MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulval Structured version   Unicode version

Theorem psrmulval 17909
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrmulr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrmulr.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
psrmulr.t  |-  .xb  =  ( .r `  S )
psrmulr.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrmulfval.i  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
psrmulfval.r  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
psrmulval.r  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
psrmulval  |-  ( ph  ->  ( ( F  .xb  G ) `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  oF  -  k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    y, k, D    h, k,
y, I    ph, k    k, F    k, G    .x. , k    R, k    k, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y, h)    B( y, h)    D( h)    R( y, h)    S( y, h, k)    .xb ( y, h, k)    .x. ( y, h)    F( y, h)    G( y, h)    X( h)

Proof of Theorem psrmulval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrmulr.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrmulr.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
3 psrmulr.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4 psrmulr.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  S )
5 psrmulr.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
6 psrmulfval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
7 psrmulfval.r . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7psrmulfval 17908 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) ) ) )
98fveq1d 5874 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  .xb  G ) `  X
)  =  ( ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) ) ) `
 X ) )
10 psrmulval.r . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
11 breq2 4457 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
y  oR  <_  x 
<->  y  oR  <_  X ) )
1211rabbidv 3110 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  x }  =  { y  e.  D  |  y  oR  <_  X }
)
13 oveq1 6302 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  oF  -  k )  =  ( X  oF  -  k ) )
1413fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  ( x  oF  -  k
) )  =  ( G `  ( X  oF  -  k
) ) )
1514oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  k
)  .x.  ( G `  ( x  oF  -  k ) ) )  =  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  oF  -  k ) ) ) )
1612, 15mpteq12dv 4531 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
k  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  x }  |->  ( ( F `
 k )  .x.  ( G `  ( x  oF  -  k
) ) ) )  =  ( k  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  oF  -  k ) ) ) ) )
1716oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  oF  -  k ) ) ) ) ) )
18 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  k )  .x.  ( G `  ( x  oF  -  k
) ) ) ) ) )
19 ovex 6320 . . . 4  |-  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  oF  -  k ) ) ) ) )  e. 
_V
2017, 18, 19fvmpt 5957 . . 3  |-  ( X  e.  D  ->  (
( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) ) ) `
 X )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  oF  -  k ) ) ) ) ) )
2110, 20syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  k )  .x.  ( G `  ( x  oF  -  k
) ) ) ) ) ) `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  oF  -  k ) ) ) ) ) )
229, 21eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  .xb  G ) `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  oF  -  k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   `'ccnv 5004   "cima 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533    oRcofr 6534    ^m cmap 7432   Fincfn 7528    <_ cle 9641    - cmin 9817   NNcn 10548   NN0cn0 10807   Basecbs 14507   .rcmulr 14573    gsumg cgsu 14713   mPwSer cmps 17870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-tset 14591  df-psr 17875
This theorem is referenced by:  psrlidm  17926  psrlidmOLD  17927  psrridm  17928  psrridmOLD  17929  psrass1  17930  mplsubrglem  17970  mplsubrglemOLD  17971
  Copyright terms: Public domain W3C validator