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Theorem psrmulcllem 18358
Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulcl.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrmulcl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrmulcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  S )
psrmulcl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrmulcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrmulcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrmulcl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrmulcllem  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  B )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    R( f)    S( f)    .x. ( f)    X( f)    Y( f)

Proof of Theorem psrmulcllem
Dummy variables  x  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 psrmulcl.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
43adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
5 ringcmn 17547 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
64, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
7 psrmulcl.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 reldmpsr 18328 . . . . . . . . 9  |-  Rel  dom mPwSer
9 psrmulcl.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
10 psrmulcl.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  S
)
118, 9, 10elbasov 14889 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)
127, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)
1312simpld 457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
14 psrmulcl.d . . . . . . 7  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
1514psrbaglefi 18341 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin )
1613, 15sylan 469 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  e.  Fin )
173ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
189, 1, 14, 10, 7psrelbas 18350 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1918ad2antrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
20 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
21 breq1 4397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y  oR  <_ 
k  <->  x  oR 
<_  k ) )
2221elrab 3206 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  <->  ( x  e.  D  /\  x  oR  <_  k
) )
2320, 22sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  e.  D  /\  x  oR 
<_  k ) )
2423simpld 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  D )
2519, 24ffvelrnd 6009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
26 psrmulcl.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
279, 1, 14, 10, 26psrelbas 18350 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2827ad2antrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2913ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  _V )
30 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
3114psrbagf 18332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
3229, 24, 31syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x : I --> NN0 )
3323simprd 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  oR  <_  k
)
3414psrbagcon 18340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( k  e.  D  /\  x : I --> NN0  /\  x  oR  <_  k
) )  ->  (
( k  oF  -  x )  e.  D  /\  ( k  oF  -  x
)  oR  <_ 
k ) )
3529, 30, 32, 33, 34syl13anc 1232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  x )  e.  D  /\  (
k  oF  -  x )  oR  <_  k ) )
3635simpld 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e.  D )
3728, 36ffvelrnd 6009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Y `  (
k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
38 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
391, 38ringcl 17530 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
4017, 25, 37, 39syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
41 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
4240, 41fmptd 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) : { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
43 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
4443a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
4542, 16, 44fdmfifsupp 7872 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
461, 2, 6, 16, 42, 45gsumcl 17245 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
47 eqid 2402 . . . 4  |-  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
4846, 47fmptd 6032 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) : D --> ( Base `  R ) )
49 fvex 5858 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
50 ovex 6305 . . . . 5  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
5114, 50rabex2 4546 . . . 4  |-  D  e. 
_V
5249, 51elmap 7484 . . 3  |-  ( ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  D
)  <->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) : D --> ( Base `  R )
)
5348, 52sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  D
) )
54 psrmulcl.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  S )
559, 10, 38, 54, 14, 7, 26psrmulfval 18356 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
569, 1, 14, 10, 13psrbas 18348 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( (
Base `  R )  ^m  D ) )
5753, 55, 563eltr4d 2505 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2757   _Vcvv 3058   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   `'ccnv 4821   "cima 4825   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    oFcof 6518    oRcofr 6519    ^m cmap 7456   Fincfn 7553    <_ cle 9658    - cmin 9840   NNcn 10575   NN0cn0 10835   Basecbs 14839   .rcmulr 14908   0gc0g 15052    gsumg cgsu 15053  CMndccmn 17120   Ringcrg 17516   mPwSer cmps 18318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-tset 14926  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-psr 18323
This theorem is referenced by:  psrmulcl  18359
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