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Theorem psrlmod 17450
Description: The ring of power series is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
psrlmod  |-  ( ph  ->  S  e.  LMod )

Proof of Theorem psrlmod
Dummy variables  x  f  y  z  r 
s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2442 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  S
)  =  ( Base `  S ) )
2 eqidd 2442 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  S
)  =  ( +g  `  S ) )
3 psrrng.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
4 psrrng.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
5 psrrng.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
63, 4, 5psrsca 17438 . 2  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  S ) )
7 eqidd 2442 . 2  |-  ( ph  ->  ( .s `  S
)  =  ( .s
`  S ) )
8 eqidd 2442 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  R ) )
9 eqidd 2442 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  R
)  =  ( +g  `  R ) )
10 eqidd 2442 . 2  |-  ( ph  ->  ( .r `  R
)  =  ( .r
`  R ) )
11 eqidd 2442 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( 1r
`  R ) )
12 rnggrp 16640 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
135, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
143, 4, 13psrgrp 17447 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
15 eqid 2441 . . 3  |-  ( .s
`  S )  =  ( .s `  S
)
16 eqid 2441 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
17 eqid 2441 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
1853ad2ant1 1004 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  R  e.  Ring )
19 simp2 984 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  x  e.  (
Base `  R )
)
20 simp3 985 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  y  e.  (
Base `  S )
)
213, 15, 16, 17, 18, 19, 20psrvscacl 17442 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  ( x ( .s `  S ) y )  e.  (
Base `  S )
)
22 ovex 6115 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
2322rabex 4440 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
25 simpr1 989 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
26 fconst6g 5596 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  R
)  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
2725, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
28 eqid 2441 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
29 simpr2 990 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  S )
)
303, 16, 28, 17, 29psrelbas 17428 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
31 simpr3 991 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  S )
)
323, 16, 28, 17, 31psrelbas 17428 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
335adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Ring )
34 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
35 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
3616, 34, 35rngdi 16653 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
r ( .r `  R ) ( s ( +g  `  R
) t ) )  =  ( ( r ( .r `  R
) s ) ( +g  `  R ) ( r ( .r
`  R ) t ) ) )
3733, 36sylan 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( Base `  S )
) )  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
r ( .r `  R ) ( s ( +g  `  R
) t ) )  =  ( ( r ( .r `  R
) s ) ( +g  `  R ) ( r ( .r
`  R ) t ) ) )
3824, 27, 30, 32, 37caofdi 6355 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( y  oF ( +g  `  R
) z ) )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) y )  oF ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  oF ( .r `  R ) z ) ) )
39 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
403, 17, 34, 39, 29, 31psradd 17431 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( +g  `  S ) z )  =  ( y  oF ( +g  `  R ) z ) )
4140oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( y  oF ( +g  `  R ) z ) ) )
423, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 29psrvsca 17440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) y )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) y ) )
433, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 31psrvsca 17440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
4442, 43oveq12d 6108 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) y )  oF ( +g  `  R ) ( x ( .s `  S
) z ) )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) y )  oF ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  oF ( .r `  R ) z ) ) )
4538, 41, 443eqtr4d 2483 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) y )  oF ( +g  `  R
) ( x ( .s `  S ) z ) ) )
4613adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Grp )
473, 17, 39, 46, 29, 31psraddcl 17432 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( +g  `  S ) z )  e.  (
Base `  S )
)
483, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 47psrvsca 17440 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( y ( +g  `  S
) z ) ) )
49213adant3r3 1193 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )
503, 15, 16, 17, 33, 25, 31psrvscacl 17442 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  e.  ( Base `  S
) )
513, 17, 34, 39, 49, 50psradd 17431 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) y ) ( +g  `  S
) ( x ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) y )  oF ( +g  `  R
) ( x ( .s `  S ) z ) ) )
5245, 48, 513eqtr4d 2483 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) y ) ( +g  `  S ) ( x ( .s `  S
) z ) ) )
53 simpr1 989 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
54 simpr3 991 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  S )
)
553, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 54psrvsca 17440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
56 simpr2 990 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  R )
)
573, 15, 16, 17, 35, 28, 56, 54psrvsca 17440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
5855, 57oveq12d 6108 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) z )  oF ( +g  `  R ) ( y ( .s `  S
) z ) )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) z )  oF ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r `  R ) z ) ) )
5923a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
603, 16, 28, 17, 54psrelbas 17428 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
6153, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
62 fconst6g 5596 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( Base `  R
)  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
6356, 62syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
645adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Ring )
6516, 34, 35rngdir 16654 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( +g  `  R ) s ) ( .r `  R
) t )  =  ( ( r ( .r `  R ) t ) ( +g  `  R ) ( s ( .r `  R
) t ) ) )
6664, 65sylan 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  S )
) )  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( +g  `  R ) s ) ( .r `  R
) t )  =  ( ( r ( .r `  R ) t ) ( +g  `  R ) ( s ( .r `  R
) t ) ) )
6759, 60, 61, 63, 66caofdir 6356 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( +g  `  R ) ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  oF ( .r `  R
) z )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  oF ( .r `  R ) z )  oF ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r `  R ) z ) ) )
6859, 53, 56ofc12 6344 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( +g  `  R
) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  =  ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R
) y ) } ) )
6968oveq1d 6105 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( +g  `  R ) ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  oF ( .r `  R
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R ) y ) } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
7058, 67, 693eqtr2rd 2480 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R
) y ) } )  oF ( .r `  R ) z )  =  ( ( x ( .s
`  S ) z )  oF ( +g  `  R ) ( y ( .s
`  S ) z ) ) )
7116, 34rngacl 16662 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  (
Base `  R )
)
7264, 53, 56, 71syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  (
Base `  R )
)
733, 15, 16, 17, 35, 28, 72, 54psrvsca 17440 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  R
) y ) ( .s `  S ) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R ) y ) } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
743, 15, 16, 17, 64, 53, 54psrvscacl 17442 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  e.  ( Base `  S
) )
753, 15, 16, 17, 64, 56, 54psrvscacl 17442 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( .s `  S
) z )  e.  ( Base `  S
) )
763, 17, 34, 39, 74, 75psradd 17431 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) z ) ( +g  `  S
) ( y ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) z )  oF ( +g  `  R
) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
7770, 73, 763eqtr4d 2483 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  R
) y ) ( .s `  S ) z )  =  ( ( x ( .s
`  S ) z ) ( +g  `  S
) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
7857oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( y ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r
`  R ) z ) ) )
7916, 35rngass 16651 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( .r
`  R ) s ) ( .r `  R ) t )  =  ( r ( .r `  R ) ( s ( .r
`  R ) t ) ) )
8064, 79sylan 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  S )
) )  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( .r
`  R ) s ) ( .r `  R ) t )  =  ( r ( .r `  R ) ( s ( .r
`  R ) t ) ) )
8159, 61, 63, 60, 80caofass 6353 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { y } ) )  oF ( .r `  R ) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  oF ( .r `  R ) ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r
`  R ) z ) ) )
8259, 53, 56ofc12 6344 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  =  ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( .r `  R
) y ) } ) )
8382oveq1d 6105 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { y } ) )  oF ( .r `  R ) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( .r `  R
) y ) } )  oF ( .r `  R ) z ) )
8478, 81, 833eqtr2rd 2480 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { ( x ( .r `  R ) y ) } )  oF ( .r `  R
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
8516, 35rngcl 16648 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
8664, 53, 56, 85syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
873, 15, 16, 17, 35, 28, 86, 54psrvsca 17440 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) y ) ( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( .r `  R ) y ) } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
883, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 75psrvsca 17440 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) ( y ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
8984, 87, 883eqtr4d 2483 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) y ) ( .s `  S
) z )  =  ( x ( .s
`  S ) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
905adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  R  e.  Ring )
91 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
9216, 91rngidcl 16655 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
9390, 92syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( 1r `  R )  e.  (
Base `  R )
)
94 simpr 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  x  e.  ( Base `  S )
)
953, 15, 16, 17, 35, 28, 93, 94psrvsca 17440 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s `  S ) x )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( 1r `  R ) } )  oF ( .r
`  R ) x ) )
9623a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
973, 16, 28, 17, 94psrelbas 17428 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  x : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
9816, 35, 91rnglidm 16658 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) r )  =  r )
9990, 98sylan 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) r )  =  r )
10096, 97, 93, 99caofid0l 6347 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { ( 1r `  R ) } )  oF ( .r `  R
) x )  =  x )
10195, 100eqtrd 2473 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s `  S ) x )  =  x )
1021, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 5, 14, 21, 52, 77, 89, 101islmodd 16934 1  |-  ( ph  ->  S  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   {crab 2717   _Vcvv 2970   {csn 3874    X. cxp 4834   `'ccnv 4835   "cima 4839   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    oFcof 6317    ^m cmap 7210   Fincfn 7306   NNcn 10318   NN0cn0 10575   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235   .scvsca 14238   Grpcgrp 15406   1rcur 16593   Ringcrg 16635   LModclmod 16928   mPwSer cmps 17396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-tset 14253  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-lmod 16930  df-psr 17401
This theorem is referenced by:  psrassa  17464  mpllmod  17508  mplbas2  17527  mplbas2OLD  17528  opsrlmod  17676
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