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Theorem psrcom 17484
Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrcom.c  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
psrcom  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrcom
Dummy variables  x  k  z  g  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 psrrng.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 16678 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
7 psrrng.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
8 psrass.d . . . . . . 7  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
98psrbaglefi 17444 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  e.  Fin )
107, 9sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  e.  Fin )
113ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  R  e.  Ring )
12 psrrng.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
13 psrass.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  S
)
14 psrass.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1512, 1, 8, 13, 14psrelbas 17453 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1615ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
17 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )
18 breq1 4298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  k  ->  (
g  oR  <_  x 
<->  k  oR  <_  x ) )
1918elrab 3120 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  <->  ( k  e.  D  /\  k  oR  <_  x
) )
2017, 19sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( k  e.  D  /\  k  oR 
<_  x ) )
2120simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
k  e.  D )
2216, 21ffvelrnd 5847 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( X `  k
)  e.  ( Base `  R ) )
23 psrass.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
2412, 1, 8, 13, 23psrelbas 17453 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
267ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  I  e.  V )
27 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  x  e.  D )
288psrbagf 17435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
2926, 21, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
k : I --> NN0 )
3020simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
k  oR  <_  x )
318psrbagcon 17443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  k : I --> NN0  /\  k  oR  <_  x
) )  ->  (
( x  oF  -  k )  e.  D  /\  ( x  oF  -  k
)  oR  <_  x ) )
3226, 27, 29, 30, 31syl13anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( x  oF  -  k )  e.  D  /\  (
x  oF  -  k )  oR  <_  x ) )
3332simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  k )  e.  D )
3425, 33ffvelrnd 5847 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( Y `  (
x  oF  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
35 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
361, 35rngcl 16661 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  k )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( x  oF  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  k
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  oF  -  k ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
3711, 22, 34, 36syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  oF  -  k
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
38 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  oF  -  k
) ) ) )  =  ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )
3937, 38fmptd 5870 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
--> ( Base `  R
) )
40 ovex 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
4140rabex 4446 . . . . . . . . . 10  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
428, 41eqeltri 2513 . . . . . . . . 9  |-  D  e. 
_V
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  D  e.  _V )
44 rabexg 4445 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  _V  ->  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  e.  _V )
4543, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  e.  _V )
46 mptexg 5950 . . . . . . 7  |-  ( { g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  e.  _V  ->  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  e.  _V )
4745, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) )  e.  _V )
48 funmpt 5457 . . . . . . 7  |-  Fun  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) )
4948a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  Fun  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) )
50 fvex 5704 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
5150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
52 suppssdm 6706 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  dom  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )
5338dmmptss 5337 . . . . . . . 8  |-  dom  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) )  C_  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
5452, 53sstri 3368 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  { g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }
5554a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
)
56 suppssfifsupp 7638 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e. 
_V )  /\  ( { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  e.  Fin  /\  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
) )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
5747, 49, 51, 10, 55, 56syl32anc 1226 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
58 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  =  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
598, 58psrbagconf1o 17447 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j
) ) : {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x } -1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )
607, 59sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) : { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
-1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )
611, 2, 6, 10, 39, 57, 60gsumf1o 16401 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) ) ) )
627ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  I  e.  V )
63 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  x  e.  D )
64 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )
658, 58psrbagconcl 17446 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
)  ->  ( x  oF  -  j
)  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )
6662, 63, 64, 65syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  j )  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )
67 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) )
