MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulfval Structured version   Unicode version

Theorem psrmulfval 17454
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrmulr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrmulr.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
psrmulr.t  |-  .xb  =  ( .r `  S )
psrmulr.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrmulfval.i  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
psrmulfval.r  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrmulfval  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, B    y, k, D, x   
h, k, x, y, I    ph, k, x    k, F, x    k, G, x    .x. , k, x    R, k, x
Allowed substitution hints:    ph( y, h)    B( y, h)    D( h)    R( y, h)    S( x, y, h, k)    .xb ( x, y, h, k)    .x. ( y, h)    F( y, h)    G( y, h)

Proof of Theorem psrmulfval
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrmulfval.i . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
2 psrmulfval.r . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
3 fveq1 5688 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
4 fveq1 5688 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  ( k  oF  -  x
) )  =  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) )
53, 4oveqan12d 6108 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) )
65mpteq2dv 4377 . . . . 5  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) )
76oveq2d 6105 . . . 4  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( F `  x ) 
.x.  ( G `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
87mpteq2dv 4377 . . 3  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
9 psrmulr.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
10 psrmulr.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
11 psrmulr.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
12 psrmulr.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  S )
13 psrmulr.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
149, 10, 11, 12, 13psrmulr 17453 . . 3  |-  .xb  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
15 ovex 6114 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4441 . . . . 5  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1713, 16eqeltri 2511 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1817mptex 5946 . . 3  |-  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) )  e.  _V
198, 14, 18ovmpt2a 6219 . 2  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
201, 2, 19syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2717   _Vcvv 2970   class class class wbr 4290    e. cmpt 4348   `'ccnv 4837   "cima 4841   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    oFcof 6316    oRcofr 6317    ^m cmap 7212   Fincfn 7308    <_ cle 9417    - cmin 9593   NNcn 10320   NN0cn0 10577   Basecbs 14172   .rcmulr 14237    gsumg cgsu 14377   mPwSer cmps 17416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-tset 14255  df-psr 17421
This theorem is referenced by:  psrmulval  17455  psrmulcllem  17456  psrdi  17477  psrdir  17478  psrcom  17479  psrass23  17480  resspsrmul  17487  mplmul  17520  psropprmul  17691  coe1mul2  17721  psrass23l  30821
  Copyright terms: Public domain W3C validator