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Theorem psrlidmOLD 17480
Description: The identity element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Obsolete version of psrlidm 17479 as of 8-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psr1cl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psr1cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psr1cl.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
psr1cl.u  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
psr1cl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrlidm.t  |-  .x.  =  ( .r `  S )
psrlidm.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrlidmOLD  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  =  X )
Distinct variable groups:    x, f,  .0.    f, I, x    x, B    R, f, x    x, D    f, X, x    ph, x    x, V    x,  .x.    x, S   
x,  .1.
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .x. ( f)    U( x, f)    .1. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrlidmOLD
Dummy variables  y 
z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 psr1cl.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
4 psr1cl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 psrlidm.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  S )
6 psrrng.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 psrrng.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
8 psr1cl.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 psr1cl.o . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
10 psr1cl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
111, 7, 6, 3, 8, 9, 10, 4psr1cl 17478 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  B )
12 psrlidm.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
131, 4, 5, 6, 11, 12psrmulcl 17464 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  e.  B )
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 17455 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
) : D --> ( Base `  R ) )
15 ffn 5564 . . 3  |-  ( ( U  .x.  X ) : D --> ( Base `  R )  ->  ( U  .x.  X )  Fn  D )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  Fn  D )
171, 2, 3, 4, 12psrelbas 17455 . . 3  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
18 ffn 5564 . . 3  |-  ( X : D --> ( Base `  R )  ->  X  Fn  D )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  X  Fn  D )
20 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
2111adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U  e.  B )
2212adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  X  e.  B )
23 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
241, 4, 20, 5, 3, 21, 22, 23psrmulval 17462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U  .x.  X
) `  y )  =  ( R  gsumg  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) ) ) )
25 0nn0 10599 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
2625fconst6 5605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } ) : I --> NN0 )
28 0fin 7545 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  Fin
29 nn0suppOLD 10639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
3026, 29mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN ) )
3125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
32 eldifi 3483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( I  \  (/) )  ->  x  e.  I )
33 fvconst2g 5936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  x  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `
 x )  =  0 )
3431, 32, 33syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  (/) ) )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `  x )  =  0 )
3527, 34suppssOLD 5841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  (/) )
3630, 35eqsstr3d 3396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN ) 
C_  (/) )
37 ssfi 7538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  C_  (/) )  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
3828, 36, 37sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } ) " NN )  e.  Fin )
393psrbag 17436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I  X.  {
0 } )  e.  D  <->  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
407, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  <->  ( (
I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  {
0 } ) " NN )  e.  Fin ) ) )
4127, 38, 40mpbir2and 913 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } )  e.  D )
4241adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  D
)
433psrbagf 17437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
447, 43sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
4544ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  e.  NN0 )
4645nn0ge0d 10644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( y `  x
) )
4746ralrimiva 2804 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  A. x  e.  I  0  <_  ( y `  x ) )
48 ffn 5564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  ->  ( I  X.  { 0 } )  Fn  I )
4926, 48mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  Fn  I
)
50 ffn 5564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y : I --> NN0  ->  y  Fn  I )
5144, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  Fn  I )
527adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  I  e.  V )
53 inidm 3564 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  i^i  I )  =  I
5425a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  0  e.  NN0 )
5554, 33sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
( I  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
56 eqidd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  =  ( y `  x ) )
5749, 51, 52, 52, 53, 55, 56ofrfval 6333 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( I  X.  {
0 } )  oR  <_  y  <->  A. x  e.  I  0  <_  ( y `  x ) ) )
5847, 57mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  oR  <_  y )
59 breq1 4300 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( g  oR  <_  y  <->  ( I  X.  { 0 } )  oR  <_  y
) )
6059elrab 3122 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  <->  ( (
I  X.  { 0 } )  e.  D  /\  ( I  X.  {
0 } )  oR  <_  y )
)
6142, 58, 60sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y } )
6261snssd 4023 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { ( I  X.  { 0 } ) }  C_  { g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y } )
63 resmpt 5161 . . . . . 6  |-  ( { ( I  X.  {
0 } ) } 
C_  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  ->  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } )  =  ( z  e. 
{ ( I  X.  { 0 } ) }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } )  =  ( z  e. 
{ ( I  X.  { 0 } ) }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) )
6564oveq2d 6112 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  =  ( R 
gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) ) ) )
66 rngcmn 16680 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
676, 66syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6867adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
69 ovex 6121 . . . . . . . . 9  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
7069rabex 4448 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
713, 70eqeltri 2513 . . . . . . 7  |-  D  e. 
