Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrcom Structured version   Unicode version

Theorem psrcom 18626
 Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s mPwSer
psrring.i
psrring.r
psrass.d
psrass.t
psrass.b
psrass.x
psrass.y
psrcom.c
Assertion
Ref Expression
psrcom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem psrcom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2423 . . . . 5
2 eqid 2423 . . . . 5
3 psrring.r . . . . . . 7
4 ringcmn 17804 . . . . . . 7 CMnd
53, 4syl 17 . . . . . 6 CMnd
65adantr 467 . . . . 5 CMnd
7 psrring.i . . . . . 6
8 psrass.d . . . . . . 7
98psrbaglefi 18589 . . . . . 6
107, 9sylan 474 . . . . 5
113ad2antrr 731 . . . . . . 7
12 psrring.s . . . . . . . . . 10 mPwSer
13 psrass.b . . . . . . . . . 10
14 psrass.x . . . . . . . . . 10
1512, 1, 8, 13, 14psrelbas 18596 . . . . . . . . 9
1615ad2antrr 731 . . . . . . . 8
17 simpr 463 . . . . . . . . . 10
18 breq1 4424 . . . . . . . . . . 11
1918elrab 3230 . . . . . . . . . 10
2017, 19sylib 200 . . . . . . . . 9
2120simpld 461 . . . . . . . 8
2216, 21ffvelrnd 6036 . . . . . . 7
23 psrass.y . . . . . . . . . 10
2412, 1, 8, 13, 23psrelbas 18596 . . . . . . . . 9
2524ad2antrr 731 . . . . . . . 8
267ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10
27 simplr 761 . . . . . . . . . 10
288psrbagf 18582 . . . . . . . . . . 11
2926, 21, 28syl2anc 666 . . . . . . . . . 10
3020simprd 465 . . . . . . . . . 10
318psrbagcon 18588 . . . . . . . . . 10
3226, 27, 29, 30, 31syl13anc 1267 . . . . . . . . 9
3332simpld 461 . . . . . . . 8
3425, 33ffvelrnd 6036 . . . . . . 7
35 eqid 2423 . . . . . . . 8
361, 35ringcl 17787 . . . . . . 7
3711, 22, 34, 36syl3anc 1265 . . . . . 6
38 eqid 2423 . . . . . 6
3937, 38fmptd 6059 . . . . 5
40 ovex 6331 . . . . . . . . . 10
418, 40rabex2 4575 . . . . . . . . 9
4241a1i 11 . . . . . . . 8
43 rabexg 4572 . . . . . . . 8
4442, 43syl 17 . . . . . . 7
45 mptexg 6148 . . . . . . 7
4644, 45syl 17 . . . . . 6
47 funmpt 5635 . . . . . . 7
4847a1i 11 . . . . . 6
49 fvex 5889 . . . . . . 7
5049a1i 11 . . . . . 6
51 suppssdm 6936 . . . . . . . 8 supp
5238dmmptss 5348 . . . . . . . 8
5351, 52sstri 3474 . . . . . . 7 supp
5453a1i 11 . . . . . 6 supp
55 suppssfifsupp 7902 . . . . . 6 supp finSupp
5646, 48, 50, 10, 54, 55syl32anc 1273 . . . . 5 finSupp
57 eqid 2423 . . . . . . 7
588, 57psrbagconf1o 18591 . . . . . 6
597, 58sylan 474 . . . . 5
601, 2, 6, 10, 39, 56, 59gsumf1o 17543 . . . 4 g g
617ad2antrr 731 . . . . . . . 8
62 simplr 761 . . . . . . . 8
63 simpr 463 . . . . . . . 8
648, 57psrbagconcl 18590 . . . . . . . 8
6561, 62, 63, 64syl3anc 1265 . . . . . . 7
66 eqidd 2424 . . . . . . 7
67 eqidd 2424 . . . . . . 7
68 fveq2 5879 . . . . . . . 8
69 oveq2 6311 . . . . . . . . 9
7069fveq2d 5883 . . . . . . . 8
7168, 70oveq12d 6321 . . . . . . 7
7265, 66, 67, 71fmptco 6069 . . . . . 6
738psrbagf 18582 . . . . . . . . . . . . . . . 16
747, 73sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . 15
7574adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14
7675ffvelrnda 6035 . . . . . . . . . . . . 13
77 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7877elrab 3230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7963, 78sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
818psrbagf 18582 . . . . . . . . . . . . . . 15
8261, 80, 81syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14
8382ffvelrnda 6035 . . . . . . . . . . . . 13
84 nn0cn 10881 . . . . . . . . . . . . . 14
85 nn0cn 10881 . . . . . . . . . . . . . 14
86 nncan 9905 . . . . . . . . . . . . . 14
8784, 85, 86syl2an 480 . . . . . . . . . . . . 13
8876, 83, 87syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12
8988mpteq2dva 4508 . . . . . . . . . . 11
90 ovex 6331 . . . . . . . . . . . . 13
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
9275feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . 12
9382feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . 13
9461, 76, 83, 92, 93offval2 6560 . . . . . . . . . . . 12
9561, 76, 91, 92, 94offval2 6560 . . . . . . . . . . 11
9689, 95, 933eqtr4d 2474 . . . . . . . . . 10
9796fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
9897oveq2d 6319 . . . . . . . 8
99 psrcom.c . . . . . . . . . 10
10099ad2antrr 731 . . . . . . . . 9
10115ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10
10279simprd 465 . . . . . . . . . . . 12
1038psrbagcon 18588 . . . . . . . . . . . 12
10461, 62, 82, 102, 103syl13anc 1267 . . . . . . . . . . 11
105104simpld 461 . . . . . . . . . 10
106101, 105ffvelrnd 6036 . . . . . . . . 9
10724ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10
108107, 80ffvelrnd 6036 . . . . . . . . 9
1091, 35crngcom 17788 . . . . . . . . 9
110100, 106, 108, 109syl3anc 1265 . . . . . . . 8
11198, 110eqtrd 2464 . . . . . . 7
112111mpteq2dva 4508 . . . . . 6
11372, 112eqtrd 2464 . . . . 5
114113oveq2d 6319 . . . 4 g g
11560, 114eqtrd 2464 . . 3 g g
116115mpteq2dva 4508 . 2 g g
117 psrass.t . . 3
11812, 13, 35, 117, 8, 14, 23psrmulfval 18602 . 2 g
11912, 13, 35, 117, 8, 23, 14psrmulfval 18602 . 2 g
120116, 118, 1193eqtr4d 2474 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1438   wcel 1869  crab 2780  cvv 3082   wss 3437   class class class wbr 4421   cmpt 4480  ccnv 4850   cdm 4851  cima 4854   ccom 4855   wfun 5593  wf 5595  wf1o 5598  cfv 5599  (class class class)co 6303   cof 6541   cofr 6542   supp csupp 6923   cmap 7478  cfn 7575   finSupp cfsupp 7887  cc 9539   cle 9678   cmin 9862  cn 10611  cn0 10871  cbs 15114  cmulr 15184  c0g 15331   g cgsu 15332  CMndccmn 17423  crg 17773  ccrg 17774   mPwSer cmps 18568 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-ofr 6544  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-hash 12517  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-tset 15202  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-psr 18573 This theorem is referenced by:  psrcrng  18630
 Copyright terms: Public domain W3C validator