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Theorem psrlmod 17841
Description: The ring of power series is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
psrlmod  |-  ( ph  ->  S  e.  LMod )

Proof of Theorem psrlmod
Dummy variables  x  f  y  z  r 
s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  S
)  =  ( Base `  S ) )
2 eqidd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  S
)  =  ( +g  `  S ) )
3 psrrng.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
4 psrrng.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
5 psrrng.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
63, 4, 5psrsca 17829 . 2  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  S ) )
7 eqidd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( .s `  S
)  =  ( .s
`  S ) )
8 eqidd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  R ) )
9 eqidd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  R
)  =  ( +g  `  R ) )
10 eqidd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( .r `  R
)  =  ( .r
`  R ) )
11 eqidd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( 1r
`  R ) )
12 rnggrp 17000 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
135, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
143, 4, 13psrgrp 17838 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
15 eqid 2467 . . 3  |-  ( .s
`  S )  =  ( .s `  S
)
16 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
17 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
1853ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  R  e.  Ring )
19 simp2 997 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  x  e.  (
Base `  R )
)
20 simp3 998 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  y  e.  (
Base `  S )
)
213, 15, 16, 17, 18, 19, 20psrvscacl 17833 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  ( x ( .s `  S ) y )  e.  (
Base `  S )
)
22 ovex 6308 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
2322rabex 4598 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
25 simpr1 1002 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
26 fconst6g 5773 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  R
)  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
2725, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
28 eqid 2467 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
29 simpr2 1003 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  S )
)
303, 16, 28, 17, 29psrelbas 17819 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
31 simpr3 1004 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  S )
)
323, 16, 28, 17, 31psrelbas 17819 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
335adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Ring )
34 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
35 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
3616, 34, 35rngdi 17013 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
r ( .r `  R ) ( s ( +g  `  R
) t ) )  =  ( ( r ( .r `  R
) s ) ( +g  `  R ) ( r ( .r
`  R ) t ) ) )
3733, 36sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( Base `  S )
) )  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
r ( .r `  R ) ( s ( +g  `  R
) t ) )  =  ( ( r ( .r `  R
) s ) ( +g  `  R ) ( r ( .r
`  R ) t ) ) )
3824, 27, 30, 32, 37caofdi 6559 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( y  oF ( +g  `  R
) z ) )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) y )  oF ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  oF ( .r `  R ) z ) ) )
39 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
403, 17, 34, 39, 29, 31psradd 17822 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( +g  `  S ) z )  =  ( y  oF ( +g  `  R ) z ) )
4140oveq2d 6299 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( y  oF ( +g  `  R ) z ) ) )
423, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 29psrvsca 17831 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) y )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) y ) )
433, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 31psrvsca 17831 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
4442, 43oveq12d 6301 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) y )  oF ( +g  `  R ) ( x ( .s `  S
) z ) )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) y )  oF ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  oF ( .r `  R ) z ) ) )
4538, 41, 443eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) y )  oF ( +g  `  R
) ( x ( .s `  S ) z ) ) )
4613adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Grp )
473, 17, 39, 46, 29, 31psraddcl 17823 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( +g  `  S ) z )  e.  (
Base `  S )
)
483, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 47psrvsca 17831 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( y ( +g  `  S
) z ) ) )
49213adant3r3 1207 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )
503, 15, 16, 17, 33, 25, 31psrvscacl 17833 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  e.  ( Base `  S
) )
513, 17, 34, 39, 49, 50psradd 17822 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) y ) ( +g  `  S
) ( x ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) y )  oF ( +g  `  R
) ( x ( .s `  S ) z ) ) )
5245, 48, 513eqtr4d 2518 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) y ) ( +g  `  S ) ( x ( .s `  S
) z ) ) )
53 simpr1 1002 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
54 simpr3 1004 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  S )
)
553, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 54psrvsca 17831 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
56 simpr2 1003 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  R )
)
573, 15, 16, 17, 35, 28, 56, 54psrvsca 17831 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
5855, 57oveq12d 6301 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) z )  oF ( +g  `  R ) ( y ( .s `  S
) z ) )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) z )  oF ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r `  R ) z ) ) )
5923a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
603, 16, 28, 17, 54psrelbas 17819 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
6153, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
62 fconst6g 5773 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( Base `  R
)  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
6356, 62syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
645adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Ring )
6516, 34, 35rngdir 17014 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( +g  `  R ) s ) ( .r `  R
) t )  =  ( ( r ( .r `  R ) t ) ( +g  `  R ) ( s ( .r `  R
) t ) ) )
6664, 65sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  S )
) )  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( +g  `  R ) s ) ( .r `  R
) t )  =  ( ( r ( .r `  R ) t ) ( +g  `  R ) ( s ( .r `  R
) t ) ) )
6759, 60, 61, 63, 66caofdir 6560 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( +g  `  R ) ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  oF ( .r `  R
) z )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  oF ( .r `  R ) z )  oF ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r `  R ) z ) ) )
6859, 53, 56ofc12 6548 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( +g  `  R
) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  =  ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R
) y ) } ) )
6968oveq1d 6298 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( +g  `  R ) ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  oF ( .r `  R
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R ) y ) } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
7058, 67, 693eqtr2rd 2515 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R
) y ) } )  oF ( .r `  R ) z )  =  ( ( x ( .s
`  S ) z )  oF ( +g  `  R ) ( y ( .s
`  S ) z ) ) )
7116, 34rngacl 17022 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  (
Base `  R )
)
7264, 53, 56, 71syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  (
Base `  R )
)
733, 15, 16, 17, 35, 28, 72, 54psrvsca 17831 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  R
) y ) ( .s `  S ) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R ) y ) } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
743, 15, 16, 17, 64, 53, 54psrvscacl 17833 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  e.  ( Base `  S
) )
753, 15, 16, 17, 64, 56, 54psrvscacl 17833 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( .s `  S
) z )  e.  ( Base `  S
) )
763, 17, 34, 39, 74, 75psradd 17822 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) z ) ( +g  `  S
) ( y ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) z )  oF ( +g  `  R
) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
7770, 73, 763eqtr4d 2518 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  R
) y ) ( .s `  S ) z )  =  ( ( x ( .s
`  S ) z ) ( +g  `  S
) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
7857oveq2d 6299 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( y ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r
`  R ) z ) ) )
7916, 35rngass 17011 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( .r
`  R ) s ) ( .r `  R ) t )  =  ( r ( .r `  R ) ( s ( .r
`  R ) t ) ) )
8064, 79sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  S )
) )  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( .r
`  R ) s ) ( .r `  R ) t )  =  ( r ( .r `  R ) ( s ( .r
`  R ) t ) ) )
8159, 61, 63, 60, 80caofass 6557 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { y } ) )  oF ( .r `  R ) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  oF ( .r `  R ) ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r
`  R ) z ) ) )
8259, 53, 56ofc12 6548 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  =  ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( .r `  R
) y ) } ) )
8382oveq1d 6298 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { y } ) )  oF ( .r `  R ) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( .r `  R
) y ) } )  oF ( .r `  R ) z ) )
8478, 81, 833eqtr2rd 2515 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { ( x ( .r `  R ) y ) } )  oF ( .r `  R
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
8516, 35rngcl 17008 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
8664, 53, 56, 85syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
873, 15, 16, 17, 35, 28, 86, 54psrvsca 17831 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) y ) ( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( .r `  R ) y ) } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
883, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 75psrvsca 17831 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) ( y ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
8984, 87, 883eqtr4d 2518 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) y ) ( .s `  S
) z )  =  ( x ( .s
`  S ) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
905adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  R  e.  Ring )
91 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
9216, 91rngidcl 17015 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
9390, 92syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( 1r `  R )  e.  (
Base `  R )
)
94 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  x  e.  ( Base `  S )
)
953, 15, 16, 17, 35, 28, 93, 94psrvsca 17831 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s `  S ) x )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( 1r `  R ) } )  oF ( .r
`  R ) x ) )
9623a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
973, 16, 28, 17, 94psrelbas 17819 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  x : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
9816, 35, 91rnglidm 17018 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) r )  =  r )
9990, 98sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) r )  =  r )
10096, 97, 93, 99caofid0l 6551 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { ( 1r `  R ) } )  oF ( .r `  R
) x )  =  x )
10195, 100eqtrd 2508 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s `  S ) x )  =  x )
1021, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 5, 14, 21, 52, 77, 89, 101islmodd 17313 1  |-  ( ph  ->  S  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113   {csn 4027    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    oFcof 6521    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   NNcn 10535   NN0cn0 10794   Basecbs 14489   +g cplusg 14554   .rcmulr 14555   .scvsca 14558   Grpcgrp 15726   1rcur 16952   Ringcrg 16995   LModclmod 17307   mPwSer cmps 17787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-tset 14573  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-lmod 17309  df-psr 17792
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