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Theorem psrcom 17828
Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrcom.c  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
psrcom  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrcom
Dummy variables  x  k  z  g  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 psrrng.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 17009 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
7 psrrng.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
8 psrass.d . . . . . . 7  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
98psrbaglefi 17787 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  e.  Fin )
107, 9sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  e.  Fin )
113ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  R  e.  Ring )
12 psrrng.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
13 psrass.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  S
)
14 psrass.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1512, 1, 8, 13, 14psrelbas 17796 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1615ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
17 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )
18 breq1 4443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  k  ->  (
g  oR  <_  x 
<->  k  oR  <_  x ) )
1918elrab 3254 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  <->  ( k  e.  D  /\  k  oR  <_  x
) )
2017, 19sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( k  e.  D  /\  k  oR 
<_  x ) )
2120simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
k  e.  D )
2216, 21ffvelrnd 6013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( X `  k
)  e.  ( Base `  R ) )
23 psrass.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
2412, 1, 8, 13, 23psrelbas 17796 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
267ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  I  e.  V )
27 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  x  e.  D )
288psrbagf 17778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
2926, 21, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
k : I --> NN0 )
3020simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
k  oR  <_  x )
318psrbagcon 17786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  k : I --> NN0  /\  k  oR  <_  x
) )  ->  (
( x  oF  -  k )  e.  D  /\  ( x  oF  -  k
)  oR  <_  x ) )
3226, 27, 29, 30, 31syl13anc 1225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( x  oF  -  k )  e.  D  /\  (
x  oF  -  k )  oR  <_  x ) )
3332simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  k )  e.  D )
3425, 33ffvelrnd 6013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( Y `  (
x  oF  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
35 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
361, 35rngcl 16992 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  k )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( x  oF  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  k
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  oF  -  k ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
3711, 22, 34, 36syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  oF  -  k
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
38 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  oF  -  k
) ) ) )  =  ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )
3937, 38fmptd 6036 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
--> ( Base `  R
) )
40 ovex 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
4140rabex 4591 . . . . . . . . . 10  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
428, 41eqeltri 2544 . . . . . . . . 9  |-  D  e. 
_V
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  D  e.  _V )
44 rabexg 4590 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  _V  ->  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  e.  _V )
4543, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  e.  _V )
46 mptexg 6121 . . . . . . 7  |-  ( { g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  e.  _V  ->  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  e.  _V )
4745, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) )  e.  _V )
48 funmpt 5615 . . . . . . 7  |-  Fun  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) )
4948a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  Fun  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) )
50 fvex 5867 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
5150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
52 suppssdm 6904 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  dom  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )
5338dmmptss 5494 . . . . . . . 8  |-  dom  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) )  C_  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
5452, 53sstri 3506 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  { g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }
5554a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
)
56 suppssfifsupp 7833 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e. 
_V )  /\  ( { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  e.  Fin  /\  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
) )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
5747, 49, 51, 10, 55, 56syl32anc 1231 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
58 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  =  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
598, 58psrbagconf1o 17790 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j
) ) : {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x } -1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )
607, 59sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) : { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
-1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )
611, 2, 6, 10, 39, 57, 60gsumf1o 16708 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) ) ) )
627ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  I  e.  V )
63 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  x  e.  D )
64 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )
658, 58psrbagconcl 17789 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
)  ->  ( x  oF  -  j
)  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )
