Theorem psrelbas 17572

Description: An element of the set of power series is a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrbas.k	|- K = ( Base ` R )
psrbas.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbas.b	|- B = ( Base ` S )
psrelbas.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrelbas	|- ( ph -> X : D --> K )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   K( f)   X( f)

Proof of Theorem psrelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbas.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
2		psrbas.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
3		psrbas.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
4		psrbas.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		psrbas.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
6		reldmpsr 17550	. . . . . . 7 |- Rel dom mPwSer
7	6, 2, 5	elbasov 14339	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
8	1, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( I e. _V /\ R e. _V ) )
9	8	simpld 459	. . . 4 |- ( ph -> I e. _V )
10	2, 3, 4, 5, 9	psrbas 17570	. . 3 |- ( ph -> B = ( K ^m D ) )
11	1, 10	eleqtrd 2544	. 2 |- ( ph -> X e. ( K ^m D ) )
12		fvex 5808	. . . 4 |- ( Base ` R ) e. _V
13	3, 12	eqeltri 2538	. . 3 |- K e. _V
14		ovex 6224	. . . . 5 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
15	14	rabex 4550	. . . 4 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V
16	4, 15	eqeltri 2538	. . 3 |- D e. _V
17	13, 16	elmap 7350	. 2 |- ( X e. ( K ^m D ) <-> X : D --> K )
18	11, 17	sylib 196	1 |- ( ph -> X : D --> K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   {crab 2802   _Vcvv 3076   `'ccnv 4946   "cima 4950   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   ^m cmap 7323   Fincfn 7419   NNcn 10432   NN0cn0 10689   Basecbs 14291   mPwSer cmps 17540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-tset 14375  df-psr 17545

This theorem is referenced by:  psrelbasfun  17573  psraddcl  17576  psrmulcllem  17580  psrvscaval  17585  psrvscacl  17586  psr0lid  17588  psrnegcl  17589  psrlinv  17590  psrgrp  17591  psrlmod  17594  psrlidm  17596  psrlidmOLD  17597  psrridm  17598  psrridmOLD  17599  psrass1  17600  psrdi  17601  psrdir  17602  psrass23l  17603  psrcom  17604  psrass23  17605  resspsrmul  17612  mplvalOLD  17625  mplelf  17632  mplsubglem  17633  mpllsslem  17634  mplsubglemOLD  17635  mpllsslemOLD  17636  mplsubrglem  17640  mplsubrglemOLD  17641  mvrcl  17651  subrgasclcl  17704  psrplusgpropd  17813  psropprmul  17815