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Theorem psrdir 17414
Description: Distributive law for the ring of power series (right-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrass.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
psrdi.a  |-  .+  =  ( +g  `  S )
Assertion
Ref Expression
psrdir  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y )  .X.  Z
)  =  ( ( X  .X.  Z )  .+  ( Y  .X.  Z
) ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Z    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    .+ ( f)    S( f)   
.X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrdir
Dummy variables  x  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrass.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  S
)
3 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 psrdi.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  S )
5 psrass.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6 psrass.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 17387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =  ( X  oF ( +g  `  R ) Y ) )
87fveq1d 5681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y ) `  x
)  =  ( ( X  oF ( +g  `  R ) Y ) `  x
) )
98ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X  .+  Y ) `  x
)  =  ( ( X  oF ( +g  `  R ) Y ) `  x
) )
10 ssrab2 3425 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  C_  D
11 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
1210, 11sseldi 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  D )
13 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
14 psrass.d . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
151, 13, 14, 2, 5psrelbas 17384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1615ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
17 ffn 5547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : D --> ( Base `  R )  ->  X  Fn  D )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  X  Fn  D )
191, 13, 14, 2, 6psrelbas 17384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2019ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
21 ffn 5547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y : D --> ( Base `  R )  ->  Y  Fn  D )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y  Fn  D )
23 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
2423rabex 4431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
2514, 24eqeltri 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  e. 
_V
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  D  e.  _V )
27 inidm 3547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  i^i  D )  =  D
28 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  x  e.  D )  ->  ( X `  x )  =  ( X `  x ) )
29 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  x  e.  D )  ->  ( Y `  x )  =  ( Y `  x ) )
3018, 22, 26, 26, 27, 28, 29ofval 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  x  e.  D )  ->  (
( X  oF ( +g  `  R
) Y ) `  x )  =  ( ( X `  x
) ( +g  `  R
) ( Y `  x ) ) )
3112, 30mpdan 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X  oF ( +g  `  R
) Y ) `  x )  =  ( ( X `  x
) ( +g  `  R
) ( Y `  x ) ) )
329, 31eqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X  .+  Y ) `  x
)  =  ( ( X `  x ) ( +g  `  R
) ( Y `  x ) ) )
3332oveq1d 6095 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( X 
.+  Y ) `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( ( X `
 x ) ( +g  `  R ) ( Y `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) )
34 psrrng.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
3534ad2antrr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
3616, 12ffvelrnd 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
3720, 12ffvelrnd 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Y `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
38 psrass.z . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
391, 13, 14, 2, 38psrelbas 17384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
4039ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
41 psrrng.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
4241ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  V )
43 simplr 747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
44 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
4514, 44psrbagconcl 17377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
4642, 43, 11, 45syl3anc 1211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )
4710, 46sseldi 3342 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e.  D )
4840, 47ffvelrnd 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Z `  (
k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
49 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5013, 3, 49rngdir 16600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( X `  x
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( Y `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Z `  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( ( X `
 x ) ( +g  `  R ) ( Y `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )
5135, 36, 37, 48, 50syl13anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( X `
 x ) ( +g  `  R ) ( Y `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )
5233, 51eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( X 
.+  Y ) `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )
5352mpteq2dva 4366 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( ( X  .+  Y ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
5414psrbaglefi 17375 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin )
5541, 54sylan 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  e.  Fin )
5613, 49rngcl 16594 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Z `  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( k  oF  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
5735, 36, 48, 56syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
5813, 49rngcl 16594 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Z `  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( Y `  x
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( k  oF  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
5935, 37, 48, 58syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( Y `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
60 eqidd 2434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) )
61 eqidd 2434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) )
6255, 57, 59, 60, 61offval2 6325 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  oF ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( k  oF  -  x ) ) ) ( +g  `  R ) ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
6353, 62eqtr4d 2468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( ( X  .+  Y ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  oF ( +g  `  R ) ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
6463oveq2d 6096 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( ( X  .+  Y
) `  x )
( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  oF ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
65 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
6634adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
67 rngcmn 16611 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6866, 67syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
69 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
7057, 69fmptd 5855 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) : { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
71 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
7259, 71fmptd 5855 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) : { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
7325a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  D  e.  _V )
74 rabexg 4430 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  _V  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  e.  _V )
7573, 74syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  e.  _V )
76 mptexg 5934 . . . . . . 7  |-  ( { y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  e.  _V  ->  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V )
7775, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V )
78 funmpt 5442 . . . . . . 7  |-  Fun  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )
7978a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Fun  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )
80 fvex 5689 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
8180a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
82 suppssdm 6692 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  dom  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
8369dmmptss 5322 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
8482, 83sstri 3353 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  { y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }
8584a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
)
86 suppssfifsupp 7623 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e. 
