Theorem psrelbas 17831

Description: An element of the set of power series is a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrbas.k	|- K = ( Base ` R )
psrbas.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbas.b	|- B = ( Base ` S )
psrelbas.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrelbas	|- ( ph -> X : D --> K )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   K( f)   X( f)

Proof of Theorem psrelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbas.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
2		psrbas.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
3		psrbas.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
4		psrbas.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		psrbas.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
6		reldmpsr 17809	. . . . . . 7 |- Rel dom mPwSer
7	6, 2, 5	elbasov 14538	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
8	1, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
9	8	simpld 459	. . . 4 |- ( ph -> I e. _V )
10	2, 3, 4, 5, 9	psrbas 17829	. . 3 |- ( ph -> B = ( K ^m D ) )
11	1, 10	eleqtrd 2557	. 2 |- ( ph -> X e. ( K ^m D ) )
12		fvex 5876	. . . 4 |- ( Base ` R ) e. _V
13	3, 12	eqeltri 2551	. . 3 |- K e. _V
14		ovex 6309	. . . . 5 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
15	14	rabex 4598	. . . 4 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V
16	4, 15	eqeltri 2551	. . 3 |- D e. _V
17	13, 16	elmap 7447	. 2 |- ( X e. ( K ^m D ) <-> X : D --> K )
18	11, 17	sylib 196	1 |- ( ph -> X : D --> K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ^m cmap 7420   Fincfn 7516   NNcn 10536   NN0cn0 10795   Basecbs 14490   mPwSer cmps 17799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-tset 14574  df-psr 17804

This theorem is referenced by:  psrelbasfun  17832  psraddcl  17835  psrmulcllem  17839  psrvscaval  17844  psrvscacl  17845  psr0lid  17847  psrnegcl  17848  psrlinv  17849  psrgrp  17850  psrlmod  17853  psrlidm  17855  psrlidmOLD  17856  psrridm  17857  psrridmOLD  17858  psrass1  17859  psrdi  17860  psrdir  17861  psrass23l  17862  psrcom  17863  psrass23  17864  resspsrmul  17871  mplvalOLD  17884  mplelf  17891  mplsubglem  17892  mpllsslem  17893  mplsubglemOLD  17894  mpllsslemOLD  17895  mplsubrglem  17899  mplsubrglemOLD  17900  mvrcl  17910  subrgasclcl  17963  psrplusgpropd  18076  psropprmul  18078