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Theorem psrcom 17415
Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrcom.c  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
psrcom  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrcom
Dummy variables  x  k  z  g  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 psrrng.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 16611 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
65adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
7 psrrng.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
8 psrass.d . . . . . . 7  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
98psrbaglefi 17375 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  e.  Fin )
107, 9sylan 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  e.  Fin )
113ad2antrr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  R  e.  Ring )
12 psrrng.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
13 psrass.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  S
)
14 psrass.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1512, 1, 8, 13, 14psrelbas 17384 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1615ad2antrr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
17 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )
18 breq1 4283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  k  ->  (
g  oR  <_  x 
<->  k  oR  <_  x ) )
1918elrab 3106 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  <->  ( k  e.  D  /\  k  oR  <_  x
) )
2017, 19sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( k  e.  D  /\  k  oR 
<_  x ) )
2120simpld 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
k  e.  D )
2216, 21ffvelrnd 5832 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( X `  k
)  e.  ( Base `  R ) )
23 psrass.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
2412, 1, 8, 13, 23psrelbas 17384 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2524ad2antrr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
267ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  I  e.  V )
27 simplr 747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  x  e.  D )
288psrbagf 17366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
2926, 21, 28syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
k : I --> NN0 )
3020simprd 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
k  oR  <_  x )
318psrbagcon 17374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  k : I --> NN0  /\  k  oR  <_  x
) )  ->  (
( x  oF  -  k )  e.  D  /\  ( x  oF  -  k
)  oR  <_  x ) )
3226, 27, 29, 30, 31syl13anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( x  oF  -  k )  e.  D  /\  (
x  oF  -  k )  oR  <_  x ) )
3332simpld 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  k )  e.  D )
3425, 33ffvelrnd 5832 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( Y `  (
x  oF  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
35 eqid 2433 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
361, 35rngcl 16594 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  k )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( x  oF  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  k
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  oF  -  k ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
3711, 22, 34, 36syl3anc 1211 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  oF  -  k
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
38 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  oF  -  k
) ) ) )  =  ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )
3937, 38fmptd 5855 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
--> ( Base `  R
) )
40 ovex 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
4140rabex 4431 . . . . . . . . . 10  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
428, 41eqeltri 2503 . . . . . . . . 9  |-  D  e. 
_V
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  D  e.  _V )
44 rabexg 4430 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  _V  ->  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  e.  _V )
4543, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  e.  _V )
46 mptexg 5934 . . . . . . 7  |-  ( { g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  e.  _V  ->  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  e.  _V )
4745, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) )  e.  _V )
48 funmpt 5442 . . . . . . 7  |-  Fun  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) )
4948a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  Fun  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) )
50 fvex 5689 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
5150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
52 suppssdm 6692 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  dom  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )
5338dmmptss 5322 . . . . . . . 8  |-  dom  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) )  C_  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
5452, 53sstri 3353 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  { g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }
5554a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
)
56 suppssfifsupp 7623 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e. 
