MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrlmod Structured version   Unicode version

Theorem psrlmod 18560
Description: The ring of power series is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrring.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrring.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
psrlmod  |-  ( ph  ->  S  e.  LMod )

Proof of Theorem psrlmod
Dummy variables  x  f  y  z  r 
s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2430 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  S
)  =  ( Base `  S ) )
2 eqidd 2430 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  S
)  =  ( +g  `  S ) )
3 psrring.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
4 psrring.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
5 psrring.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
63, 4, 5psrsca 18548 . 2  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  S ) )
7 eqidd 2430 . 2  |-  ( ph  ->  ( .s `  S
)  =  ( .s
`  S ) )
8 eqidd 2430 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  R ) )
9 eqidd 2430 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  R
)  =  ( +g  `  R ) )
10 eqidd 2430 . 2  |-  ( ph  ->  ( .r `  R
)  =  ( .r
`  R ) )
11 eqidd 2430 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( 1r
`  R ) )
12 ringgrp 17720 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
135, 12syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
143, 4, 13psrgrp 18557 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
15 eqid 2429 . . 3  |-  ( .s
`  S )  =  ( .s `  S
)
16 eqid 2429 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
17 eqid 2429 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
1853ad2ant1 1026 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  R  e.  Ring )
19 simp2 1006 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  x  e.  (
Base `  R )
)
20 simp3 1007 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  y  e.  (
Base `  S )
)
213, 15, 16, 17, 18, 19, 20psrvscacl 18552 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  ( x ( .s `  S ) y )  e.  (
Base `  S )
)
22 ovex 6333 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
2322rabex 4576 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
25 simpr1 1011 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
26 fconst6g 5789 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  R
)  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
2725, 26syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
28 eqid 2429 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
29 simpr2 1012 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  S )
)
303, 16, 28, 17, 29psrelbas 18538 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
31 simpr3 1013 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  S )
)
323, 16, 28, 17, 31psrelbas 18538 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
335adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Ring )
34 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
35 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
3616, 34, 35ringdi 17734 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
r ( .r `  R ) ( s ( +g  `  R
) t ) )  =  ( ( r ( .r `  R
) s ) ( +g  `  R ) ( r ( .r
`  R ) t ) ) )
3733, 36sylan 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( Base `  S )
) )  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
r ( .r `  R ) ( s ( +g  `  R
) t ) )  =  ( ( r ( .r `  R
) s ) ( +g  `  R ) ( r ( .r
`  R ) t ) ) )
3824, 27, 30, 32, 37caofdi 6581 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( y  oF ( +g  `  R
) z ) )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) y )  oF ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  oF ( .r `  R ) z ) ) )
39 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
403, 17, 34, 39, 29, 31psradd 18541 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( +g  `  S ) z )  =  ( y  oF ( +g  `  R ) z ) )
4140oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( y  oF ( +g  `  R ) z ) ) )
423, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 29psrvsca 18550 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) y )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) y ) )
433, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 31psrvsca 18550 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
4442, 43oveq12d 6323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) y )  oF ( +g  `  R ) ( x ( .s `  S
) z ) )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) y )  oF ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  oF ( .r `  R ) z ) ) )
4538, 41, 443eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) y )  oF ( +g  `  R
) ( x ( .s `  S ) z ) ) )
4613adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Grp )
473, 17, 39, 46, 29, 31psraddcl 18542 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( +g  `  S ) z )  e.  (
Base `  S )
)
483, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 47psrvsca 18550 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( y ( +g  `  S
) z ) ) )
49213adant3r3 1216 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )
503, 15, 16, 17, 33, 25, 31psrvscacl 18552 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  e.  ( Base `  S
) )
513, 17, 34, 39, 49, 50psradd 18541 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) y ) ( +g  `  S
) ( x ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) y )  oF ( +g  `  R
) ( x ( .s `  S ) z ) ) )
5245, 48, 513eqtr4d 2480 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) y ) ( +g  `  S ) ( x ( .s `  S
) z ) ) )
53 simpr1 1011 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
54 simpr3 1013 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  S )
)
553, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 54psrvsca 18550 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
56 simpr2 1012 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  R )
)
573, 15, 16, 17, 35, 28, 56, 54psrvsca 18550 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
5855, 57oveq12d 6323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) z )  oF ( +g  `  R ) ( y ( .s `  S
) z ) )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) z )  oF ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r `  R ) z ) ) )
5923a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
603, 16, 28, 17, 54psrelbas 18538 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
6153, 26syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
62 fconst6g 5789 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( Base `  R
)  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
