MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulfval Structured version   Unicode version

Theorem psrmulfval 17837
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrmulr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrmulr.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
psrmulr.t  |-  .xb  =  ( .r `  S )
psrmulr.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrmulfval.i  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
psrmulfval.r  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrmulfval  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, B    y, k, D, x   
h, k, x, y, I    ph, k, x    k, F, x    k, G, x    .x. , k, x    R, k, x
Allowed substitution hints:    ph( y, h)    B( y, h)    D( h)    R( y, h)    S( x, y, h, k)    .xb ( x, y, h, k)    .x. ( y, h)    F( y, h)    G( y, h)

Proof of Theorem psrmulfval
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrmulfval.i . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
2 psrmulfval.r . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
3 fveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
4 fveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  ( k  oF  -  x
) )  =  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) )
53, 4oveqan12d 6303 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) )
65mpteq2dv 4534 . . . . 5  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) )
76oveq2d 6300 . . . 4  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( F `  x ) 
.x.  ( G `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
87mpteq2dv 4534 . . 3  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
9 psrmulr.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
10 psrmulr.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
11 psrmulr.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
12 psrmulr.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  S )
13 psrmulr.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
149, 10, 11, 12, 13psrmulr 17836 . . 3  |-  .xb  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
15 ovex 6309 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4598 . . . . 5  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1713, 16eqeltri 2551 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1817mptex 6131 . . 3  |-  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) )  e.  _V
198, 14, 18ovmpt2a 6417 . 2  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
201, 2, 19syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   "cima 5002   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    oFcof 6522    oRcofr 6523    ^m cmap 7420   Fincfn 7516    <_ cle 9629    - cmin 9805   NNcn 10536   NN0cn0 10795   Basecbs 14490   .rcmulr 14556    gsumg cgsu 14696   mPwSer cmps 17799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-tset 14574  df-psr 17804
This theorem is referenced by:  psrmulval  17838  psrmulcllem  17839  psrdi  17860  psrdir  17861  psrass23l  17862  psrcom  17863  psrass23  17864  resspsrmul  17871  mplmul  17904  psropprmul  18078  coe1mul2  18109
  Copyright terms: Public domain W3C validator