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Theorem psrlidm 18182
Description: The identity element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrring.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrring.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psr1cl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psr1cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psr1cl.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
psr1cl.u  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
psr1cl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrlidm.t  |-  .x.  =  ( .r `  S )
psrlidm.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psrlidm  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  =  X )
Distinct variable groups:    x, f,  .0.    f, I, x    x, B    R, f, x    x, D    f, X, x    ph, x    x, V    x,  .x.    x, S   
x,  .1.
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .x. ( f)    U( x, f)    .1. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrlidm
Dummy variables  y 
z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 psr1cl.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
4 psr1cl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 psrlidm.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  S )
6 psrring.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 psrring.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
8 psr1cl.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 psr1cl.o . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
10 psr1cl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
111, 7, 6, 3, 8, 9, 10, 4psr1cl 18181 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  B )
12 psrlidm.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
131, 4, 5, 6, 11, 12psrmulcl 18167 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  e.  B )
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 18158 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
) : D --> ( Base `  R ) )
15 ffn 5737 . . 3  |-  ( ( U  .x.  X ) : D --> ( Base `  R )  ->  ( U  .x.  X )  Fn  D )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  Fn  D )
171, 2, 3, 4, 12psrelbas 18158 . . 3  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
18 ffn 5737 . . 3  |-  ( X : D --> ( Base `  R )  ->  X  Fn  D )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  X  Fn  D )
20 eqid 2457 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
2111adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U  e.  B )
2212adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  X  e.  B )
23 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
241, 4, 20, 5, 3, 21, 22, 23psrmulval 18165 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U  .x.  X
) `  y )  =  ( R  gsumg  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) ) ) )
25 fconstmpt 5052 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  I  |->  0 )
263fczpsrbag 18142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  V  ->  (
x  e.  I  |->  0 )  e.  D )
277, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  0 )  e.  D
)
2825, 27syl5eqel 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
0 } )  e.  D )
2928adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  D
)
303psrbagf 18140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
317, 30sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y : I --> NN0 )
3231ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  e.  NN0 )
3332nn0ge0d 10876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( y `  x
) )
3433ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  A. x  e.  I  0  <_  ( y `  x ) )
35 0nn0 10831 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
3635fconst6 5781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0
37 ffn 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  ->  ( I  X.  { 0 } )  Fn  I )
3836, 37mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  Fn  I
)
39 ffn 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y : I --> NN0  ->  y  Fn  I )
4031, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  y  Fn  I )
417adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  I  e.  V )
42 inidm 3703 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  i^i  I )  =  I
4335a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  0  e.  NN0 )
44 fvconst2g 6126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  x  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { 0 } ) `
 x )  =  0 )
4543, 44sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
( I  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
46 eqidd 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  e.  I )  ->  (
y `  x )  =  ( y `  x ) )
4738, 40, 41, 41, 42, 45, 46ofrfval 6547 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( I  X.  {
0 } )  oR  <_  y  <->  A. x  e.  I  0  <_  ( y `  x ) ) )
4834, 47mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  oR  <_  y )
49 breq1 4459 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( g  oR  <_  y  <->  ( I  X.  { 0 } )  oR  <_  y
) )
5049elrab 3257 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  <->  ( (
I  X.  { 0 } )  e.  D  /\  ( I  X.  {
0 } )  oR  <_  y )
)
5129, 48, 50sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y } )
5251snssd 4177 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { ( I  X.  { 0 } ) }  C_  { g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y } )
5352resmptd 5335 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } )  =  ( z  e. 
{ ( I  X.  { 0 } ) }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) )
5453oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  =  ( R 
gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) ) ) )
55 ringcmn 17355 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
566, 55syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
5756adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
58 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
593, 58rab2ex 4610 . . . . . 6  |-  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  e.  _V
6059a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  e.  _V )
616ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  ->  R  e.  Ring )
62 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y } )
63 breq1 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  z  ->  (
g  oR  <_ 
y  <->  z  oR  <_  y ) )
6463elrab 3257 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  <->  ( z  e.  D  /\  z  oR  <_  y
) )
6562, 64sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( z  e.  D  /\  z  oR 
<_  y ) )
6665simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z  e.  D )
671, 2, 3, 4, 21psrelbas 18158 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  U : D --> ( Base `  R
) )
6867ffvelrnda 6032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  D )  ->  ( U `  z )  e.  ( Base `  R
) )
6966, 68syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( U `  z
)  e.  ( Base `  R ) )
7017ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
717ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  ->  I  e.  V )
7223adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
y  e.  D )
733psrbagf 18140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  D )  ->  z : I --> NN0 )
7471, 66, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z : I --> NN0 )
7565simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
z  oR  <_ 
y )
763psrbagcon 18148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( y  e.  D  /\  z : I --> NN0  /\  z  oR  <_  y
) )  ->  (
( y  oF  -  z )  e.  D  /\  ( y  oF  -  z
)  oR  <_ 
y ) )
7771, 72, 74, 75, 76syl13anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( ( y  oF  -  z )  e.  D  /\  (
y  oF  -  z )  oR  <_  y ) )
7877simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( y  oF  -  z )  e.  D )
7970, 78ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( X `  (
y  oF  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
802, 20ringcl 17338 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( U `  z )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( X `  ( y  oF  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( U `  z
) ( .r `  R ) ( X `
 ( y  oF  -  z ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
8161, 69, 79, 80syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  y } )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
82 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) )  =  ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )
