  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  c : I --> NN0 )
6865, 66, 67syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  c : I --> NN0 )
69 nn0cn 10187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  NN0  ->  e  e.  CC )
70 nn0cn 10187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  NN0  ->  f  e.  CC )
71 nncan 9286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( e  e.  CC  /\  f  e.  CC )  ->  ( e  -  (
e  -  f ) )  =  f )
7269, 70, 71syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( e  e.  NN0  /\  f  e.  NN0 )  -> 
( e  -  (
e  -  f ) )  =  f )
7372adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin } )  /\  c  e.  { d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  /\  ( e  e. 
NN0  /\  f  e.  NN0 ) )  ->  (
e  -  ( e  -  f ) )  =  f )
7450, 64, 68, 73caonncan 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( b  o F  -  ( b  o F  -  c
) )  =  c )
7574fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( F `  ( b  o F  -  ( b  o F  -  c ) ) )  =  ( F `  c ) )
7675oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( ( G `
 ( b  o F  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  o F  -  ( b  o F  -  c
) ) ) )  =  ( ( G `
 ( b  o F  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `
 c ) ) )
77 psropprmul.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  (oppr
`  R )
78 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
791, 35, 77, 78opprmul 15686 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) )  =  ( ( G `  ( b  o F  -  c
) ) ( .r
`  R ) ( F `  c ) )
8076, 79syl6eqr 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B
)  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  /\  c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b } )  ->  ( ( G `
 ( b  o F  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `
 ( b  o F  -  ( b  o F  -  c
) ) ) )  =  ( ( F `
 c ) ( .r `  S ) ( G `  (
b  o F  -  c ) ) ) )
8180mpteq2dva 4255 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( G `  (
b  o F  -  c ) ) ( .r `  R ) ( F `  (
b  o F  -  ( b  o F  -  c ) ) ) ) )  =  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) )
8261, 81eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  o F  -  e
) ) ) )  o.  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( b  o F  -  c ) ) )  =  ( c  e. 
{ d  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |  d  o R  <_  b }  |->  ( ( F `  c
) ( .r `  S ) ( G `
 ( b  o F  -  c ) ) ) ) )
8382oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( ( e  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) )  o.  (
c  e.  { d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( b  o F  -  c
) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( F `  c ) ( .r
`  S ) ( G `  ( b  o F  -  c
) ) ) ) ) )
848mptex 5925 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( F `  c ) ( .r
`  S ) ( G `  ( b  o F  -  c
) ) ) )  e.  _V
8584a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( F `  c ) ( .r
`  S ) ( G `  ( b  o F  -  c
) ) ) )  e.  _V )
86 id 20 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Ring )
87 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  (oppr `  R
)  e.  _V
8877, 87eqeltri 2474 . . . . . . . 8  |-  S  e. 
_V
8988a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  S  e. 
_V )
9077, 1opprbas 15689 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  S )
9190a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  S )
)
92 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
9377, 92oppradd 15690 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  S )
9493a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  S ) )
9585, 86, 89, 91, 94gsumpropd 14731 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( R 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) ) )
96953ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( R  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) ) )
9796adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( c  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( F `  c ) ( .r
`  S ) ( G `  ( b  o F  -  c
) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) ) )
9849, 83, 973eqtrd 2440 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } )  ->  ( R  gsumg  ( e  e.  { d  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |  d  o R  <_  b } 
|->  ( ( G `  e ) ( .r
`  R ) ( F `  ( b  o F  -  e
) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) ) )
9998mpteq2dva 4255 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
b  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  |->  ( R  gsumg  ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) ) ) )  =  ( b  e. 
{ a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }  |->  ( S 
gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) ) ) )
100 psropprmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
10111, 13, 35, 100, 12, 14, 20psrmulfval 16404 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( G  .x.  F )  =  ( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  ( R  gsumg  ( e  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( G `  e ) ( .r `  R
) ( F `  ( b  o F  -  e ) ) ) ) ) ) )
102 psropprmul.z . . 3  |-  Z  =  ( I mPwSer  S )
103 eqid 2404 . . 3  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
104 psropprmul.u . . 3  |-  .xb  =  ( .r `  Z )
10590a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  S
) )
106105psrbaspropd 16583 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( Base `  ( I mPwSer  R
) )  =  (
Base `  ( I mPwSer  S ) ) )
10711fveq2i 5690 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  ( I mPwSer  R ) )
10813, 107eqtri 2424 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (
I mPwSer  R ) )
109102fveq2i 5690 . . . . 5  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  ( I mPwSer  S ) )
110106, 108, 1093eqtr4g 2461 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  B  =  ( Base `  Z
) )
11120, 110eleqtrd 2480 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  ( Base `  Z
) )
11214, 110eleqtrd 2480 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  ( Base `  Z
) )
113102, 103, 78, 104, 12, 111, 112psrmulfval 16404 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  =  ( b  e.  {
a  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin } 
|->  ( S  gsumg  ( c  e.  {
d  e.  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  | 
d  o R  <_ 
b }  |->  ( ( F `  c ) ( .r `  S
) ( G `  ( b  o F  -  c ) ) ) ) ) ) )
11499, 101, 1133eqtr4rd 2447 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G )  =  ( G  .x.  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840    o. ccom 4841   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    o Rcofr 6263    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   CCcc 8944    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485   0gc0g 13678    gsumg cgsu 13679  CMndccmn 15367   Ringcrg 15615  opprcoppr 15682   mPwSer cmps 16361
This theorem is referenced by:  ply1opprmul  16588
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-psr 16372
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