6356, 62syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
645adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Ring )
6516, 34, 35ringdir 17735 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( +g  `  R ) s ) ( .r `  R
) t )  =  ( ( r ( .r `  R ) t ) ( +g  `  R ) ( s ( .r `  R
) t ) ) )
6664, 65sylan 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  S )
) )  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( +g  `  R ) s ) ( .r `  R
) t )  =  ( ( r ( .r `  R ) t ) ( +g  `  R ) ( s ( .r `  R
) t ) ) )
6759, 60, 61, 63, 66caofdir 6582 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( +g  `  R ) ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  oF ( .r `  R
) z )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  oF ( .r `  R ) z )  oF ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r `  R ) z ) ) )
6859, 53, 56ofc12 6570 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( +g  `  R
) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  =  ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R
) y ) } ) )
6968oveq1d 6320 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( +g  `  R ) ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  oF ( .r `  R
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R ) y ) } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
7058, 67, 693eqtr2rd 2477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R
) y ) } )  oF ( .r `  R ) z )  =  ( ( x ( .s
`  S ) z )  oF ( +g  `  R ) ( y ( .s
`  S ) z ) ) )
7116, 34ringacl 17743 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  (
Base `  R )
)
7264, 53, 56, 71syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  (
Base `  R )
)
733, 15, 16, 17, 35, 28, 72, 54psrvsca 18550 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  R
) y ) ( .s `  S ) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R ) y ) } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
743, 15, 16, 17, 64, 53, 54psrvscacl 18552 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  e.  ( Base `  S
) )
753, 15, 16, 17, 64, 56, 54psrvscacl 18552 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( .s `  S
) z )  e.  ( Base `  S
) )
763, 17, 34, 39, 74, 75psradd 18541 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) z ) ( +g  `  S
) ( y ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) z )  oF ( +g  `  R
) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
7770, 73, 763eqtr4d 2480 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  R
) y ) ( .s `  S ) z )  =  ( ( x ( .s
`  S ) z ) ( +g  `  S
) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
7857oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( y ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r
`  R ) z ) ) )
7916, 35ringass 17732 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( .r
`  R ) s ) ( .r `  R ) t )  =  ( r ( .r `  R ) ( s ( .r
`  R ) t ) ) )
8064, 79sylan 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  S )
) )  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( .r
`  R ) s ) ( .r `  R ) t )  =  ( r ( .r `  R ) ( s ( .r
`  R ) t ) ) )
8159, 61, 63, 60, 80caofass 6579 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { y } ) )  oF ( .r `  R ) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  oF ( .r `  R ) ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r
`  R ) z ) ) )
8259, 53, 56ofc12 6570 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  =  ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( .r `  R
) y ) } ) )
8382oveq1d 6320 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { y } ) )  oF ( .r `  R ) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( .r `  R
) y ) } )  oF ( .r `  R ) z ) )
8478, 81, 833eqtr2rd 2477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { ( x ( .r `  R ) y ) } )  oF ( .r `  R
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
8516, 35ringcl 17729 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
8664, 53, 56, 85syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
873, 15, 16, 17, 35, 28, 86, 54psrvsca 18550 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) y ) ( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( .r `  R ) y ) } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
883, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 75psrvsca 18550 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) ( y ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
8984, 87, 883eqtr4d 2480 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) y ) ( .s `  S
) z )  =  ( x ( .s
`  S ) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
905adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  R  e.  Ring )
91 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
9216, 91ringidcl 17736 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
9390, 92syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( 1r `  R )  e.  (
Base `  R )
)
94 simpr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  x  e.  ( Base `  S )
)
953, 15, 16, 17, 35, 28, 93, 94psrvsca 18550 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s `  S ) x )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( 1r `  R ) } )  oF ( .r
`  R ) x ) )
9623a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
973, 16, 28, 17, 94psrelbas 18538 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  x : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
9816, 35, 91ringlidm 17739 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) r )  =  r )
9990, 98sylan 473 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) r )  =  r )
10096, 97, 93, 99caofid0l 6573 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { ( 1r `  R ) } )  oF ( .r `  R
) x )  =  x )
10195, 100eqtrd 2470 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s `  S ) x )  =  x )
1021, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 5, 14, 21, 52, 77, 89, 101islmodd 18032 1  |-  ( ph  ->  S  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   {crab 2786   _Vcvv 3087   {csn 4002    X. cxp 4852   `'ccnv 4853   "cima 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oFcof 6543    ^m cmap 7480   Fincfn 7577   NNcn 10609   NN0cn0 10869   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   .rcmulr 15153   .scvsca 15156   Grpcgrp 16620   1rcur 17670   Ringcrg 17715   LModclmod 18026   mPwSer cmps 18510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-tset 15171  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-lmod 18028  df-psr 18515
This theorem is referenced by:  psrassa  18573  mpllmod  18610  mplbas2  18629  opsrlmod  18774
  Copyright terms: Public domain W3C validator