MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulcl Structured version   Unicode version

Theorem psrmulcl 18020
Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulcl.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrmulcl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrmulcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  S )
psrmulcl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrmulcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrmulcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrmulcl  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem psrmulcl
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrmulcl.s . 2  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrmulcl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  S
)
3 psrmulcl.t . 2  |-  .x.  =  ( .r `  S )
4 psrmulcl.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 psrmulcl.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6 psrmulcl.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
7 eqid 2443 . 2  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7psrmulcllem 18019 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804   {crab 2797   `'ccnv 4988   "cima 4992   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ^m cmap 7422   Fincfn 7518   NNcn 10543   NN0cn0 10802   Basecbs 14614   .rcmulr 14680   Ringcrg 17177   mPwSer cmps 17979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-tset 14698  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-psr 17984
This theorem is referenced by:  psrlidm  18035  psrlidmOLD  18036  psrridm  18037  psrridmOLD  18038  psrass1  18039  psrdi  18040  psrdir  18041  psrass23l  18042  psrass23  18044  psrring  18045  mplsubrglem  18079  mplsubrglemOLD  18080
  Copyright terms: Public domain W3C validator