_V )  /\  ( { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  e.  Fin  /\  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
) )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
5747, 49, 51, 10, 55, 56syl32anc 1219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
58 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  =  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
598, 58psrbagconf1o 17378 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j
) ) : {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x } -1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )
607, 59sylan 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) : { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
-1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )
611, 2, 6, 10, 39, 57, 60gsumf1o 16378 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) ) ) )
627ad2antrr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  I  e.  V )
63 simplr 747 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  x  e.  D )
64 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )
658, 58psrbagconcl 17377 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
)  ->  ( x  oF  -  j
)  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )
6662, 63, 64, 65syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  j )  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )
67 eqidd 2434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) )
68 eqidd 2434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) )  =  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  oF  -  k
) ) ) ) )
69 fveq2 5679 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  oF  -  j )  ->  ( X `  k )  =  ( X `  ( x  oF  -  j
) ) )
70 oveq2 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( x  oF  -  j )  ->  ( x  oF  -  k )  =  ( x  oF  -  ( x  oF  -  j
) ) )
7170fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  oF  -  j )  ->  ( Y `  ( x  oF  -  k ) )  =  ( Y `  ( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) ) ) )
7269, 71oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( x  oF  -  j )  ->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) )  =  ( ( X `
 ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  oF  -  ( x  oF  -  j
) ) ) ) )
7366, 67, 68, 72fmptco 5863 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  oF  -  ( x  oF  -  j
) ) ) ) ) )
748psrbagf 17366 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
757, 74sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
7675adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  x : I --> NN0 )
7776ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
x `  z )  e.  NN0 )
78 breq1 4283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  j  ->  (
g  oR  <_  x 
<->  j  oR  <_  x ) )
7978elrab 3106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  <->  ( j  e.  D  /\  j  oR  <_  x
) )
8064, 79sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( j  e.  D  /\  j  oR 
<_  x ) )
8180simpld 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j  e.  D )
828psrbagf 17366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
8362, 81, 82syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j : I --> NN0 )
8483ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
j `  z )  e.  NN0 )
85 nn0cn 10577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x `  z )  e.  NN0  ->  ( x `
 z )  e.  CC )
86 nn0cn 10577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
87 nncan 9626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( x `
 z )  -  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) )  =  ( j `  z ) )
8885, 86, 87syl2an 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) )  =  ( j `
 z ) )
8977, 84, 88syl2anc 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) ) )  =  ( j `  z ) )
9089mpteq2dva 4366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( j `  z ) ) )
91 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) )  e.  _V )
9376feqmptd 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  x  =  ( z  e.  I  |->  ( x `
 z ) ) )
9483feqmptd 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `
 z ) ) )
9562, 77, 84, 93, 94offval2 6325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) ) )
9662, 77, 92, 93, 95offval2 6325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) ) ) ) )
9790, 96, 943eqtr4d 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) )  =  j )
9897fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( Y `  (
x  oF  -  ( x  oF  -  j ) ) )  =  ( Y `
 j ) )
9998oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) ) ) )  =  ( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) )
100 psrcom.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
101100ad2antrr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  R  e.  CRing )
10215ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
10380simprd 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j  oR  <_  x )
1048psrbagcon 17374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  j : I --> NN0  /\  j  oR  <_  x
) )  ->  (
( x  oF  -  j )  e.  D  /\  ( x  oF  -  j
)  oR  <_  x ) )
10562, 63, 83, 103, 104syl13anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( x  oF  -  j )  e.  D  /\  (
x  oF  -  j )  oR  <_  x ) )
106105simpld 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  j )  e.  D )
107102, 106ffvelrnd 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( X `  (
x  oF  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
10824ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
109108, 81ffvelrnd 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
1101, 35crngcom 16595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( X `  ( x  oF  -  j
) )  e.  (
Base `  R )  /\  ( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) )
111101, 107, 109, 110syl3anc 1211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) )
11299, 111eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) ) ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) )
113112mpteq2dva 4366 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  oF  -  ( x  oF  -  j
) ) ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) ) )
11473, 113eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `
 j ) ( .r `  R ) ( X `  (
x  oF  -  j ) ) ) ) )
115114oveq2d 6096 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ) ) ) )
11661, 115eqtrd 2465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ) ) ) )
117116mpteq2dva 4366 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) ) ) ) )
118 psrass.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
11912, 13, 35, 118, 8, 14, 23psrmulfval 17390 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) ) ) )
12012, 13, 35, 118, 8, 23, 14psrmulfval 17390 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  X
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ) ) ) ) )
121117, 119, 1203eqtr4d 2475 1  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   {crab 2709   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   `'ccnv 4826   dom cdm 4827   "cima 4830    o. ccom 4831   Fun wfun 5400   -->wf 5402   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    oFcof 6307    oRcofr 6308   supp csupp 6679    ^m cmap 7202   Fincfn 7298   finSupp cfsupp 7608   CCcc 9268    <_ cle 9407    - cmin 9583   NNcn 10310   NN0cn0 10567   Basecbs 14157   .rcmulr 14222   0gc0g 14361    gsumg cgsu 14362  CMndccmn 16257   Ringcrg 16577   CRingccrg 16578   mPwSer cmps 17340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-ofr 6310  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-hash 12088  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-tset 14240  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-mnd 15398  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-cring 16581  df-ur 16582  df-psr 17351
This theorem is referenced by:  psrcrng  17419
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