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Theorem psrlidmOLD 18183
Description: The identity element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Obsolete version of psrlidm 18182 as of 8-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrring.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrring.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psr1cl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psr1cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psr1cl.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
psr1cl.u  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
psr1cl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrlidm.t  |-  .x.  =  ( .r `  S )
psrlidm.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrlidmOLD  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  =  X )
Distinct variable groups:    x, f,  .0.    f, I, x    x, B    R, f, x    x, D    f, X, x    ph, x    x, V    x,  .x.    x, S   
x,  .1.
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .x. ( f)    U( x, f)    .1. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrlidmOLD
Dummy variables  y 
z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 psr1cl.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
4 psr1cl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 psrlidm.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  S )
6 psrring.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 psrring.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
8 psr1cl.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 psr1cl.o . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
10 psr1cl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
111, 7, 6, 3, 8, 9, 10, 4psr1cl 18181 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  B )
12 psrlidm.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
131, 4, 5, 6, 11, 12psrmulcl 18167 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  e.  B )
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 18158 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
) : D --> ( Base `  R ) )
15 ffn 5737 . . 3  |-  ( ( U  .x.  X ) : D --> ( Base `  R )  ->  ( U  .x.  X )  Fn  D )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  Fn  D )
171, 2, 3, 4, 12psrelbas 18158 . . 3  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
18 ffn 5737 . . 3  |-  ( X : D --> ( Base `  R )  ->  X  Fn  D )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  X  Fn  D )
20 eqid 2457 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
2111adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U  e.  B )
2212adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  X  e.  B )
23 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
241, 4, 20, 5, 3, 21, 22, 23psrmulval 18165 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U  .x.  X
) `  y )  =  ( R  gsumg  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) ) ) )
25 0nn0 10831 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
2625fconst6 5781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } ) : I --> NN0 )
28 0fin 7766 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  Fin
29 nn0suppOLD 10871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
3026, 29mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
3125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
32 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( I  \  (/) )  ->  x  e.  I )
33 fvconst2g 6126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  x  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `
 x )  =  0 )
3431, 32, 33syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (/) ) )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `  x )  =  0 )
3527, 34suppssOLD 6021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  (/) )
3630, 35eqsstr3d 3534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN ) 
C_  (/) )
37 ssfi 7759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  C_  (/) )  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
3828, 36, 37sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
393psrbag 18139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I  X.  {
0 } )  e.  D  <->  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
407, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  <->  ( (
I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  {
0 } ) " NN )  e.  Fin ) ) )
4127, 38, 40mpbir2and 922 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } )  e.  D )
4241adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  D
)
433psrbagf 18140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
447, 43sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
4544ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  e.  NN0 )
4645nn0ge0d 10876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( y `  x
) )
4746ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  A. x  e.  I  0  <_  ( y `  x ) )
48 ffn 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  ->  ( I  X.  { 0 } )  Fn  I )
4926, 48mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  Fn  I
)
50 ffn 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y : I --> NN0  ->  y  Fn  I )
5144, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  Fn  I )
527adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  I  e.  V )
53 inidm 3703 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  i^i  I )  =  I
5425a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  0  e.  NN0 )
5554, 33sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
( I  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
56 eqidd 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  =  ( y `  x ) )
5749, 51, 52, 52, 53, 55, 56ofrfval 6547 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( I  X.  {
0 } )  oR  <_  y  <->  A. x  e.  I  0  <_  ( y `  x ) ) )
5847, 57mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  oR  <_  y )
59 breq1 4459 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( g  oR  <_  y  <->  ( I  X.  { 0 } )  oR  <_  y
) )
6059elrab 3257 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  <->  ( (
I  X.  { 0 } )  e.  D  /\  ( I  X.  {
0 } )  oR  <_  y )
)
6142, 58, 60sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y } )
6261snssd 4177 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { ( I  X.  { 0 } ) }  C_  { g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y } )
63 resmpt 5333 . . . . . 6  |-  ( { ( I  X.  {
0 } ) } 
C_  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  ->  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } )  =  ( z  e. 
{ ( I  X.  { 0 } ) }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } )  =  ( z  e. 
{ ( I  X.  { 0 } ) }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) )
6564oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  =  ( R 
gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) ) ) )
66 ringcmn 17355 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
676, 66syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6867adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
69 ovex 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
7069rabex 4607 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
713, 70eqeltri 2541 . . . . . . 7  |-  D  e. 
