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Theorem psrmulcllem 17804
Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulcl.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrmulcl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrmulcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  S )
psrmulcl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrmulcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrmulcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrmulcl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrmulcllem  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  B )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    R( f)    S( f)    .x. ( f)    X( f)    Y( f)

Proof of Theorem psrmulcllem
Dummy variables  x  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 psrmulcl.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
5 rngcmn 17009 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
7 psrmulcl.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 reldmpsr 17774 . . . . . . . . 9  |-  Rel  dom mPwSer
9 psrmulcl.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
10 psrmulcl.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  S
)
118, 9, 10elbasov 14527 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)
127, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)
1312simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
14 psrmulcl.d . . . . . . 7  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
1514psrbaglefi 17787 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin )
1613, 15sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  e.  Fin )
173ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
189, 1, 14, 10, 7psrelbas 17796 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1918ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
20 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
21 breq1 4443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y  oR  <_ 
k  <->  x  oR 
<_  k ) )
2221elrab 3254 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  <->  ( x  e.  D  /\  x  oR  <_  k
) )
2320, 22sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( x  e.  D  /\  x  oR 
<_  k ) )
2423simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  D )
2519, 24ffvelrnd 6013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
26 psrmulcl.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
279, 1, 14, 10, 26psrelbas 17796 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2827ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2913ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  _V )
30 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
3114psrbagf 17778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  _V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
3229, 24, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x : I --> NN0 )
3323simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  oR  <_  k
)
3414psrbagcon 17786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( k  e.  D  /\  x : I --> NN0  /\  x  oR  <_  k
) )  ->  (
( k  oF  -  x )  e.  D  /\  ( k  oF  -  x
)  oR  <_ 
k ) )
3529, 30, 32, 33, 34syl13anc 1225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( k  oF  -  x )  e.  D  /\  (
k  oF  -  x )  oR  <_  k ) )
3635simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e.  D )
3728, 36ffvelrnd 6013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Y `  (
k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
38 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
391, 38rngcl 16992 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
4017, 25, 37, 39syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
41 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
4240, 41fmptd 6036 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) : { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
43 fvex 5867 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
4443a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
4542, 16, 44fdmfifsupp 7828 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
461, 2, 6, 16, 42, 45gsumcl 16707 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
47 eqid 2460 . . . 4  |-  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
4846, 47fmptd 6036 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) : D --> ( Base `  R ) )
49 fvex 5867 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
50 ovex 6300 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
5150rabex 4591 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
5214, 51eqeltri 2544 . . . 4  |-  D  e. 
_V
5349, 52elmap 7437 . . 3  |-  ( ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  D
)  <->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) : D --> ( Base `  R )
)
5448, 53sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  D
) )
55 psrmulcl.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  S )
569, 10, 38, 55, 14, 7, 26psrmulfval 17802 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
579, 1, 14, 10, 13psrbas 17794 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( (
Base `  R )  ^m  D ) )
5854, 56, 573eltr4d 2563 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2811   _Vcvv 3106   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   `'ccnv 4991   "cima 4995   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    oFcof 6513    oRcofr 6514    ^m cmap 7410   Fincfn 7506    <_ cle 9618    - cmin 9794   NNcn 10525   NN0cn0 10784   Basecbs 14479   .rcmulr 14545   0gc0g 14684    gsumg cgsu 14685  CMndccmn 16587   Ringcrg 16979   mPwSer cmps 17764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-tset 14563  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-psr 17769
This theorem is referenced by:  psrmulcl  17805
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