MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulval Structured version   Unicode version

Theorem psrmulval 17462
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrmulr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrmulr.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
psrmulr.t  |-  .xb  =  ( .r `  S )
psrmulr.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrmulfval.i  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
psrmulfval.r  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
psrmulval.r  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
psrmulval  |-  ( ph  ->  ( ( F  .xb  G ) `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  oF  -  k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    y, k, D    h, k,
y, I    ph, k    k, F    k, G    .x. , k    R, k    k, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y, h)    B( y, h)    D( h)    R( y, h)    S( y, h, k)    .xb ( y, h, k)    .x. ( y, h)    F( y, h)    G( y, h)    X( h)

Proof of Theorem psrmulval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrmulr.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrmulr.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
3 psrmulr.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4 psrmulr.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  S )
5 psrmulr.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
6 psrmulfval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
7 psrmulfval.r . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7psrmulfval 17461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) ) ) )
98fveq1d 5698 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  .xb  G ) `  X
)  =  ( ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) ) ) `
 X ) )
10 psrmulval.r . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
11 breq2 4301 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
y  oR  <_  x 
<->  y  oR  <_  X ) )
1211rabbidv 2969 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  x }  =  { y  e.  D  |  y  oR  <_  X }
)
13 oveq1 6103 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  oF  -  k )  =  ( X  oF  -  k ) )
1413fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( G `  ( x  oF  -  k
) )  =  ( G `  ( X  oF  -  k
) ) )
1514oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  k
)  .x.  ( G `  ( x  oF  -  k ) ) )  =  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  oF  -  k ) ) ) )
1612, 15mpteq12dv 4375 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
k  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  x }  |->  ( ( F `
 k )  .x.  ( G `  ( x  oF  -  k
) ) ) )  =  ( k  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  oF  -  k ) ) ) ) )
1716oveq2d 6112 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  oF  -  k ) ) ) ) ) )
18 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  k )  .x.  ( G `  ( x  oF  -  k
) ) ) ) ) )
19 ovex 6121 . . . 4  |-  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  oF  -  k ) ) ) ) )  e. 
_V
2017, 18, 19fvmpt 5779 . . 3  |-  ( X  e.  D  ->  (
( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) ) ) `
 X )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  oF  -  k ) ) ) ) ) )
2110, 20syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  x }  |->  ( ( F `  k )  .x.  ( G `  ( x  oF  -  k
) ) ) ) ) ) `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  oF  -  k ) ) ) ) ) )
229, 21eqtrd 2475 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  .xb  G ) `  X
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_  X }  |->  ( ( F `  k ) 
.x.  ( G `  ( X  oF  -  k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2724   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   "cima 4848   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    oFcof 6323    oRcofr 6324    ^m cmap 7219   Fincfn 7315    <_ cle 9424    - cmin 9600   NNcn 10327   NN0cn0 10584   Basecbs 14179   .rcmulr 14244    gsumg cgsu 14384   mPwSer cmps 17423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-tset 14262  df-psr 17428
This theorem is referenced by:  psrlidm  17479  psrlidmOLD  17480  psrridm  17481  psrridmOLD  17482  psrass1  17483  mplsubrglem  17522  mplsubrglemOLD  17523
  Copyright terms: Public domain W3C validator