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Theorem psrdir 17930
Description: Distributive law for the ring of power series (right-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrring.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrring.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrass.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
psrdi.a  |-  .+  =  ( +g  `  S )
Assertion
Ref Expression
psrdir  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y )  .X.  Z
)  =  ( ( X  .X.  Z )  .+  ( Y  .X.  Z
) ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Z    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    .+ ( f)    S( f)   
.X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrdir
Dummy variables  x  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrass.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  S
)
3 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 psrdi.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  S )
5 psrass.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6 psrass.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 17903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =  ( X  oF ( +g  `  R ) Y ) )
87fveq1d 5854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y ) `  x
)  =  ( ( X  oF ( +g  `  R ) Y ) `  x
) )
98ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X  .+  Y ) `  x
)  =  ( ( X  oF ( +g  `  R ) Y ) `  x
) )
10 ssrab2 3567 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  C_  D
11 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
1210, 11sseldi 3484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  D )
13 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
14 psrass.d . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
151, 13, 14, 2, 5psrelbas 17900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
17 ffn 5717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : D --> ( Base `  R )  ->  X  Fn  D )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  X  Fn  D )
191, 13, 14, 2, 6psrelbas 17900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
21 ffn 5717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y : D --> ( Base `  R )  ->  Y  Fn  D )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y  Fn  D )
23 ovex 6305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
2414, 23rabex2 4586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  e. 
_V
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  D  e.  _V )
26 inidm 3689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  i^i  D )  =  D
27 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  x  e.  D )  ->  ( X `  x )  =  ( X `  x ) )
28 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  x  e.  D )  ->  ( Y `  x )  =  ( Y `  x ) )
2918, 22, 25, 25, 26, 27, 28ofval 6530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  x  e.  D )  ->  (
( X  oF ( +g  `  R
) Y ) `  x )  =  ( ( X `  x
) ( +g  `  R
) ( Y `  x ) ) )
3012, 29mpdan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X  oF ( +g  `  R
) Y ) `  x )  =  ( ( X `  x
) ( +g  `  R
) ( Y `  x ) ) )
319, 30eqtrd 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X  .+  Y ) `  x
)  =  ( ( X `  x ) ( +g  `  R
) ( Y `  x ) ) )
3231oveq1d 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( X 
.+  Y ) `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( ( X `
 x ) ( +g  `  R ) ( Y `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) )
33 psrring.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
3516, 12ffvelrnd 6013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
3620, 12ffvelrnd 6013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Y `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
37 psrass.z . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
381, 13, 14, 2, 37psrelbas 17900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
40 psrring.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  V )
42 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
43 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
4414, 43psrbagconcl 17893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
4541, 42, 11, 44syl3anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )
4610, 45sseldi 3484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e.  D )
4739, 46ffvelrnd 6013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Z `  (
k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
48 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4913, 3, 48ringdir 17086 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( X `  x
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( Y `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Z `  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( ( X `
 x ) ( +g  `  R ) ( Y `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )
5034, 35, 36, 47, 49syl13anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( X `
 x ) ( +g  `  R ) ( Y `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )
5132, 50eqtrd 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( X 
.+  Y ) `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )
5251mpteq2dva 4519 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( ( X  .+  Y ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
5314psrbaglefi 17891 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin )
5440, 53sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  e.  Fin )
5513, 48ringcl 17080 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Z `  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( k  oF  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
5634, 35, 47, 55syl3anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
5713, 48ringcl 17080 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Y `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Z `  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( Y `  x
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( k  oF  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
5834, 36, 47, 57syl3anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( Y `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
59 eqidd 2442 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) )
60 eqidd 2442 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) )
6154, 56, 58, 59, 60offval2 6537 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  oF ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( k  oF  -  x ) ) ) ( +g  `  R ) ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
6252, 61eqtr4d 2485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( ( X  .+  Y ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  oF ( +g  `  R ) ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
6362oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( ( X  .+  Y
) `  x )
( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  oF ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
6433adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
65 ringcmn 17097 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6664, 65syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
67 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
68 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
6913, 3, 66, 54, 56, 58, 67, 68gsummptfidmadd2 16812 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  oF ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
7063, 69eqtrd 2482 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( ( X  .+  Y
) `  x )
( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
7170mpteq2dva 4519 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( ( X  .+  Y
) `  x )
( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
72 psrass.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
73 ringgrp 17071 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
7433, 73syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
751, 2, 4, 74, 5, 6psraddcl 17904 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
761, 2, 48, 72, 14, 75, 37psrmulfval 17906 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y )  .X.  Z
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( ( X  .+  Y ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
771, 2, 72, 33, 5, 37psrmulcl 17909 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Z
)  e.  B )
781, 2, 72, 33, 6, 37psrmulcl 17909 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  Z
)  e.  B )
791, 2, 3, 4, 77, 78psradd 17903 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Z )  .+  ( Y  .X.  Z ) )  =  ( ( X 
.X.  Z )  oF ( +g  `  R
) ( Y  .X.  Z ) ) )
8024a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
81 ovex 6305 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )  e.  _V
8281a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  e. 
_V )
83 ovex 6305 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )  e.  _V
8483a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  e. 
_V )
851, 2, 48, 72, 14, 5, 37psrmulfval 17906 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Z
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
861, 2, 48, 72, 14, 6, 37psrmulfval 17906 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  Z
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
8780, 82, 84, 85, 86offval2 6537 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Z )  oF ( +g  `  R
) ( Y  .X.  Z ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) ) )
8879, 87eqtrd 2482 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Z )  .+  ( Y  .X.  Z ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( Y `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
8971, 76, 883eqtr4d 2492 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y )  .X.  Z
)  =  ( ( X  .X.  Z )  .+  ( Y  .X.  Z
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   {crab 2795   _Vcvv 3093   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   `'ccnv 4984   "cima 4988    Fn wfn 5569   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277    oFcof 6519    oRcofr 6520    ^m cmap 7418   Fincfn 7514    <_ cle 9627    - cmin 9805   NNcn 10537   NN0cn0 10796   Basecbs 14504   +g cplusg 14569   .rcmulr 14570    gsumg cgsu 14710   Grpcgrp 15922  CMndccmn 16667   Ringcrg 17066   mPwSer cmps 17868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-hash 12380  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-tset 14588  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-abl 16670  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-psr 17873
This theorem is referenced by:  psrring  17934
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