Theorem psrelbas 17427

Description: An element of the set of power series is a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrbas.k	|- K = ( Base ` R )
psrbas.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbas.b	|- B = ( Base ` S )
psrelbas.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrelbas	|- ( ph -> X : D --> K )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   K( f)   X( f)

Proof of Theorem psrelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbas.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
2		psrbas.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
3		psrbas.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
4		psrbas.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		psrbas.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
6		reldmpsr 17405	. . . . . . 7 |- Rel dom mPwSer
7	6, 2, 5	elbasov 14214	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
8	1, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
9	8	simpld 459	. . . 4 |- ( ph -> I e. _V )
10	2, 3, 4, 5, 9	psrbas 17425	. . 3 |- ( ph -> B = ( K ^m D ) )
11	1, 10	eleqtrd 2514	. 2 |- ( ph -> X e. ( K ^m D ) )
12		fvex 5696	. . . 4 |- ( Base ` R ) e. _V
13	3, 12	eqeltri 2508	. . 3 |- K e. _V
14		ovex 6111	. . . . 5 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
15	14	rabex 4438	. . . 4 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V
16	4, 15	eqeltri 2508	. . 3 |- D e. _V
17	13, 16	elmap 7233	. 2 |- ( X e. ( K ^m D ) <-> X : D --> K )
18	11, 17	sylib 196	1 |- ( ph -> X : D --> K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967   `'ccnv 4834   "cima 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ^m cmap 7206   Fincfn 7302   NNcn 10314   NN0cn0 10571   Basecbs 14166   mPwSer cmps 17395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-tset 14249  df-psr 17400

This theorem is referenced by:  psrelbasfun  17428  psraddcl  17431  psrmulcllem  17435  psrvscaval  17440  psrvscacl  17441  psr0lid  17443  psrnegcl  17444  psrlinv  17445  psrgrp  17446  psrlmod  17449  psrlidm  17451  psrlidmOLD  17452  psrridm  17453  psrridmOLD  17454  psrass1  17455  psrdi  17456  psrdir  17457  psrcom  17458  psrass23  17459  resspsrmul  17466  mplvalOLD  17479  mplelf  17486  mplsubglem  17487  mpllsslem  17488  mplsubglemOLD  17489  mpllsslemOLD  17490  mplsubrglem  17494  mplsubrglemOLD  17495  mvrcl  17505  subrgasclcl  17556  psrplusgpropd  17665  psropprmul  17668  psrass23l  30763