MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrlinv Unicode version

Theorem psrlinv 16416
Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrgrp.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrgrp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
psrnegcl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrnegcl.i  |-  N  =  ( inv g `  R )
psrnegcl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrnegcl.z  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrlinv.o  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psrlinv.p  |-  .+  =  ( +g  `  S )
Assertion
Ref Expression
psrlinv  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X )  .+  X
)  =  ( D  X.  {  .0.  }
) )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    .+ ( f)    R( f)    S( f)    N( f)    V( f)    X( f)    .0. ( f)

Proof of Theorem psrlinv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrnegcl.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
2 ovex 6065 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
32rabex 4314 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
41, 3eqeltri 2474 . . . 4  |-  D  e. 
_V
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
6 fvex 5701 . . . 4  |-  ( N `
 ( X `  x ) )  e. 
_V
76a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( N `  ( X `  x ) )  e. 
_V )
8 psrgrp.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
9 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
10 psrnegcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
11 psrnegcl.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
128, 9, 1, 10, 11psrelbas 16399 . . . 4  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1312ffvelrnda 5829 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )
1412feqmptd 5738 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ( x  e.  D  |->  ( X `
 x ) ) )
15 psrnegcl.i . . . . . . 7  |-  N  =  ( inv g `  R )
16 psrgrp.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
179, 15, 16grpinvf1o 14816 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N : ( Base `  R ) -1-1-onto-> ( Base `  R
) )
18 f1of 5633 . . . . . 6  |-  ( N : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  R )  ->  N : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) )
2019feqmptd 5738 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( N `  y ) ) )
21 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( y  =  ( X `  x )  ->  ( N `  y )  =  ( N `  ( X `  x ) ) )
2213, 14, 20, 21fmptco 5860 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  o.  X
)  =  ( x  e.  D  |->  ( N `
 ( X `  x ) ) ) )
235, 7, 13, 22, 14offval2 6281 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X )  o F ( +g  `  R
) X )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( N `  ( X `  x ) ) ( +g  `  R
) ( X `  x ) ) ) )
24 eqid 2404 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
25 psrlinv.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  S )
26 psrgrp.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
278, 26, 16, 1, 15, 10, 11psrnegcl 16415 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  o.  X
)  e.  B )
288, 10, 24, 25, 27, 11psradd 16401 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X )  .+  X
)  =  ( ( N  o.  X )  o F ( +g  `  R ) X ) )
29 psrlinv.o . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
309, 24, 29, 15grplinv 14806 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( N `  ( X `  x )
) ( +g  `  R
) ( X `  x ) )  =  .0.  )
3116, 30sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X `  x )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( ( N `  ( X `  x ) ) ( +g  `  R ) ( X `  x
) )  =  .0.  )
3213, 31syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( N `  ( X `  x )
) ( +g  `  R
) ( X `  x ) )  =  .0.  )
3332mpteq2dva 4255 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  |->  ( ( N `  ( X `  x ) ) ( +g  `  R
) ( X `  x ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  .0.  ) )
34 fconstmpt 4880 . . 3  |-  ( D  X.  {  .0.  }
)  =  ( x  e.  D  |->  .0.  )
3533, 34syl6reqr 2455 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( N `  ( X `  x )
) ( +g  `  R
) ( X `  x ) ) ) )
3623, 28, 353eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X )  .+  X
)  =  ( D  X.  {  .0.  }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670   _Vcvv 2916   {csn 3774    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   "cima 4840    o. ccom 4841   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   NNcn 9956   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640   inv gcminusg 14641   mPwSer cmps 16361
This theorem is referenced by:  psrgrp  16417  psrneg  16419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-psr 16372
  Copyright terms: Public domain W3C validator