Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrlmod Structured version   Unicode version

Theorem psrlmod 18560
 Description: The ring of power series is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s mPwSer
psrring.i
psrring.r
Assertion
Ref Expression
psrlmod

Proof of Theorem psrlmod
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2430 . 2
2 eqidd 2430 . 2
3 psrring.s . . 3 mPwSer
4 psrring.i . . 3
5 psrring.r . . 3
63, 4, 5psrsca 18548 . 2 Scalar
7 eqidd 2430 . 2
8 eqidd 2430 . 2
9 eqidd 2430 . 2
10 eqidd 2430 . 2
11 eqidd 2430 . 2
12 ringgrp 17720 . . . 4
135, 12syl 17 . . 3
143, 4, 13psrgrp 18557 . 2
15 eqid 2429 . . 3
16 eqid 2429 . . 3
17 eqid 2429 . . 3
19 simp2 1006 . . 3
20 simp3 1007 . . 3
213, 15, 16, 17, 18, 19, 20psrvscacl 18552 . 2
22 ovex 6333 . . . . . . 7
2322rabex 4576 . . . . . 6
2423a1i 11 . . . . 5
25 simpr1 1011 . . . . . 6
26 fconst6g 5789 . . . . . 6
2725, 26syl 17 . . . . 5
28 eqid 2429 . . . . . 6
29 simpr2 1012 . . . . . 6
303, 16, 28, 17, 29psrelbas 18538 . . . . 5
31 simpr3 1013 . . . . . 6
323, 16, 28, 17, 31psrelbas 18538 . . . . 5
335adantr 466 . . . . . 6
34 eqid 2429 . . . . . . 7
35 eqid 2429 . . . . . . 7
3616, 34, 35ringdi 17734 . . . . . 6
3733, 36sylan 473 . . . . 5
3824, 27, 30, 32, 37caofdi 6581 . . . 4
39 eqid 2429 . . . . . 6
403, 17, 34, 39, 29, 31psradd 18541 . . . . 5
4140oveq2d 6321 . . . 4
423, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 29psrvsca 18550 . . . . 5
433, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 31psrvsca 18550 . . . . 5
4442, 43oveq12d 6323 . . . 4
4538, 41, 443eqtr4d 2480 . . 3
4613adantr 466 . . . . 5
473, 17, 39, 46, 29, 31psraddcl 18542 . . . 4
483, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 47psrvsca 18550 . . 3
49213adant3r3 1216 . . . 4
503, 15, 16, 17, 33, 25, 31psrvscacl 18552 . . . 4
513, 17, 34, 39, 49, 50psradd 18541 . . 3
5245, 48, 513eqtr4d 2480 . 2
53 simpr1 1011 . . . . . 6
54 simpr3 1013 . . . . . 6
553, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 54psrvsca 18550 . . . . 5
56 simpr2 1012 . . . . . 6
573, 15, 16, 17, 35, 28, 56, 54psrvsca 18550 . . . . 5
5855, 57oveq12d 6323 . . . 4
5923a1i 11 . . . . 5
603, 16, 28, 17, 54psrelbas 18538 . . . . 5
6153, 26syl 17 . . . . 5
62 fconst6g 5789 . . . . . 6
6356, 62syl 17 . . . . 5
645adantr 466 . . . . . 6
6516, 34, 35ringdir 17735 . . . . . 6
6664, 65sylan 473 . . . . 5
6759, 60, 61, 63, 66caofdir 6582 . . . 4
6859, 53, 56ofc12 6570 . . . . 5
6968oveq1d 6320 . . . 4
7058, 67, 693eqtr2rd 2477 . . 3
7116, 34ringacl 17743 . . . . 5
7264, 53, 56, 71syl3anc 1264 . . . 4
733, 15, 16, 17, 35, 28, 72, 54psrvsca 18550 . . 3
743, 15, 16, 17, 64, 53, 54psrvscacl 18552 . . . 4
753, 15, 16, 17, 64, 56, 54psrvscacl 18552 . . . 4
763, 17, 34, 39, 74, 75psradd 18541 . . 3
7770, 73, 763eqtr4d 2480 . 2
7857oveq2d 6321 . . . 4
7916, 35ringass 17732 . . . . . 6
8064, 79sylan 473 . . . . 5
8159, 61, 63, 60, 80caofass 6579 . . . 4
8259, 53, 56ofc12 6570 . . . . 5
8382oveq1d 6320 . . . 4
8478, 81, 833eqtr2rd 2477 . . 3
8516, 35ringcl 17729 . . . . 5
8664, 53, 56, 85syl3anc 1264 . . . 4
873, 15, 16, 17, 35, 28, 86, 54psrvsca 18550 . . 3
883, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 75psrvsca 18550 . . 3
8984, 87, 883eqtr4d 2480 . 2
905adantr 466 . . . . 5
91 eqid 2429 . . . . . 6
9216, 91ringidcl 17736 . . . . 5
9390, 92syl 17 . . . 4
94 simpr 462 . . . 4
953, 15, 16, 17, 35, 28, 93, 94psrvsca 18550 . . 3
9623a1i 11 . . . 4
973, 16, 28, 17, 94psrelbas 18538 . . . 4
9816, 35, 91ringlidm 17739 . . . . 5
9990, 98sylan 473 . . . 4
10096, 97, 93, 99caofid0l 6573 . . 3
10195, 100eqtrd 2470 . 2
1021, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 5, 14, 21, 52, 77, 89, 101islmodd 18032 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  crab 2786  cvv 3087  csn 4002   cxp 4852  ccnv 4853  cima 4857  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305   cof 6543   cmap 7480  cfn 7577  cn 10609  cn0 10869  cbs 15084   cplusg 15152  cmulr 15153  cvsca 15156  cgrp 16620  cur 17670  crg 17715  clmod 18026   mPwSer cmps 18510 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-tset 15171  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-lmod 18028  df-psr 18515 This theorem is referenced by:  psrassa  18573  mpllmod  18610  mplbas2  18629  opsrlmod  18774
 Copyright terms: Public domain W3C validator