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Theorem psrlidmOLD 17856
Description: The identity element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Obsolete version of psrlidm 17855 as of 8-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psr1cl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psr1cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psr1cl.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
psr1cl.u  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
psr1cl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrlidm.t  |-  .x.  =  ( .r `  S )
psrlidm.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrlidmOLD  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  =  X )
Distinct variable groups:    x, f,  .0.    f, I, x    x, B    R, f, x    x, D    f, X, x    ph, x    x, V    x,  .x.    x, S   
x,  .1.
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .x. ( f)    U( x, f)    .1. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrlidmOLD
Dummy variables  y 
z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 psr1cl.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
4 psr1cl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 psrlidm.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  S )
6 psrrng.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 psrrng.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
8 psr1cl.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 psr1cl.o . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
10 psr1cl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
111, 7, 6, 3, 8, 9, 10, 4psr1cl 17854 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  B )
12 psrlidm.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
131, 4, 5, 6, 11, 12psrmulcl 17840 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  e.  B )
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 17831 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
) : D --> ( Base `  R ) )
15 ffn 5731 . . 3  |-  ( ( U  .x.  X ) : D --> ( Base `  R )  ->  ( U  .x.  X )  Fn  D )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  Fn  D )
171, 2, 3, 4, 12psrelbas 17831 . . 3  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
18 ffn 5731 . . 3  |-  ( X : D --> ( Base `  R )  ->  X  Fn  D )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  X  Fn  D )
20 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
2111adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U  e.  B )
2212adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  X  e.  B )
23 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
241, 4, 20, 5, 3, 21, 22, 23psrmulval 17838 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U  .x.  X
) `  y )  =  ( R  gsumg  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) ) ) )
25 0nn0 10810 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
2625fconst6 5775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } ) : I --> NN0 )
28 0fin 7747 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  Fin
29 nn0suppOLD 10850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
3026, 29mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
3125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
32 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( I  \  (/) )  ->  x  e.  I )
33 fvconst2g 6114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  x  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `
 x )  =  0 )
3431, 32, 33syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (/) ) )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `  x )  =  0 )
3527, 34suppssOLD 6014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  (/) )
3630, 35eqsstr3d 3539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN ) 
C_  (/) )
37 ssfi 7740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  C_  (/) )  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
3828, 36, 37sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
393psrbag 17812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I  X.  {
0 } )  e.  D  <->  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
407, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  <->  ( (
I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  {
0 } ) " NN )  e.  Fin ) ) )
4127, 38, 40mpbir2and 920 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } )  e.  D )
4241adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  D
)
433psrbagf 17813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
447, 43sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
4544ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  e.  NN0 )
4645nn0ge0d 10855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( y `  x
) )
4746ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  A. x  e.  I  0  <_  ( y `  x ) )
48 ffn 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  ->  ( I  X.  { 0 } )  Fn  I )
4926, 48mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  Fn  I
)
50 ffn 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y : I --> NN0  ->  y  Fn  I )
5144, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  Fn  I )
527adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  I  e.  V )
53 inidm 3707 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  i^i  I )  =  I
5425a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  0  e.  NN0 )
5554, 33sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
( I  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
56 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  =  ( y `  x ) )
5749, 51, 52, 52, 53, 55, 56ofrfval 6532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( I  X.  {
0 } )  oR  <_  y  <->  A. x  e.  I  0  <_  ( y `  x ) ) )
5847, 57mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  oR  <_  y )
59 breq1 4450 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( g  oR  <_  y  <->  ( I  X.  { 0 } )  oR  <_  y
) )
6059elrab 3261 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  <->  ( (
I  X.  { 0 } )  e.  D  /\  ( I  X.  {
0 } )  oR  <_  y )
)
6142, 58, 60sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y } )
6261snssd 4172 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { ( I  X.  { 0 } ) }  C_  { g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y } )
63 resmpt 5323 . . . . . 6  |-  ( { ( I  X.  {
0 } ) } 
C_  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  ->  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } )  =  ( z  e. 
{ ( I  X.  { 0 } ) }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } )  =  ( z  e. 
{ ( I  X.  { 0 } ) }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) )
6564oveq2d 6300 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  =  ( R 
gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) ) ) )
66 rngcmn 17030 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
676, 66syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6867adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
69 ovex 6309 . . . . . . . . 9  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
7069rabex 4598 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
713, 70eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  D  e. 