68 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) )  =  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  oF  -  k
) ) ) ) )
69 fveq2 5694 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  oF  -  j )  ->  ( X `  k )  =  ( X `  ( x  oF  -  j
) ) )
70 oveq2 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( x  oF  -  j )  ->  ( x  oF  -  k )  =  ( x  oF  -  ( x  oF  -  j
) ) )
7170fveq2d 5698 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  oF  -  j )  ->  ( Y `  ( x  oF  -  k ) )  =  ( Y `  ( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) ) ) )
7269, 71oveq12d 6112 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( x  oF  -  j )  ->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) )  =  ( ( X `
 ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  oF  -  ( x  oF  -  j
) ) ) ) )
7366, 67, 68, 72fmptco 5879 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  oF  -  ( x  oF  -  j
) ) ) ) ) )
748psrbagf 17435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
757, 74sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  x : I --> NN0 )
7776ffvelrnda 5846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
x `  z )  e.  NN0 )
78 breq1 4298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  j  ->  (
g  oR  <_  x 
<->  j  oR  <_  x ) )
7978elrab 3120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  <->  ( j  e.  D  /\  j  oR  <_  x
) )
8064, 79sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( j  e.  D  /\  j  oR 
<_  x ) )
8180simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j  e.  D )
828psrbagf 17435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
8362, 81, 82syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j : I --> NN0 )
8483ffvelrnda 5846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
j `  z )  e.  NN0 )
85 nn0cn 10592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x `  z )  e.  NN0  ->  ( x `
 z )  e.  CC )
86 nn0cn 10592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
87 nncan 9641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( x `
 z )  -  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) )  =  ( j `  z ) )
8885, 86, 87syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) )  =  ( j `
 z ) )
8977, 84, 88syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) ) )  =  ( j `  z ) )
9089mpteq2dva 4381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( j `  z ) ) )
91 ovex 6119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) )  e.  _V )
9376feqmptd 5747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  x  =  ( z  e.  I  |->  ( x `
 z ) ) )
9483feqmptd 5747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `
 z ) ) )
9562, 77, 84, 93, 94offval2 6339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) ) )
9662, 77, 92, 93, 95offval2 6339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) ) ) ) )
9790, 96, 943eqtr4d 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) )  =  j )
9897fveq2d 5698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( Y `  (
x  oF  -  ( x  oF  -  j ) ) )  =  ( Y `
 j ) )
9998oveq2d 6110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) ) ) )  =  ( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) )
100 psrcom.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
101100ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  R  e.  CRing )
10215ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
10380simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j  oR  <_  x )
1048psrbagcon 17443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  j : I --> NN0  /\  j  oR  <_  x
) )  ->  (
( x  oF  -  j )  e.  D  /\  ( x  oF  -  j
)  oR  <_  x ) )
10562, 63, 83, 103, 104syl13anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( x  oF  -  j )  e.  D  /\  (
x  oF  -  j )  oR  <_  x ) )
106105simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  j )  e.  D )
107102, 106ffvelrnd 5847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( X `  (
x  oF  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
10824ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
109108, 81ffvelrnd 5847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
1101, 35crngcom 16662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( X `  ( x  oF  -  j
) )  e.  (
Base `  R )  /\  ( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) )
111101, 107, 109, 110syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) )
11299, 111eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) ) ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) )
113112mpteq2dva 4381 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  oF  -  ( x  oF  -  j
) ) ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) ) )
11473, 113eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `
 j ) ( .r `  R ) ( X `  (
x  oF  -  j ) ) ) ) )
115114oveq2d 6110 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ) ) ) )
11661, 115eqtrd 2475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ) ) ) )
117116mpteq2dva 4381 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) ) ) ) )
118 psrass.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
11912, 13, 35, 118, 8, 14, 23psrmulfval 17459 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) ) ) )
12012, 13, 35, 118, 8, 23, 14psrmulfval 17459 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  X
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ) ) ) ) )
121117, 119, 1203eqtr4d 2485 1  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2722   _Vcvv 2975    C_ wss 3331   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353   `'ccnv 4842   dom cdm 4843   "cima 4846    o. ccom 4847   Fun wfun 5415   -->wf 5417   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6094    oFcof 6321    oRcofr 6322   supp csupp 6693    ^m cmap 7217   Fincfn 7313   finSupp cfsupp 7623   CCcc 9283    <_ cle 9422    - cmin 9598   NNcn 10325   NN0cn0 10582   Basecbs 14177   .rcmulr 14242   0gc0g 14381    gsumg cgsu 14382  CMndccmn 16280   Ringcrg 16648   CRingccrg 16649   mPwSer cmps 17421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-ofr 6324  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-oi 7727  df-card 8112  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-seq 11810  df-hash 12107  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-tset 14260  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-mnd 15418  df-grp 15548  df-minusg 15549  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-abl 16283  df-mgp 16595  df-ur 16607  df-rng 16650  df-cring 16651  df-psr 17426
This theorem is referenced by:  psrcrng  17488
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