MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrlinv Structured version   Unicode version

Theorem psrlinv 18177
Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrgrp.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrgrp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
psrnegcl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrnegcl.i  |-  N  =  ( invg `  R )
psrnegcl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrnegcl.z  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrlinv.o  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psrlinv.p  |-  .+  =  ( +g  `  S )
Assertion
Ref Expression
psrlinv  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X )  .+  X
)  =  ( D  X.  {  .0.  }
) )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    .+ ( f)    R( f)    S( f)    N( f)    V( f)    X( f)    .0. ( f)

Proof of Theorem psrlinv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrnegcl.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
2 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
31, 2rabex2 4609 . . . 4  |-  D  e. 
_V
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
5 fvex 5882 . . . 4  |-  ( N `
 ( X `  x ) )  e. 
_V
65a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( N `  ( X `  x ) )  e. 
_V )
7 psrgrp.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
8 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
9 psrnegcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
10 psrnegcl.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
117, 8, 1, 9, 10psrelbas 18159 . . . 4  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1211ffvelrnda 6032 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )
1311feqmptd 5926 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ( x  e.  D  |->  ( X `
 x ) ) )
14 psrnegcl.i . . . . . . 7  |-  N  =  ( invg `  R )
15 psrgrp.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
168, 14, 15grpinvf1o 16235 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N : ( Base `  R ) -1-1-onto-> ( Base `  R
) )
17 f1of 5822 . . . . . 6  |-  ( N : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  R )  ->  N : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) )
1918feqmptd 5926 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( N `  y ) ) )
20 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( y  =  ( X `  x )  ->  ( N `  y )  =  ( N `  ( X `  x ) ) )
2112, 13, 19, 20fmptco 6065 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  o.  X
)  =  ( x  e.  D  |->  ( N `
 ( X `  x ) ) ) )
224, 6, 12, 21, 13offval2 6555 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X )  oF ( +g  `  R
) X )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( N `  ( X `  x ) ) ( +g  `  R
) ( X `  x ) ) ) )
23 eqid 2457 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
24 psrlinv.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  S )
25 psrgrp.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
267, 25, 15, 1, 14, 9, 10psrnegcl 18176 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  o.  X
)  e.  B )
277, 9, 23, 24, 26, 10psradd 18162 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X )  .+  X
)  =  ( ( N  o.  X )  oF ( +g  `  R ) X ) )
28 psrlinv.o . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
298, 23, 28, 14grplinv 16223 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( N `  ( X `  x )
) ( +g  `  R
) ( X `  x ) )  =  .0.  )
3015, 29sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X `  x )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( ( N `  ( X `  x ) ) ( +g  `  R ) ( X `  x
) )  =  .0.  )
3112, 30syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( N `  ( X `  x )
) ( +g  `  R
) ( X `  x ) )  =  .0.  )
3231mpteq2dva 4543 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  |->  ( ( N `  ( X `  x ) ) ( +g  `  R
) ( X `  x ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  .0.  ) )
33 fconstmpt 5052 . . 3  |-  ( D  X.  {  .0.  }
)  =  ( x  e.  D  |->  .0.  )
3432, 33syl6reqr 2517 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( N `  ( X `  x )
) ( +g  `  R
) ( X `  x ) ) ) )
3522, 27, 343eqtr4d 2508 1  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X )  .+  X
)  =  ( D  X.  {  .0.  }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109   {csn 4032    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   "cima 5011    o. ccom 5012   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   NNcn 10556   NN0cn0 10816   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   0gc0g 14857   Grpcgrp 16180   invgcminusg 16181   mPwSer cmps 18127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-tset 14731  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-psr 18132
This theorem is referenced by:  psrgrp  18178  psrneg  18180
  Copyright terms: Public domain W3C validator