MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulfval Structured version   Unicode version

Theorem psrmulfval 18544
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrmulr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrmulr.m  |-  .x.  =  ( .r `  R )
psrmulr.t  |-  .xb  =  ( .r `  S )
psrmulr.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
psrmulfval.i  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
psrmulfval.r  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrmulfval  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, B    y, k, D, x   
h, k, x, y, I    ph, k, x    k, F, x    k, G, x    .x. , k, x    R, k, x
Allowed substitution hints:    ph( y, h)    B( y, h)    D( h)    R( y, h)    S( x, y, h, k)    .xb ( x, y, h, k)    .x. ( y, h)    F( y, h)    G( y, h)

Proof of Theorem psrmulfval
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrmulfval.i . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
2 psrmulfval.r . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
3 fveq1 5880 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
4 fveq1 5880 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  ( k  oF  -  x
) )  =  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) )
53, 4oveqan12d 6324 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f `  x )  .x.  (
g `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) )
65mpteq2dv 4513 . . . . 5  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) )
76oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( F `  x ) 
.x.  ( G `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
87mpteq2dv 4513 . . 3  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
9 psrmulr.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
10 psrmulr.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
11 psrmulr.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
12 psrmulr.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  S )
13 psrmulr.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
149, 10, 11, 12, 13psrmulr 18543 . . 3  |-  .xb  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( f `  x ) 
.x.  ( g `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
15 ovex 6333 . . . . 5  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1613, 15rabex2 4578 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1716mptex 6151 . . 3  |-  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) )  e.  _V
188, 14, 17ovmpt2a 6441 . 2  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
191, 2, 18syl2anc 665 1  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {crab 2786   _Vcvv 3087   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   `'ccnv 4853   "cima 4857   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oFcof 6543    oRcofr 6544    ^m cmap 7480   Fincfn 7577    <_ cle 9675    - cmin 9859   NNcn 10609   NN0cn0 10869   Basecbs 15084   .rcmulr 15153    gsumg cgsu 15298   mPwSer cmps 18510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-tset 15171  df-psr 18515
This theorem is referenced by:  psrmulval  18545  psrmulcllem  18546  psrdi  18565  psrdir  18566  psrass23l  18567  psrcom  18568  psrass23  18569  resspsrmul  18576  mplmul  18602  psropprmul  18766  coe1mul2  18797
  Copyright terms: Public domain W3C validator