8381, 82fmptd 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }
--> ( Base `  R
) )
84 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } )  -> 
z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y } )
8584, 65sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( z  e.  D  /\  z  oR 
<_  y ) )
8685simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
z  e.  D )
87 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( I  X.  { 0 } )  <->  z  =  ( I  X.  { 0 } ) ) )
8887ifbid 3966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  if ( x  =  (
I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
89 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
909, 89eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . 12  |-  .1.  e.  _V
91 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
928, 91eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  e.  _V
9390, 92ifex 4013 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
9488, 10, 93fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  D  ->  ( U `  z )  =  if ( z  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
9586, 94syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( U `  z
)  =  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
96 eldifn 3623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } )  ->  -.  z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) } )
9796adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  -.  z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) } )
98 elsn 4046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { ( I  X.  { 0 } ) }  <->  z  =  ( I  X.  { 0 } ) )
9997, 98sylnib 304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  -.  z  =  (
I  X.  { 0 } ) )
10099iffalsed 3955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  if ( z  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
10195, 100eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( U `  z
)  =  .0.  )
102101oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) )  =  (  .0.  ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) )
1036ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  ->  R  e.  Ring )
10484, 79sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( X `  (
y  oF  -  z ) )  e.  ( Base `  R
) )
1052, 20, 8ringlz 17361 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  ( y  oF  -  z
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) )  =  .0.  )
106103, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) )  =  .0.  )
107102, 106eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  ( { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  \  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) )  =  .0.  )
108107, 60suppss2 6952 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) supp  .0.  )  C_ 
{ ( I  X.  { 0 } ) } )
1093, 58rabex2 4609 . . . . . . . 8  |-  D  e. 
_V
110109mptrabex 6145 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) )  e.  _V
111110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) ) )  e.  _V )
112 funmpt 5630 . . . . . . 7  |-  Fun  (
z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) ) )
113112a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  Fun  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) )
11492a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  .0.  e.  _V )
115 snfi 7615 . . . . . . 7  |-  { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin
116115a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin )
117 suppssfifsupp 7862 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  /\  .0.  e.  _V )  /\  ( { ( I  X.  { 0 } ) }  e.  Fin  /\  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) supp  .0.  )  C_ 
{ ( I  X.  { 0 } ) } ) )  -> 
( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) finSupp  .0.  )
118111, 113, 114, 116, 108, 117syl32anc 1236 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
z  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  y }  |->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) ) ) finSupp  .0.  )
1192, 8, 57, 60, 83, 108, 118gsumres 17047 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( z  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) )  |`  { ( I  X.  { 0 } ) } ) )  =  ( R 
gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) ) )
1206adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
121 ringmnd 17333 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
122120, 121syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  R  e.  Mnd )
123 iftrue 3950 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
124123, 10, 90fvmpt 5956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  D  ->  ( U `  (
I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
12529, 124syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) )  =  .1.  )
126 nn0cn 10826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN0  ->  z  e.  CC )
127126subid1d 9939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( z  -  0 )  =  z )
128127adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  z  e.  NN0 )  ->  (
z  -  0 )  =  z )
12941, 31, 43, 128caofid0r 6568 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) )  =  y )
130129fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  ( y  oF  -  (
I  X.  { 0 } ) ) )  =  ( X `  y ) )
131125, 130oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  =  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) ) )
13217ffvelrnda 6032 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )
1332, 20, 9ringlidm 17348 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) )  =  ( X `  y
) )
134120, 132, 133syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (  .1.  ( .r `  R
) ( X `  y ) )  =  ( X `  y
) )
135131, 134eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  =  ( X `
 y ) )
136135, 132eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U `  (
I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
137 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( U `  z )  =  ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) )
138 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( y  oF  -  z )  =  ( y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) )
139138fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( X `  ( y  oF  -  z ) )  =  ( X `  ( y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )
140137, 139oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( ( U `
 z ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  z ) ) )  =  ( ( U `
 ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `
 ( y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
1412, 140gsumsn 17107 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( I  X.  { 0 } )  e.  D  /\  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( R  gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  (
I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
142122, 29, 136, 141syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
( I  X.  {
0 } ) } 
|->  ( ( U `  z ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  z
) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r
`  R ) ( X `  ( y  oF  -  (
I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
14354, 119, 1423eqtr3d 2506 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( z  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_ 
y }  |->  ( ( U `  z ) ( .r `  R
) ( X `  ( y  oF  -  z ) ) ) ) )  =  ( ( U `  ( I  X.  { 0 } ) ) ( .r `  R ) ( X `  (
y  oF  -  ( I  X.  { 0 } ) ) ) ) )
14424, 143, 1353eqtrd 2502 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( U  .x.  X
) `  y )  =  ( X `  y ) )
14516, 19, 144eqfnfvd 5985 1  |-  ( ph  ->  ( U  .x.  X
)  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   `'ccnv 5007    |` cres 5010   "cima 5011   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537    oRcofr 6538   supp csupp 6917    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   finSupp cfsupp 7847   0cc0 9509    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   NN0cn0 10816   Basecbs 14643   .rcmulr 14712   0gc0g 14856    gsumg cgsu 14857   Mndcmnd 16045  CMndccmn 16924   1rcur 17279   Ringcrg 17324   mPwSer cmps 18126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-hash 12408  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-tset 14730  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-psr 18131
This theorem is referenced by:  psrring  18192  psr1  18193
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