6662, 63, 64, 65syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  j )  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )
67 eqidd 2461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) )
68 eqidd 2461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) )  =  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  oF  -  k
) ) ) ) )
69 fveq2 5857 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  oF  -  j )  ->  ( X `  k )  =  ( X `  ( x  oF  -  j
) ) )
70 oveq2 6283 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( x  oF  -  j )  ->  ( x  oF  -  k )  =  ( x  oF  -  ( x  oF  -  j
) ) )
7170fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  oF  -  j )  ->  ( Y `  ( x  oF  -  k ) )  =  ( Y `  ( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) ) ) )
7269, 71oveq12d 6293 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( x  oF  -  j )  ->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) )  =  ( ( X `
 ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  oF  -  ( x  oF  -  j
) ) ) ) )
7366, 67, 68, 72fmptco 6045 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  oF  -  ( x  oF  -  j
) ) ) ) ) )
748psrbagf 17778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
757, 74sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  x : I --> NN0 )
7776ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
x `  z )  e.  NN0 )
78 breq1 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  j  ->  (
g  oR  <_  x 
<->  j  oR  <_  x ) )
7978elrab 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  <->  ( j  e.  D  /\  j  oR  <_  x
) )
8064, 79sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( j  e.  D  /\  j  oR 
<_  x ) )
8180simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j  e.  D )
828psrbagf 17778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
8362, 81, 82syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j : I --> NN0 )
8483ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
j `  z )  e.  NN0 )
85 nn0cn 10794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x `  z )  e.  NN0  ->  ( x `
 z )  e.  CC )
86 nn0cn 10794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
87 nncan 9837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( x `
 z )  -  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) )  =  ( j `  z ) )
8885, 86, 87syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) )  =  ( j `
 z ) )
8977, 84, 88syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) ) )  =  ( j `  z ) )
9089mpteq2dva 4526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( j `  z ) ) )
91 ovex 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) )  e.  _V )
9376feqmptd 5911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  x  =  ( z  e.  I  |->  ( x `
 z ) ) )
9483feqmptd 5911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `
 z ) ) )
9562, 77, 84, 93, 94offval2 6531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) ) )
9662, 77, 92, 93, 95offval2 6531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) ) ) ) )
9790, 96, 943eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) )  =  j )
9897fveq2d 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( Y `  (
x  oF  -  ( x  oF  -  j ) ) )  =  ( Y `
 j ) )
9998oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) ) ) )  =  ( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) )
100 psrcom.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
101100ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  R  e.  CRing )
10215ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
10380simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j  oR  <_  x )
1048psrbagcon 17786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  j : I --> NN0  /\  j  oR  <_  x
) )  ->  (
( x  oF  -  j )  e.  D  /\  ( x  oF  -  j
)  oR  <_  x ) )
10562, 63, 83, 103, 104syl13anc 1225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( x  oF  -  j )  e.  D  /\  (
x  oF  -  j )  oR  <_  x ) )
106105simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  j )  e.  D )
107102, 106ffvelrnd 6013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( X `  (
x  oF  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
10824ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
109108, 81ffvelrnd 6013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
1101, 35crngcom 16993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( X `  ( x  oF  -  j
) )  e.  (
Base `  R )  /\  ( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) )
111101, 107, 109, 110syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) )
11299, 111eqtrd 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) ) ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) )
113112mpteq2dva 4526 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  oF  -  ( x  oF  -  j
) ) ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) ) )
11473, 113eqtrd 2501 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `
 j ) ( .r `  R ) ( X `  (
x  oF  -  j ) ) ) ) )
115114oveq2d 6291 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ) ) ) )
11661, 115eqtrd 2501 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ) ) ) )
117116mpteq2dva 4526 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) ) ) ) )
118 psrass.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
11912, 13, 35, 118, 8, 14, 23psrmulfval 17802 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) ) ) )
12012, 13, 35, 118, 8, 23, 14psrmulfval 17802 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  X
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ) ) ) ) )
121117, 119, 1203eqtr4d 2511 1  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2811   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   `'ccnv 4991   dom cdm 4992   "cima 4995    o. ccom 4996   Fun wfun 5573   -->wf 5575   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    oFcof 6513    oRcofr 6514   supp csupp 6891    ^m cmap 7410   Fincfn 7506   finSupp cfsupp 7818   CCcc 9479    <_ cle 9618    - cmin 9794   NNcn 10525   NN0cn0 10784   Basecbs 14479   .rcmulr 14545   0gc0g 14684    gsumg cgsu 14685  CMndccmn 16587   Ringcrg 16979   CRingccrg 16980   mPwSer cmps 17764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-tset 14563  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-psr 17769
This theorem is referenced by:  psrcrng  17832
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