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Theorem psrcom 16427
Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrcom.c  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
psrcom  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrcom
Dummy variables  x  k  z  g  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 psrrng.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 15649 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
65adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
7 psrrng.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
8 psrass.d . . . . . . 7  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
98psrbaglefi 16392 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  e.  Fin )
107, 9sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  e.  Fin )
113ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  R  e.  Ring )
12 psrrng.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
13 psrass.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  S
)
14 psrass.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1512, 1, 8, 13, 14psrelbas 16399 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1615ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
17 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
18 breq1 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  k  ->  (
g  o R  <_  x 
<->  k  o R  <_  x ) )
1918elrab 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  <->  ( k  e.  D  /\  k  o R  <_  x
) )
2017, 19sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( k  e.  D  /\  k  o R  <_  x ) )
2120simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  e.  D )
2216, 21ffvelrnd 5830 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( X `  k
)  e.  ( Base `  R ) )
23 psrass.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
2412, 1, 8, 13, 23psrelbas 16399 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2524ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
267ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
27 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  e.  D )
288psrbagf 16387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
2926, 21, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k : I --> NN0 )
3020simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
k  o R  <_  x )
318psrbagcon 16391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  k : I --> NN0  /\  k  o R  <_  x
) )  ->  (
( x  o F  -  k )  e.  D  /\  ( x  o F  -  k
)  o R  <_  x ) )
3226, 27, 29, 30, 31syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( x  o F  -  k )  e.  D  /\  (
x  o F  -  k )  o R  <_  x ) )
3332simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  k )  e.  D )
3425, 33ffvelrnd 5830 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Y `  (
x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
35 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
361, 35rngcl 15632 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  k )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( x  o F  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  k
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  k ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
3711, 22, 34, 36syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
38 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) ) )  =  ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )
3937, 38fmptd 5852 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
--> ( Base `  R
) )
40 cnvimass 5183 . . . . . . 7  |-  ( `' ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  dom  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )
4138dmmptss 5325 . . . . . . 7  |-  dom  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) ) )  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
4240, 41sstri 3317 . . . . . 6  |-  ( `' ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
43 ssfi 7288 . . . . . 6  |-  ( ( { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  C_  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
)  ->  ( `' ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
4410, 42, 43sylancl 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( `' ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
45 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  =  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
468, 45psrbagconf1o 16394 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j
) ) : {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x } -1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
477, 46sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) : { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
-1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
481, 2, 6, 10, 39, 44, 47gsumf1o 15477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) ) ) )
497ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
50 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  e.  D )
51 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
528, 45psrbagconcl 16393 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }
)  ->  ( x  o F  -  j
)  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )
54 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) )
55 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) ) )  =  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  o F  -  k
) ) ) ) )
56 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( X `  k )  =  ( X `  ( x  o F  -  j
) ) )
57 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( x  o F  -  k )  =  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) )
5857fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( Y `  ( x  o F  -  k ) )  =  ( Y `  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) ) )
5956, 58oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( x  o F  -  j )  ->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  o F  -  k ) ) )  =  ( ( X `
 ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) ) ) )
6053, 54, 55, 59fmptco 5860 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) ) ) ) )
618psrbagf 16387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
627, 61sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
6362adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x : I --> NN0 )
6463ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
x `  z )  e.  NN0 )
65 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  j  ->  (
g  o R  <_  x 
<->  j  o R  <_  x ) )
6665elrab 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  <->  ( j  e.  D  /\  j  o R  <_  x
) )
6751, 66sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( j  e.  D  /\  j  o R  <_  x ) )
6867simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  e.  D )
698psrbagf 16387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
7049, 68, 69syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j : I --> NN0 )
7170ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
j `  z )  e.  NN0 )
72 nn0cn 10187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x `  z )  e.  NN0  ->  ( x `
 z )  e.  CC )
73 nn0cn 10187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
74 nncan 9286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( x `
 z )  -  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) )  =  ( j `  z ) )
7572, 73, 74syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) )  =  ( j `
 z ) )
7664, 71, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) ) )  =  ( j `  z ) )
7776mpteq2dva 4255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( j `  z ) ) )
78 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) )  e.  _V )
8063feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  x  =  ( z  e.  I  |->  ( x `
 z ) ) )
8170feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `
 z ) ) )
8249, 64, 71, 80, 81offval2 6281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) ) )
8349, 64, 79, 80, 82offval2 6281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) ) ) ) )
8477, 83, 813eqtr4d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) )  =  j )
8584fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Y `  (
x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) )  =  ( Y `
 j ) )
8685oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) )
87 psrcom.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
8887ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  R  e.  CRing )
8915ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
9067simprd 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
j  o R  <_  x )
918psrbagcon 16391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  j : I --> NN0  /\  j  o R  <_  x
) )  ->  (
( x  o F  -  j )  e.  D  /\  ( x  o F  -  j
)  o R  <_  x ) )
9249, 50, 70, 90, 91syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( x  o F  -  j )  e.  D  /\  (
x  o F  -  j )  o R  <_  x ) )
9392simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( x  o F  -  j )  e.  D )
9489, 93ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( X `  (
x  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
9524ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
9695, 68ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
971, 35crngcom 15633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( X `  ( x  o F  -  j
) )  e.  (
Base `  R )  /\  ( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) )
9888, 94, 96, 97syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) )
9986, 98eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  ( x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) )
10099mpteq2dva 4255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  o F  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  o F  -  ( x  o F  -  j
) ) ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) ) )
10160, 100eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `
 j ) ( .r `  R ) ( X `  (
x  o F  -  j ) ) ) ) )
102101oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( x  o F  -  j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) )
10348, 102eqtrd 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) )
104103mpteq2dva 4255 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  o F  -  j
) ) ) ) ) ) )
105 psrass.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
10612, 13, 35, 105, 8, 14, 23psrmulfval 16404 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  o F  -  k ) ) ) ) ) ) )
10712, 13, 35, 105, 8, 23, 14psrmulfval 16404 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  X
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  o R  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
108104, 106, 1073eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840    o. ccom 4841   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    o Rcofr 6263    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   CCcc 8944    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   .rcmulr 13485   0gc0g 13678    gsumg cgsu 13679  CMndccmn 15367   Ringcrg 15615   CRingccrg 15616   mPwSer cmps 16361
This theorem is referenced by:  psrcrng  16431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-psr 16372
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