Theorem psrelbas 16399

Description: An element of the set of power series is a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrbas.k	|- K = ( Base ` R )
psrbas.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbas.b	|- B = ( Base ` S )
psrelbas.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrelbas	|- ( ph -> X : D --> K )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   K( f)   X( f)

Proof of Theorem psrelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbas.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
2		psrbas.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
3		psrbas.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
4		psrbas.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		psrbas.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
6		reldmpsr 16383	. . . . . . 7 |- Rel dom mPwSer
7	6, 2, 5	elbasov 13468	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
8	1, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
9	8	simpld 446	. . . 4 |- ( ph -> I e. _V )
10	2, 3, 4, 5, 9	psrbas 16398	. . 3 |- ( ph -> B = ( K ^m D ) )
11	1, 10	eleqtrd 2480	. 2 |- ( ph -> X e. ( K ^m D ) )
12		fvex 5701	. . . 4 |- ( Base ` R ) e. _V
13	3, 12	eqeltri 2474	. . 3 |- K e. _V
14		ovex 6065	. . . . 5 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
15	14	rabex 4314	. . . 4 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V
16	4, 15	eqeltri 2474	. . 3 |- D e. _V
17	13, 16	elmap 7001	. 2 |- ( X e. ( K ^m D ) <-> X : D --> K )
18	11, 17	sylib 189	1 |- ( ph -> X : D --> K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   {crab 2670   _Vcvv 2916   `'ccnv 4836   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ^m cmap 6977   Fincfn 7068   NNcn 9956   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   mPwSer cmps 16361

This theorem is referenced by:  psraddcl  16402  psrmulcllem  16406  psrvscaval  16411  psrvscacl  16412  psr0lid  16414  psrnegcl  16415  psrlinv  16416  psrgrp  16417  psrlmod  16420  psrlidm  16422  psrridm  16423  psrass1  16424  psrdi  16425  psrdir  16426  psrcom  16427  psrass23  16428  resspsrmul  16435  mplelf  16452  mplsubglem  16453  mpllsslem  16454  mplsubrglem  16457  mvrcl  16467  subrgasclcl  16514  psrplusgpropd  16584  psropprmul  16587

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-psr 16372