Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrlmod Structured version   Unicode version

Theorem psrlmod 17841
 Description: The ring of power series is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s mPwSer
psrrng.i
psrrng.r
Assertion
Ref Expression
psrlmod

Proof of Theorem psrlmod
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2468 . 2
2 eqidd 2468 . 2
3 psrrng.s . . 3 mPwSer
4 psrrng.i . . 3
5 psrrng.r . . 3
63, 4, 5psrsca 17829 . 2 Scalar
7 eqidd 2468 . 2
8 eqidd 2468 . 2
9 eqidd 2468 . 2
10 eqidd 2468 . 2
11 eqidd 2468 . 2
12 rnggrp 17000 . . . 4
135, 12syl 16 . . 3
143, 4, 13psrgrp 17838 . 2
15 eqid 2467 . . 3
16 eqid 2467 . . 3
17 eqid 2467 . . 3
19 simp2 997 . . 3
20 simp3 998 . . 3
213, 15, 16, 17, 18, 19, 20psrvscacl 17833 . 2
22 ovex 6308 . . . . . . 7
2322rabex 4598 . . . . . 6
2423a1i 11 . . . . 5
25 simpr1 1002 . . . . . 6
26 fconst6g 5773 . . . . . 6
2725, 26syl 16 . . . . 5
28 eqid 2467 . . . . . 6
29 simpr2 1003 . . . . . 6
303, 16, 28, 17, 29psrelbas 17819 . . . . 5
31 simpr3 1004 . . . . . 6
323, 16, 28, 17, 31psrelbas 17819 . . . . 5
335adantr 465 . . . . . 6
34 eqid 2467 . . . . . . 7
35 eqid 2467 . . . . . . 7
3616, 34, 35rngdi 17013 . . . . . 6
3733, 36sylan 471 . . . . 5
3824, 27, 30, 32, 37caofdi 6559 . . . 4
39 eqid 2467 . . . . . 6
403, 17, 34, 39, 29, 31psradd 17822 . . . . 5
4140oveq2d 6299 . . . 4
423, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 29psrvsca 17831 . . . . 5
433, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 31psrvsca 17831 . . . . 5
4442, 43oveq12d 6301 . . . 4
4538, 41, 443eqtr4d 2518 . . 3
4613adantr 465 . . . . 5
473, 17, 39, 46, 29, 31psraddcl 17823 . . . 4
483, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 47psrvsca 17831 . . 3
49213adant3r3 1207 . . . 4
503, 15, 16, 17, 33, 25, 31psrvscacl 17833 . . . 4
513, 17, 34, 39, 49, 50psradd 17822 . . 3
5245, 48, 513eqtr4d 2518 . 2
53 simpr1 1002 . . . . . 6
54 simpr3 1004 . . . . . 6
553, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 54psrvsca 17831 . . . . 5
56 simpr2 1003 . . . . . 6
573, 15, 16, 17, 35, 28, 56, 54psrvsca 17831 . . . . 5
5855, 57oveq12d 6301 . . . 4
5923a1i 11 . . . . 5
603, 16, 28, 17, 54psrelbas 17819 . . . . 5
6153, 26syl 16 . . . . 5
62 fconst6g 5773 . . . . . 6
6356, 62syl 16 . . . . 5
645adantr 465 . . . . . 6
6516, 34, 35rngdir 17014 . . . . . 6
6664, 65sylan 471 . . . . 5
6759, 60, 61, 63, 66caofdir 6560 . . . 4
6859, 53, 56ofc12 6548 . . . . 5
6968oveq1d 6298 . . . 4
7058, 67, 693eqtr2rd 2515 . . 3
7116, 34rngacl 17022 . . . . 5
7264, 53, 56, 71syl3anc 1228 . . . 4
733, 15, 16, 17, 35, 28, 72, 54psrvsca 17831 . . 3
743, 15, 16, 17, 64, 53, 54psrvscacl 17833 . . . 4
753, 15, 16, 17, 64, 56, 54psrvscacl 17833 . . . 4
763, 17, 34, 39, 74, 75psradd 17822 . . 3
7770, 73, 763eqtr4d 2518 . 2
7857oveq2d 6299 . . . 4
7916, 35rngass 17011 . . . . . 6
8064, 79sylan 471 . . . . 5
8159, 61, 63, 60, 80caofass 6557 . . . 4
8259, 53, 56ofc12 6548 . . . . 5
8382oveq1d 6298 . . . 4
8478, 81, 833eqtr2rd 2515 . . 3
8516, 35rngcl 17008 . . . . 5
8664, 53, 56, 85syl3anc 1228 . . . 4
873, 15, 16, 17, 35, 28, 86, 54psrvsca 17831 . . 3
883, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 75psrvsca 17831 . . 3
8984, 87, 883eqtr4d 2518 . 2
905adantr 465 . . . . 5
91 eqid 2467 . . . . . 6
9216, 91rngidcl 17015 . . . . 5
9390, 92syl 16 . . . 4
94 simpr 461 . . . 4
953, 15, 16, 17, 35, 28, 93, 94psrvsca 17831 . . 3
9623a1i 11 . . . 4
973, 16, 28, 17, 94psrelbas 17819 . . . 4
9816, 35, 91rnglidm 17018 . . . . 5
9990, 98sylan 471 . . . 4
10096, 97, 93, 99caofid0l 6551 . . 3
10195, 100eqtrd 2508 . 2
1021, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 5, 14, 21, 52, 77, 89, 101islmodd 17313 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  crab 2818  cvv 3113  csn 4027   cxp 4997  ccnv 4998  cima 5002  wf 5583  cfv 5587  (class class class)co 6283   cof 6521   cmap 7420  cfn 7516  cn 10535  cn0 10794  cbs 14489   cplusg 14554  cmulr 14555  cvsca 14558  cgrp 15726  cur 16952  crg 16995  clmod 17307   mPwSer cmps 17787 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-tset 14573  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-lmod 17309  df-psr 17792 This theorem is referenced by:  psrassa  17856  mpllmod  17900  mplbas2  17921  mplbas2OLD  17922  opsrlmod  18074
 Copyright terms: Public domain W3C validator