MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrlinv Structured version   Unicode version

Theorem psrlinv 17458
Description: The negative function in the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrgrp.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrgrp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
psrnegcl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrnegcl.i  |-  N  =  ( invg `  R )
psrnegcl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrnegcl.z  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrlinv.o  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psrlinv.p  |-  .+  =  ( +g  `  S )
Assertion
Ref Expression
psrlinv  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X )  .+  X
)  =  ( D  X.  {  .0.  }
) )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    .+ ( f)    R( f)    S( f)    N( f)    V( f)    X( f)    .0. ( f)

Proof of Theorem psrlinv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrnegcl.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
2 ovex 6115 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
32rabex 4440 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
41, 3eqeltri 2511 . . . 4  |-  D  e. 
_V
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
6 fvex 5698 . . . 4  |-  ( N `
 ( X `  x ) )  e. 
_V
76a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( N `  ( X `  x ) )  e. 
_V )
8 psrgrp.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
9 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
10 psrnegcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
11 psrnegcl.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
128, 9, 1, 10, 11psrelbas 17440 . . . 4  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1312ffvelrnda 5840 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )
1412feqmptd 5741 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ( x  e.  D  |->  ( X `
 x ) ) )
15 psrnegcl.i . . . . . . 7  |-  N  =  ( invg `  R )
16 psrgrp.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
179, 15, 16grpinvf1o 15589 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N : ( Base `  R ) -1-1-onto-> ( Base `  R
) )
18 f1of 5638 . . . . . 6  |-  ( N : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  R )  ->  N : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) )
2019feqmptd 5741 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( N `  y ) ) )
21 fveq2 5688 . . . 4  |-  ( y  =  ( X `  x )  ->  ( N `  y )  =  ( N `  ( X `  x ) ) )
2213, 14, 20, 21fmptco 5873 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  o.  X
)  =  ( x  e.  D  |->  ( N `
 ( X `  x ) ) ) )
235, 7, 13, 22, 14offval2 6335 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X )  oF ( +g  `  R
) X )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( N `  ( X `  x ) ) ( +g  `  R
) ( X `  x ) ) ) )
24 eqid 2441 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
25 psrlinv.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  S )
26 psrgrp.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
278, 26, 16, 1, 15, 10, 11psrnegcl 17457 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  o.  X
)  e.  B )
288, 10, 24, 25, 27, 11psradd 17443 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X )  .+  X
)  =  ( ( N  o.  X )  oF ( +g  `  R ) X ) )
29 psrlinv.o . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
309, 24, 29, 15grplinv 15577 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( N `  ( X `  x )
) ( +g  `  R
) ( X `  x ) )  =  .0.  )
3116, 30sylan 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X `  x )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( ( N `  ( X `  x ) ) ( +g  `  R ) ( X `  x
) )  =  .0.  )
3213, 31syldan 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( N `  ( X `  x )
) ( +g  `  R
) ( X `  x ) )  =  .0.  )
3332mpteq2dva 4375 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  |->  ( ( N `  ( X `  x ) ) ( +g  `  R
) ( X `  x ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  .0.  ) )
34 fconstmpt 4878 . . 3  |-  ( D  X.  {  .0.  }
)  =  ( x  e.  D  |->  .0.  )
3533, 34syl6reqr 2492 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( N `  ( X `  x )
) ( +g  `  R
) ( X `  x ) ) ) )
3623, 28, 353eqtr4d 2483 1  |-  ( ph  ->  ( ( N  o.  X )  .+  X
)  =  ( D  X.  {  .0.  }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   {crab 2717   _Vcvv 2970   {csn 3874    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   `'ccnv 4835   "cima 4839    o. ccom 4840   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    oFcof 6317    ^m cmap 7210   Fincfn 7306   NNcn 10318   NN0cn0 10575   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407   mPwSer cmps 17396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-tset 14253  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-psr 17407
This theorem is referenced by:  psrgrp  17459  psrneg  17461
  Copyright terms: Public domain W3C validator