_V
7271rabex 4448 . . . . . 6  |-  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  e.  _V
7372a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  e.  _V )
746ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  ->  R  e.  Ring )
75 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y } )
76 breq1 4300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  z  ->  (
g  oR  <_ 
y  <->  z  oR  <_  y ) )
7776elrab 3122 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  <->  ( z  e.  D  /\  z  oR  <_  y
) )
7875, 77sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( z  e.  D  /\  z  oR 
<_  y ) )
7978simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z  e.  D )
801, 2, 3, 4, 21psrelbas 17455 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U : D --> ( Base `  R
) )
8180ffvelrnda 5848 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  D )  ->  ( U `  z )  e.  ( Base `  R
) )
8279, 81syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( U `  z
)  e.  ( Base `  R ) )
8317ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
847ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  ->  I  e.  V )
8523adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
y  e.  D )
863psrbagf 17437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  D )  ->  z : I --> NN0 )
8784, 79, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z : I --> NN0 )
8878simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z  oR  <_ 
y )
893psrbagcon 17445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( y  e.  D  /\  z : I --> NN0  /\  z  oR  <_  y
) )  ->  (
( y  oF  -  z )  e.  D  /\  ( y  oF  -  z
)  oR  <_ 
y ) )
9084, 85, 87, 88, 89syl13anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( ( y  oF  -  z )  e.  D  /\  (
y  oF  -  z )  oR  <_  y ) )
9190simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( y  oF  -  z )  e.  D )
9283, 91ffvelrnd 5849 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( X `  (
y  oF  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
932, 20rngcl 16663 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U `  z )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( X `  ( y  oF  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( U `  z
) ( .r `  R ) ( X `
 ( y  oF  -  z ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
9474, 82, 92, 93syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
95 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) )  =  ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )
9694, 95fmptd 5872 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }
--> ( Base `  R
) )
97 eldifi 3483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } )  -> 
z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y } )
9897, 78sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( z  e.  D  /\  z  oR 
<_  y ) )
9998simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
z  e.  D )
100 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  z  =  ( I  X.  { 0 } ) ) )
101100ifbid 3816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  if ( x  =  (
I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
102 fvex 5706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
1039, 102eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  .1.  e.  _V
104 fvex 5706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1058, 104eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  e.  _V
106103, 105ifex 3863 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
107101, 10, 106fvmpt 5779 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  D  ->  ( U `  z )  =  if ( z  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
10899, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( U `  z
)  =  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
109 eldifn 3484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } )  ->  -.  z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) } )
110109adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  -.  z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) } )
111 elsn 3896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) }  <->  z  =  ( I  X.  { 0 } ) )
112110, 111sylnib 304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  -.  z  =  (
I  X.  { 0 } ) )
113 iffalse 3804 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if (
z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
115108, 114eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( U `  z
)  =  .0.  )
116115oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) )  =  (  .0.  ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) )
1176ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  R  e.  Ring )
11897, 92sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( X `  (
y  oF  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
1192, 20, 8rnglz 16686 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  ( y  oF  -  z
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) )  =  .0.  )
120117, 118, 119syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) )  =  .0.  )
121116, 120eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) )  =  .0.  )
122121suppss2OLD 6320 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { ( I  X.  { 0 } ) } )
123 snfi 7395 . . . . . 6  |-  { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin
124 ssfi 7538 . . . . . 6  |-  ( ( { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin  /\  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { ( I  X.  { 0 } ) } )  ->  ( `' ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
125123, 122, 124sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( `' ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
1262, 8, 68, 73, 96, 122, 125gsumresOLD 16404 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  =  ( R 
gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) ) )
1276adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
128 rngmnd 16659 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
129127, 128syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Mnd )
130 iftrue 3802 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
131130, 10, 103fvmpt 5779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  ->  ( U `  (
I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
13242, 131syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
133 nn0cn 10594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  CC )
134133subid1d 9713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( z  -  0 )  =  z )
135134adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  NN0 )  ->  (
z  -  0 )  =  z )
13652, 44, 54, 135caofid0r 6354 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) )  =  y )
137136fveq2d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  ( y  oF  -  (
I  X.  { 0 } ) ) )  =  ( X `  y ) )
138132, 137oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  =  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) ) )
13917ffvelrnda 5848 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )
1402, 20, 9rnglidm 16673 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) )  =  ( X `  y
) )
141127, 139, 140syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) )  =  ( X `  y
) )
142138, 141eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  =  ( X `
 y ) )
143142, 139eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
144 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( U `  z )  =  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) )
145 oveq2 6104 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( y  oF  -  z )  =  ( y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) )
146145fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( X `  ( y  oF  -  z ) )  =  ( X `  ( y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )
147144, 146oveq12d 6114 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) )  =  ( ( U `
 ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `
 ( y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
1482, 147gsumsn 16454 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( I  X.  { 0 } )  e.  D  /\  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( R  gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  (
I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
149129, 42, 143, 148syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  (
I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
15065, 126, 1493eqtr3d 2483 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
15124, 150, 1423eqtrd 2479 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U  .x.  X
) `  y )  =  ( X `  y ) )
15216, 19, 151eqfnfvd 5805 1  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   {crab 2724   _Vcvv 2977    \ cdif 3330    C_ wss 3333   (/)c0 3642   ifcif 3796   {csn 3882   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    X. cxp 4843   `'ccnv 4844    |` cres 4847   "cima 4848    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    oFcof 6323    oRcofr 6324    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   0cc0 9287    <_ cle 9424    - cmin 9600   NNcn 10327   NN0cn0 10584   Basecbs 14179   .rcmulr 14244   0gc0g 14383    gsumg cgsu 14384   Mndcmnd 15414  CMndccmn 16282   1rcur 16608   Ringcrg 16650   mPwSer cmps 17423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-tset 14262  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-psr 17428
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