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Theorem psrlmod 17472
Description: The ring of power series is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
psrlmod  |-  ( ph  ->  S  e.  LMod )

Proof of Theorem psrlmod
Dummy variables  x  f  y  z  r 
s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  S
)  =  ( Base `  S ) )
2 eqidd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  S
)  =  ( +g  `  S ) )
3 psrrng.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
4 psrrng.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
5 psrrng.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
63, 4, 5psrsca 17460 . 2  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  S ) )
7 eqidd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( .s `  S
)  =  ( .s
`  S ) )
8 eqidd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  R ) )
9 eqidd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  R
)  =  ( +g  `  R ) )
10 eqidd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( .r `  R
)  =  ( .r
`  R ) )
11 eqidd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( 1r
`  R ) )
12 rnggrp 16650 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
135, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
143, 4, 13psrgrp 17469 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
15 eqid 2443 . . 3  |-  ( .s
`  S )  =  ( .s `  S
)
16 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
17 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
1853ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  R  e.  Ring )
19 simp2 989 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  x  e.  (
Base `  R )
)
20 simp3 990 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  y  e.  (
Base `  S )
)
213, 15, 16, 17, 18, 19, 20psrvscacl 17464 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  ->  ( x ( .s `  S ) y )  e.  (
Base `  S )
)
22 ovex 6116 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
2322rabex 4443 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
25 simpr1 994 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
26 fconst6g 5599 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  R
)  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
2725, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
28 eqid 2443 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
29 simpr2 995 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  S )
)
303, 16, 28, 17, 29psrelbas 17450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
31 simpr3 996 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  S )
)
323, 16, 28, 17, 31psrelbas 17450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
335adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Ring )
34 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
35 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
3616, 34, 35rngdi 16663 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
r ( .r `  R ) ( s ( +g  `  R
) t ) )  =  ( ( r ( .r `  R
) s ) ( +g  `  R ) ( r ( .r
`  R ) t ) ) )
3733, 36sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  S
)  /\  z  e.  ( Base `  S )
) )  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
r ( .r `  R ) ( s ( +g  `  R
) t ) )  =  ( ( r ( .r `  R
) s ) ( +g  `  R ) ( r ( .r
`  R ) t ) ) )
3824, 27, 30, 32, 37caofdi 6356 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( y  oF ( +g  `  R
) z ) )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) y )  oF ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  oF ( .r `  R ) z ) ) )
39 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
403, 17, 34, 39, 29, 31psradd 17453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( +g  `  S ) z )  =  ( y  oF ( +g  `  R ) z ) )
4140oveq2d 6107 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( y  oF ( +g  `  R ) z ) ) )
423, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 29psrvsca 17462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) y )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) y ) )
433, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 31psrvsca 17462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
4442, 43oveq12d 6109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) y )  oF ( +g  `  R ) ( x ( .s `  S
) z ) )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) y )  oF ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  oF ( .r `  R ) z ) ) )
4538, 41, 443eqtr4d 2485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) y )  oF ( +g  `  R
) ( x ( .s `  S ) z ) ) )
4613adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Grp )
473, 17, 39, 46, 29, 31psraddcl 17454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( +g  `  S ) z )  e.  (
Base `  S )
)
483, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 47psrvsca 17462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( y ( +g  `  S
) z ) ) )
49213adant3r3 1198 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) y )  e.  ( Base `  S
) )
503, 15, 16, 17, 33, 25, 31psrvscacl 17464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  e.  ( Base `  S
) )
513, 17, 34, 39, 49, 50psradd 17453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) y ) ( +g  `  S
) ( x ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) y )  oF ( +g  `  R
) ( x ( .s `  S ) z ) ) )
5245, 48, 513eqtr4d 2485 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) ( y ( +g  `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) y ) ( +g  `  S ) ( x ( .s `  S
) z ) ) )
53 simpr1 994 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
54 simpr3 996 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  S )
)
553, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 54psrvsca 17462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
56 simpr2 995 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  R )
)
573, 15, 16, 17, 35, 28, 56, 54psrvsca 17462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
5855, 57oveq12d 6109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) z )  oF ( +g  `  R ) ( y ( .s `  S
) z ) )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) z )  oF ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r `  R ) z ) ) )
5923a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
603, 16, 28, 17, 54psrelbas 17450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
6153, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
62 fconst6g 5599 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( Base `  R
)  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
6356, 62syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
645adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Ring )
6516, 34, 35rngdir 16664 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( +g  `  R ) s ) ( .r `  R