_V
7271rabex 4598 . . . . . 6  |-  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  e.  _V
7372a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  e.  _V )
746ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  ->  R  e.  Ring )
75 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y } )
76 breq1 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  z  ->  (
g  oR  <_ 
y  <->  z  oR  <_  y ) )
7776elrab 3261 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  <->  ( z  e.  D  /\  z  oR  <_  y
) )
7875, 77sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( z  e.  D  /\  z  oR 
<_  y ) )
7978simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z  e.  D )
801, 2, 3, 4, 21psrelbas 17831 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U : D --> ( Base `  R
) )
8180ffvelrnda 6021 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  D )  ->  ( U `  z )  e.  ( Base `  R
) )
8279, 81syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( U `  z
)  e.  ( Base `  R ) )
8317ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
847ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  ->  I  e.  V )
8523adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
y  e.  D )
863psrbagf 17813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  D )  ->  z : I --> NN0 )
8784, 79, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z : I --> NN0 )
8878simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z  oR  <_ 
y )
893psrbagcon 17821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( y  e.  D  /\  z : I --> NN0  /\  z  oR  <_  y
) )  ->  (
( y  oF  -  z )  e.  D  /\  ( y  oF  -  z
)  oR  <_ 
y ) )
9084, 85, 87, 88, 89syl13anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( ( y  oF  -  z )  e.  D  /\  (
y  oF  -  z )  oR  <_  y ) )
9190simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( y  oF  -  z )  e.  D )
9283, 91ffvelrnd 6022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( X `  (
y  oF  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
932, 20rngcl 17013 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U `  z )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( X `  ( y  oF  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( U `  z
) ( .r `  R ) ( X `
 ( y  oF  -  z ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
9474, 82, 92, 93syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
95 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) )  =  ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )
9694, 95fmptd 6045 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }
--> ( Base `  R
) )
97 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } )  -> 
z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y } )
9897, 78sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( z  e.  D  /\  z  oR 
<_  y ) )
9998simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
z  e.  D )
100 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  z  =  ( I  X.  { 0 } ) ) )
101100ifbid 3961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  if ( x  =  (
I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
102 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
1039, 102eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  .1.  e.  _V
104 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1058, 104eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  e.  _V
106103, 105ifex 4008 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
107101, 10, 106fvmpt 5950 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  D  ->  ( U `  z )  =  if ( z  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
10899, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( U `  z
)  =  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
109 eldifn 3627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } )  ->  -.  z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) } )
110109adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  -.  z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) } )
111 elsn 4041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) }  <->  z  =  ( I  X.  { 0 } ) )
112110, 111sylnib 304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  -.  z  =  (
I  X.  { 0 } ) )
113 iffalse 3948 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if (
z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
115108, 114eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( U `  z
)  =  .0.  )
116115oveq1d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) )  =  (  .0.  ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) )
1176ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  R  e.  Ring )
11897, 92sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( X `  (
y  oF  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
1192, 20, 8rnglz 17036 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  ( y  oF  -  z
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) )  =  .0.  )
120117, 118, 119syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) )  =  .0.  )
121116, 120eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) )  =  .0.  )
122121suppss2OLD 6514 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { ( I  X.  { 0 } ) } )
123 snfi 7596 . . . . . 6  |-  { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin
124 ssfi 7740 . . . . . 6  |-  ( ( { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin  /\  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { ( I  X.  { 0 } ) } )  ->  ( `' ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
125123, 122, 124sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
1262, 8, 68, 73, 96, 122, 125gsumresOLD 16728 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  =  ( R 
gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) ) )
1276adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
128 rngmnd 17009 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
129127, 128syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Mnd )
130 iftrue 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
131130, 10, 103fvmpt 5950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  ->  ( U `  (
I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
13242, 131syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
133 nn0cn 10805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  CC )
134133subid1d 9919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( z  -  0 )  =  z )
135134adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  NN0 )  ->  (
z  -  0 )  =  z )
13652, 44, 54, 135caofid0r 6553 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) )  =  y )
137136fveq2d 5870 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  ( y  oF  -  (
I  X.  { 0 } ) ) )  =  ( X `  y ) )
138132, 137oveq12d 6302 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  =  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) ) )
13917ffvelrnda 6021 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )
1402, 20, 9rnglidm 17023 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) )  =  ( X `  y
) )
141127, 139, 140syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) )  =  ( X `  y
) )
142138, 141eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  =  ( X `
 y ) )
143142, 139eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
144 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( U `  z )  =  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) )
145 oveq2 6292 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( y  oF  -  z )  =  ( y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) )
146145fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( X `  ( y  oF  -  z ) )  =  ( X `  ( y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )
147144, 146oveq12d 6302 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) )  =  ( ( U `
 ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `
 ( y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
1482, 147gsumsn 16784 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( I  X.  { 0 } )  e.  D  /\  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( R  gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  (
I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
149129, 42, 143, 148syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  (
I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
15065, 126, 1493eqtr3d 2516 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
15124, 150, 1423eqtrd 2512 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U  .x.  X
) `  y )  =  ( X `  y ) )
15216, 19, 151eqfnfvd 5978 1  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   `'ccnv 4998    |` cres 5001   "cima 5002    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    oFcof 6522    oRcofr 6523    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   0cc0 9492    <_ cle 9629    - cmin 9805   NNcn 10536   NN0cn0 10795   Basecbs 14490   .rcmulr 14556   0gc0g 14695    gsumg cgsu 14696   Mndcmnd 15726  CMndccmn 16604   1rcur 16955   Ringcrg 17000   mPwSer cmps 17799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-ofr 6525  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-tset 14574  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-psr 17804
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