_V )  /\  ( { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin  /\  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
) )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
8777, 79, 81, 55, 85, 86syl32anc 1219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
88 mptexg 5934 . . . . . . 7  |-  ( { y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  e.  _V  ->  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V )
8975, 88syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V )
90 funmpt 5442 . . . . . . 7  |-  Fun  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )
9190a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Fun  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )
92 suppssdm 6692 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  dom  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
9371dmmptss 5322 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
9492, 93sstri 3353 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  { y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }
9594a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
)
96 suppssfifsupp 7623 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e. 
_V )  /\  ( { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin  /\  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
) )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
9789, 91, 81, 55, 95, 96syl32anc 1219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
9813, 65, 3, 68, 55, 70, 72, 87, 97gsumadd 16392 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  oF ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
9964, 98eqtrd 2465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( ( X  .+  Y
) `  x )
( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
10099mpteq2dva 4366 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( ( X  .+  Y
) `  x )
( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
101 psrass.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
102 rnggrp 16586 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
10334, 102syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
1041, 2, 4, 103, 5, 6psraddcl 17388 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
1051, 2, 49, 101, 14, 104, 38psrmulfval 17390 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y )  .X.  Z
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( ( X  .+  Y ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
1061, 2, 101, 34, 5, 38psrmulcl 17393 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Z
)  e.  B )
1071, 2, 101, 34, 6, 38psrmulcl 17393 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  Z
)  e.  B )
1081, 2, 3, 4, 106, 107psradd 17387 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Z )  .+  ( Y  .X.  Z ) )  =  ( ( X 
.X.  Z )  oF ( +g  `  R
) ( Y  .X.  Z ) ) )
10925a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
110 ovex 6105 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )  e.  _V
111110a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  e. 
_V )
112 ovex 6105 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )  e.  _V
113112a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  e. 
_V )
1141, 2, 49, 101, 14, 5, 38psrmulfval 17390 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Z
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
1151, 2, 49, 101, 14, 6, 38psrmulfval 17390 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  Z
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
116109, 111, 113, 114, 115offval2 6325 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Z )  oF ( +g  `  R
) ( Y  .X.  Z ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) ) )
117108, 116eqtrd 2465 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Z )  .+  ( Y  .X.  Z ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
118100, 105, 1173eqtr4d 2475 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y )  .X.  Z
)  =  ( ( X  .X.  Z )  .+  ( Y  .X.  Z
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   {crab 2709   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   `'ccnv 4826   dom cdm 4827   "cima 4830   Fun wfun 5400    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    oFcof 6307    oRcofr 6308   supp csupp 6679    ^m cmap 7202   Fincfn 7298   finSupp cfsupp 7608    <_ cle 9407    - cmin 9583   NNcn 10310   NN0cn0 10567   Basecbs 14157   +g cplusg 14221   .rcmulr 14222   0gc0g 14361    gsumg cgsu 14362   Grpcgrp 15393  CMndccmn 16257   Ringcrg 16577   mPwSer cmps 17340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-ofr 6310  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-hash 12088  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-tset 14240  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-ur 16582  df-psr 17351
This theorem is referenced by:  psrrng  17417
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