) t )  =  ( ( r ( .r `  R ) t ) ( +g  `  R ) ( s ( .r `  R
) t ) ) )
6664, 65sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  S )
) )  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( +g  `  R ) s ) ( .r `  R
) t )  =  ( ( r ( .r `  R ) t ) ( +g  `  R ) ( s ( .r `  R
) t ) ) )
6759, 60, 61, 63, 66caofdir 6357 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( +g  `  R ) ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  oF ( .r `  R
) z )  =  ( ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  oF ( .r `  R ) z )  oF ( +g  `  R
) ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r `  R ) z ) ) )
6859, 53, 56ofc12 6345 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( +g  `  R
) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  =  ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R
) y ) } ) )
6968oveq1d 6106 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( +g  `  R ) ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  oF ( .r `  R
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R ) y ) } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
7058, 67, 693eqtr2rd 2482 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R
) y ) } )  oF ( .r `  R ) z )  =  ( ( x ( .s
`  S ) z )  oF ( +g  `  R ) ( y ( .s
`  S ) z ) ) )
7116, 34rngacl 16672 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  (
Base `  R )
)
7264, 53, 56, 71syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  (
Base `  R )
)
733, 15, 16, 17, 35, 28, 72, 54psrvsca 17462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  R
) y ) ( .s `  S ) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( +g  `  R ) y ) } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
743, 15, 16, 17, 64, 53, 54psrvscacl 17464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) z )  e.  ( Base `  S
) )
753, 15, 16, 17, 64, 56, 54psrvscacl 17464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( .s `  S
) z )  e.  ( Base `  S
) )
763, 17, 34, 39, 74, 75psradd 17453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) z ) ( +g  `  S
) ( y ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( x ( .s `  S ) z )  oF ( +g  `  R
) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
7770, 73, 763eqtr4d 2485 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  R
) y ) ( .s `  S ) z )  =  ( ( x ( .s
`  S ) z ) ( +g  `  S
) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
7857oveq2d 6107 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( y ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r
`  R ) z ) ) )
7916, 35rngass 16661 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( .r
`  R ) s ) ( .r `  R ) t )  =  ( r ( .r `  R ) ( s ( .r
`  R ) t ) ) )
8064, 79sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  S )
) )  /\  (
r  e.  ( Base `  R )  /\  s  e.  ( Base `  R
)  /\  t  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( r ( .r
`  R ) s ) ( .r `  R ) t )  =  ( r ( .r `  R ) ( s ( .r
`  R ) t ) ) )
8159, 61, 63, 60, 80caofass 6354 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { y } ) )  oF ( .r `  R ) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x }
)  oF ( .r `  R ) ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } )  oF ( .r
`  R ) z ) ) )
8259, 53, 56ofc12 6345 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { x } )  oF ( .r `  R
) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { y } ) )  =  ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( .r `  R
) y ) } ) )
8382oveq1d 6106 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { y } ) )  oF ( .r `  R ) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( .r `  R
) y ) } )  oF ( .r `  R ) z ) )
8478, 81, 833eqtr2rd 2482 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { ( x ( .r `  R ) y ) } )  oF ( .r `  R
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
8516, 35rngcl 16658 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
8664, 53, 56, 85syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
873, 15, 16, 17, 35, 28, 86, 54psrvsca 17462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) y ) ( .s `  S
) z )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( x ( .r `  R ) y ) } )  oF ( .r
`  R ) z ) )
883, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 75psrvsca 17462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( x
( .s `  S
) ( y ( .s `  S ) z ) )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { x } )  oF ( .r
`  R ) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
8984, 87, 883eqtr4d 2485 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  R ) y ) ( .s `  S
) z )  =  ( x ( .s
`  S ) ( y ( .s `  S ) z ) ) )
905adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  R  e.  Ring )
91 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
9216, 91rngidcl 16665 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
9390, 92syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( 1r `  R )  e.  (
Base `  R )
)
94 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  x  e.  ( Base `  S )
)
953, 15, 16, 17, 35, 28, 93, 94psrvsca 17462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s `  S ) x )  =  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  X.  { ( 1r `  R ) } )  oF ( .r
`  R ) x ) )
9623a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V )
973, 16, 28, 17, 94psrelbas 17450 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  x : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
9816, 35, 91rnglidm 16668 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) r )  =  r )
9990, 98sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  /\  r  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) r )  =  r )
10096, 97, 93, 99caofid0l 6348 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  X.  { ( 1r `  R ) } )  oF ( .r `  R
) x )  =  x )
10195, 100eqtrd 2475 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s `  S ) x )  =  x )
1021, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 5, 14, 21, 52, 77, 89, 101islmodd 16954 1  |-  ( ph  ->  S  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719   _Vcvv 2972   {csn 3877    X. cxp 4838   `'ccnv 4839   "cima 4843   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    oFcof 6318    ^m cmap 7214   Fincfn 7310   NNcn 10322   NN0cn0 10579   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   .rcmulr 14239   .scvsca 14242   Grpcgrp 15410   1rcur 16603   Ringcrg 16645   LModclmod 16948   mPwSer cmps 17418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-tset 14257  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-lmod 16950  df-psr 17423
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