Theorem psrelbas 18538

Description: An element of the set of power series is a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrbas.k	|- K = ( Base ` R )
psrbas.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbas.b	|- B = ( Base ` S )
psrelbas.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrelbas	|- ( ph -> X : D --> K )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   K( f)   X( f)

Proof of Theorem psrelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbas.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
2		psrbas.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
3		psrbas.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
4		psrbas.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		psrbas.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
6		reldmpsr 18520	. . . . . . 7 |- Rel dom mPwSer
7	6, 2, 5	elbasov 15134	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
9	8	simpld 460	. . . 4 |- ( ph -> I e. _V )
10	2, 3, 4, 5, 9	psrbas 18537	. . 3 |- ( ph -> B = ( K ^m D ) )
11	1, 10	eleqtrd 2519	. 2 |- ( ph -> X e. ( K ^m D ) )
12		fvex 5891	. . . 4 |- ( Base ` R ) e. _V
13	3, 12	eqeltri 2513	. . 3 |- K e. _V
14		ovex 6333	. . . 4 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
15	4, 14	rabex2 4578	. . 3 |- D e. _V
16	13, 15	elmap 7508	. 2 |- ( X e. ( K ^m D ) <-> X : D --> K )
17	11, 16	sylib 199	1 |- ( ph -> X : D --> K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   {crab 2786   _Vcvv 3087   `'ccnv 4853   "cima 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ^m cmap 7480   Fincfn 7577   NNcn 10609   NN0cn0 10869   Basecbs 15084   mPwSer cmps 18510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-tset 15171  df-psr 18515

This theorem is referenced by:  psrelbasfun  18539  psraddcl  18542  psrmulcllem  18546  psrvscaval  18551  psrvscacl  18552  psr0lid  18554  psrnegcl  18555  psrlinv  18556  psrgrp  18557  psrlmod  18560  psrlidm  18562  psrridm  18563  psrass1  18564  psrdi  18565  psrdir  18566  psrass23l  18567  psrcom  18568  psrass23  18569  resspsrmul  18576  mplelf  18592  mplsubglem  18593  mpllsslem  18594  mplsubrglem  18598  mvrcl  18608  subrgasclcl  18657  psrplusgpropd  18764  psropprmul  18766