_V
7271rabex 4607 . . . . . 6  |-  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  e.  _V
7372a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  e.  _V )
746ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  ->  R  e.  Ring )
75 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y } )
76 breq1 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  z  ->  (
g  oR  <_ 
y  <->  z  oR  <_  y ) )
7776elrab 3257 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  <->  ( z  e.  D  /\  z  oR  <_  y
) )
7875, 77sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( z  e.  D  /\  z  oR 
<_  y ) )
7978simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z  e.  D )
801, 2, 3, 4, 21psrelbas 18158 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U : D --> ( Base `  R
) )
8180ffvelrnda 6032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  D )  ->  ( U `  z )  e.  ( Base `  R
) )
8279, 81syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( U `  z
)  e.  ( Base `  R ) )
8317ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
847ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  ->  I  e.  V )
8523adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
y  e.  D )
863psrbagf 18140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  D )  ->  z : I --> NN0 )
8784, 79, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z : I --> NN0 )
8878simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z  oR  <_ 
y )
893psrbagcon 18148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( y  e.  D  /\  z : I --> NN0  /\  z  oR  <_  y
) )  ->  (
( y  oF  -  z )  e.  D  /\  ( y  oF  -  z
)  oR  <_ 
y ) )
9084, 85, 87, 88, 89syl13anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( ( y  oF  -  z )  e.  D  /\  (
y  oF  -  z )  oR  <_  y ) )
9190simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( y  oF  -  z )  e.  D )
9283, 91ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( X `  (
y  oF  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
932, 20ringcl 17338 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U `  z )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( X `  ( y  oF  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( U `  z
) ( .r `  R ) ( X `
 ( y  oF  -  z ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
9474, 82, 92, 93syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
95 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) )  =  ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )
9694, 95fmptd 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }
--> ( Base `  R
) )
97 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } )  -> 
z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y } )
9897, 78sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( z  e.  D  /\  z  oR 
<_  y ) )
9998simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
z  e.  D )
100 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  z  =  ( I  X.  { 0 } ) ) )
101100ifbid 3966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  if ( x  =  (
I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
102 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
1039, 102eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . 12  |-  .1.  e.  _V
104 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1058, 104eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  e.  _V
106103, 105ifex 4013 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
107101, 10, 106fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  D  ->  ( U `  z )  =  if ( z  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
10899, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( U `  z
)  =  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
109 eldifn 3623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } )  ->  -.  z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) } )
110109adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  -.  z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) } )
111 elsn 4046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) }  <->  z  =  ( I  X.  { 0 } ) )
112110, 111sylnib 304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  -.  z  =  (
I  X.  { 0 } ) )
113 iffalse 3953 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if (
z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
115108, 114eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( U `  z
)  =  .0.  )
116115oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) )  =  (  .0.  ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) )
1176ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  R  e.  Ring )
11897, 92sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( X `  (
y  oF  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
1192, 20, 8ringlz 17361 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  ( y  oF  -  z
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) )  =  .0.  )
120117, 118, 119syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) )  =  .0.  )
121116, 120eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) )  =  .0.  )
122121suppss2OLD 6529 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { ( I  X.  { 0 } ) } )
123 snfi 7615 . . . . . 6  |-  { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin
124 ssfi 7759 . . . . . 6  |-  ( ( { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin  /\  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { ( I  X.  { 0 } ) } )  ->  ( `' ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
125123, 122, 124sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
1262, 8, 68, 73, 96, 122, 125gsumresOLD 17051 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  =  ( R 
gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) ) )
1276adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
128 ringmnd 17333 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
129127, 128syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Mnd )
130 iftrue 3950 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
131130, 10, 103fvmpt 5956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  ->  ( U `  (
I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
13242, 131syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
133 nn0cn 10826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  CC )
134133subid1d 9939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( z  -  0 )  =  z )
135134adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  NN0 )  ->  (
z  -  0 )  =  z )
13652, 44, 54, 135caofid0r 6568 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) )  =  y )
137136fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  ( y  oF  -  (
I  X.  { 0 } ) ) )  =  ( X `  y ) )
138132, 137oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  =  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) ) )
13917ffvelrnda 6032 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )
1402, 20, 9ringlidm 17348 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) )  =  ( X `  y
) )
141127, 139, 140syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) )  =  ( X `  y
) )
142138, 141eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  =  ( X `
 y ) )
143142, 139eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
144 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( U `  z )  =  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) )
145 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( y  oF  -  z )  =  ( y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) )
146145fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( X `  ( y  oF  -  z ) )  =  ( X `  ( y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )
147144, 146oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) )  =  ( ( U `
 ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `
 ( y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
1482, 147gsumsn 17107 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( I  X.  { 0 } )  e.  D  /\  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( R  gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  (
I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
149129, 42, 143, 148syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  (
I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
15065, 126, 1493eqtr3d 2506 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
15124, 150, 1423eqtrd 2502 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U  .x.  X
) `  y )  =  ( X `  y ) )
15216, 19, 151eqfnfvd 5985 1  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   `'ccnv 5007    |` cres 5010   "cima 5011    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537    oRcofr 6538    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   0cc0 9509    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   NN0cn0 10816   Basecbs 14643   .rcmulr 14712   0gc0g 14856    gsumg cgsu 14857   Mndcmnd 16045  CMndccmn 16924   1rcur 17279   Ringcrg 17324   mPwSer cmps 18126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-hash 12408  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-tset 14730  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-psr 18131
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