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Theorem psrdir 16426
Description: Distributive law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrass.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
psrdi.a  |-  .+  =  ( +g  `  S )
Assertion
Ref Expression
psrdir  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y )  .X.  Z
)  =  ( ( X  .X.  Z )  .+  ( Y  .X.  Z
) ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Z    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    .+ ( f)    S( f)   
.X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrdir
Dummy variables  x  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrass.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  S
)
3 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 psrdi.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  S )
5 psrass.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6 psrass.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 16401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =  ( X  o F ( +g  `  R ) Y ) )
87fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y ) `  x
)  =  ( ( X  o F ( +g  `  R ) Y ) `  x
) )
98ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X  .+  Y ) `  x
)  =  ( ( X  o F ( +g  `  R ) Y ) `  x
) )
10 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  C_  D
11 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
1210, 11sseldi 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  x  e.  D )
13 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
14 psrass.d . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
151, 13, 14, 2, 5psrelbas 16399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1615ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
17 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : D --> ( Base `  R )  ->  X  Fn  D )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  X  Fn  D )
191, 13, 14, 2, 6psrelbas 16399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2019ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
21 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y : D --> ( Base `  R )  ->  Y  Fn  D )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Y  Fn  D )
23 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
2423rabex 4314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
2514, 24eqeltri 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  e. 
_V
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  D  e.  _V )
27 inidm 3510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  i^i  D )  =  D
28 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  x  e.  D )  ->  ( X `  x )  =  ( X `  x ) )
29 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  x  e.  D )  ->  ( Y `  x )  =  ( Y `  x ) )
3018, 22, 26, 26, 27, 28, 29ofval 6273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  /\  x  e.  D )  ->  (
( X  o F ( +g  `  R
) Y ) `  x )  =  ( ( X `  x
) ( +g  `  R
) ( Y `  x ) ) )
3112, 30mpdan 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X  o F ( +g  `  R
) Y ) `  x )  =  ( ( X `  x
) ( +g  `  R
) ( Y `  x ) ) )
329, 31eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X  .+  Y ) `  x
)  =  ( ( X `  x ) ( +g  `  R
) ( Y `  x ) ) )
3332oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( X 
.+  Y ) `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( ( ( X `
 x ) ( +g  `  R ) ( Y `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) )
34 psrrng.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
3534ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
3616, 12ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
3720, 12ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( Y `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
38 psrass.z . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
391, 13, 14, 2, 38psrelbas 16399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
4039ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
41 psrrng.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
4241ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  I  e.  V )
43 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
44 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
4514, 44psrbagconcl 16393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
4642, 43, 11, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )
4710, 46sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  x )  e.  D )
4840, 47ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( Z `  (
k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
49 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5013, 3, 49rngdir 15638 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( X `  x
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( Y `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Z `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( ( X `
 x ) ( +g  `  R ) ( Y `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) )
5135, 36, 37, 48, 50syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( X `
 x ) ( +g  `  R ) ( Y `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) )
5233, 51eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( X 
.+  Y ) `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) )  =  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) )
5352mpteq2dva 4255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( ( X  .+  Y ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
5414psrbaglefi 16392 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
5541, 54sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin )
5613, 49rngcl 15632 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Z `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( k  o F  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
5735, 36, 48, 56syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
5813, 49rngcl 15632 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Z `  ( k  o F  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( Y `  x
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( k  o F  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
5935, 37, 48, 58syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  -> 
( ( Y `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
60 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) )
61 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) )
6255, 57, 59, 60, 61offval2 6281 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) )  o F ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( k  o F  -  x ) ) ) ( +g  `  R ) ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
6353, 62eqtr4d 2439 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( ( X  .+  Y ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  =  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  o F ( +g  `  R ) ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )
6463oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( ( X  .+  Y
) `  x )
( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) )  o F ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
65 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
6634adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
67 rngcmn 15649 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6866, 67syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
69 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) )
7057, 69fmptd 5852 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) : { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
71 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) )
7259, 71fmptd 5852 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) : { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
73 cnvimass 5183 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )
7469dmmptss 5325 . . . . . . 7  |-  dom  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
7573, 74sstri 3317 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
76 ssfi 7288 . . . . . 6  |-  ( ( { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin  /\  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
7755, 75, 76sylancl 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
78 cnvimass 5183 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )
7971dmmptss 5325 . . . . . . 7  |-  dom  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
8078, 79sstri 3317 . . . . . 6  |-  ( `' ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }
81 ssfi 7288 . . . . . 6  |-  ( ( { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  e.  Fin  /\  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k } )  ->  ( `' ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
8255, 80, 81sylancl 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
8313, 65, 3, 68, 55, 70, 72, 77, 82gsumadd 15483 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) )  o F ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
8464, 83eqtrd 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( ( X  .+  Y
) `  x )
( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) )
8584mpteq2dva 4255 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( ( X  .+  Y
) `  x )
( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
86 psrass.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
87 rnggrp 15624 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
8834, 87syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
891, 2, 4, 88, 5, 6psraddcl 16402 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
901, 2, 49, 86, 14, 89, 38psrmulfval 16404 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y )  .X.  Z
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( ( X  .+  Y ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
911, 2, 86, 34, 5, 38psrmulcl 16407 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Z
)  e.  B )
921, 2, 86, 34, 6, 38psrmulcl 16407 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  Z
)  e.  B )
931, 2, 3, 4, 91, 92psradd 16401 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Z )  .+  ( Y  .X.  Z ) )  =  ( ( X 
.X.  Z )  o F ( +g  `  R
) ( Y  .X.  Z ) ) )
9425a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
95 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) )  e.  _V
9695a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  e. 
_V )
97 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) )  e.  _V
9897a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  o R  <_ 
k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  o F  -  x ) ) ) ) )  e. 
_V )
991, 2, 49, 86, 14, 5, 38psrmulfval 16404 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Z
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
1001, 2, 49, 86, 14, 6, 38psrmulfval 16404 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  Z
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) )
10194, 96, 98, 99, 100offval2 6281 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Z )  o F ( +g  `  R
) ( Y  .X.  Z ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  o F  -  x
) ) ) ) ) ) ) )
10293, 101eqtrd 2436 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Z )  .+  ( Y  .X.  Z ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  o R  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  o F  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
10385, 90, 1023eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y )  .X.  Z
)  =  ( ( X  .X.  Z )  .+  ( Y  .X.  Z
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    o Rcofr 6263    ^m cmap 6977   Fincfn 7068    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485   0gc0g 13678    gsumg cgsu 13679   Grpcgrp 14640  CMndccmn 15367   Ringcrg 15615   mPwSer cmps 16361
This theorem is referenced by:  psrrng  16429
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-psr 16372
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