MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrnegcl Structured version   Unicode version

Theorem psrnegcl 17472
Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrgrp.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrgrp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
psrnegcl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrnegcl.i  |-  N  =  ( invg `  R )
psrnegcl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrnegcl.z  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrnegcl  |-  ( ph  ->  ( N  o.  X
)  e.  B )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    R( f)    S( f)    N( f)    V( f)    X( f)

Proof of Theorem psrnegcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 psrnegcl.i . . . . . 6  |-  N  =  ( invg `  R )
3 psrgrp.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
41, 2, 3grpinvf1o 15601 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N : ( Base `  R ) -1-1-onto-> ( Base `  R
) )
5 f1of 5646 . . . . 5  |-  ( N : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  R )  ->  N : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  N : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) )
7 psrgrp.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
8 psrnegcl.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
9 psrnegcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
10 psrnegcl.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
117, 1, 8, 9, 10psrelbas 17455 . . . 4  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
12 fco 5573 . . . 4  |-  ( ( N : ( Base `  R ) --> ( Base `  R )  /\  X : D --> ( Base `  R
) )  ->  ( N  o.  X ) : D --> ( Base `  R
) )
136, 11, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  o.  X
) : D --> ( Base `  R ) )
14 fvex 5706 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
15 ovex 6121 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4448 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
178, 16eqeltri 2513 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1814, 17elmap 7246 . . 3  |-  ( ( N  o.  X )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  D
)  <->  ( N  o.  X ) : D --> ( Base `  R )
)
1913, 18sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  o.  X
)  e.  ( (
Base `  R )  ^m  D ) )
20 psrgrp.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
217, 1, 8, 9, 20psrbas 17453 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( (
Base `  R )  ^m  D ) )
2219, 21eleqtrrd 2520 1  |-  ( ph  ->  ( N  o.  X
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2724   _Vcvv 2977   `'ccnv 4844   "cima 4848    o. ccom 4849   -->wf 5419   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   NNcn 10327   NN0cn0 10584   Basecbs 14179   Grpcgrp 15415   invgcminusg 15416   mPwSer cmps 17423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-tset 14262  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-psr 17428
This theorem is referenced by:  psrlinv  17473  psrgrp  17474  psrneg  17476
  Copyright terms: Public domain W3C validator