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Theorem psrcom 18191
Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrring.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrring.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrcom.c  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
psrcom  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrcom
Dummy variables  x  k  z  g  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 psrring.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 ringcmn 17356 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
7 psrring.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
8 psrass.d . . . . . . 7  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
98psrbaglefi 18150 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  e.  Fin )
107, 9sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  e.  Fin )
113ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  R  e.  Ring )
12 psrring.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
13 psrass.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  S
)
14 psrass.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1512, 1, 8, 13, 14psrelbas 18159 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
1615ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
17 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )
18 breq1 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  k  ->  (
g  oR  <_  x 
<->  k  oR  <_  x ) )
1918elrab 3257 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  <->  ( k  e.  D  /\  k  oR  <_  x
) )
2017, 19sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( k  e.  D  /\  k  oR 
<_  x ) )
2120simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
k  e.  D )
2216, 21ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( X `  k
)  e.  ( Base `  R ) )
23 psrass.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
2412, 1, 8, 13, 23psrelbas 18159 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
267ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  I  e.  V )
27 simplr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  x  e.  D )
288psrbagf 18141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
2926, 21, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
k : I --> NN0 )
3020simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
k  oR  <_  x )
318psrbagcon 18149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  k : I --> NN0  /\  k  oR  <_  x
) )  ->  (
( x  oF  -  k )  e.  D  /\  ( x  oF  -  k
)  oR  <_  x ) )
3226, 27, 29, 30, 31syl13anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( x  oF  -  k )  e.  D  /\  (
x  oF  -  k )  oR  <_  x ) )
3332simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  k )  e.  D )
3425, 33ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( Y `  (
x  oF  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )
35 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
361, 35ringcl 17339 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  k )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( x  oF  -  k ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  k
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  oF  -  k ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
3711, 22, 34, 36syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  k  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  oF  -  k
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
38 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  oF  -  k
) ) ) )  =  ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )
3937, 38fmptd 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) : { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
--> ( Base `  R
) )
40 ovex 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
418, 40rabex2 4609 . . . . . . . . 9  |-  D  e. 
_V
4241a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  D  e.  _V )
43 rabexg 4606 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  _V  ->  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  e.  _V )
4442, 43syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  e.  _V )
45 mptexg 6143 . . . . . . 7  |-  ( { g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  e.  _V  ->  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  e.  _V )
4644, 45syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) )  e.  _V )
47 funmpt 5630 . . . . . . 7  |-  Fun  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) )
4847a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  Fun  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) )
49 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
5049a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
51 suppssdm 6930 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  dom  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )
5238dmmptss 5509 . . . . . . . 8  |-  dom  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) )  C_  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
5351, 52sstri 3508 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  { g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }
5453a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
)
55 suppssfifsupp 7862 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e. 
_V )  /\  ( { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  e.  Fin  /\  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
) )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
5646, 48, 50, 10, 54, 55syl32anc 1236 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
57 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  =  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
588, 57psrbagconf1o 18153 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j
) ) : {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x } -1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )
597, 58sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) : { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
-1-1-onto-> { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )
601, 2, 6, 10, 39, 56, 59gsumf1o 17051 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) ) ) )
617ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  I  e.  V )
62 simplr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  x  e.  D )
63 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )
648, 57psrbagconcl 18152 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }
)  ->  ( x  oF  -  j
)  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )
6561, 62, 63, 64syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  j )  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )
66 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) )
67 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) ) )  =  ( k  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( x  oF  -  k
) ) ) ) )
68 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  oF  -  j )  ->  ( X `  k )  =  ( X `  ( x  oF  -  j
) ) )
69 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( x  oF  -  j )  ->  ( x  oF  -  k )  =  ( x  oF  -  ( x  oF  -  j
) ) )
7069fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( x  oF  -  j )  ->  ( Y `  ( x  oF  -  k ) )  =  ( Y `  ( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) ) ) )
7168, 70oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( x  oF  -  j )  ->  ( ( X `
 k ) ( .r `  R ) ( Y `  (
x  oF  -  k ) ) )  =  ( ( X `
 ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  oF  -  ( x  oF  -  j
) ) ) ) )
7265, 66, 67, 71fmptco 6065 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  oF  -  ( x  oF  -  j
) ) ) ) ) )
738psrbagf 18141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
747, 73sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  x : I --> NN0 )
7675ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
x `  z )  e.  NN0 )
77 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  j  ->  (
g  oR  <_  x 
<->  j  oR  <_  x ) )
7877elrab 3257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  <->  ( j  e.  D  /\  j  oR  <_  x
) )
7963, 78sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( j  e.  D  /\  j  oR 
<_  x ) )
8079simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j  e.  D )
818psrbagf 18141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
8261, 80, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j : I --> NN0 )
8382ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
j `  z )  e.  NN0 )
84 nn0cn 10826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x `  z )  e.  NN0  ->  ( x `
 z )  e.  CC )
85 nn0cn 10826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
86 nncan 9867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( x `
 z )  -  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) )  =  ( j `  z ) )
8784, 85, 86syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) )  =  ( j `
 z ) )
8876, 83, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) ) )  =  ( j `  z ) )
8988mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( j `  z ) ) )
90 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( x `  z
)  -  ( j `
 z ) )  e.  _V )
9275feqmptd 5926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  x  =  ( z  e.  I  |->  ( x `
 z ) ) )
9382feqmptd 5926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `
 z ) ) )
9461, 76, 83, 92, 93offval2 6555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  (
j `  z )
) ) )
9561, 76, 91, 92, 94offval2 6555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( x `  z )  -  ( ( x `
 z )  -  ( j `  z
) ) ) ) )
9689, 95, 933eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) )  =  j )
9796fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( Y `  (
x  oF  -  ( x  oF  -  j ) ) )  =  ( Y `
 j ) )
9897oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) ) ) )  =  ( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) ) )
99 psrcom.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
10099ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  R  e.  CRing )
10115ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
10279simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
j  oR  <_  x )
1038psrbagcon 18149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( x  e.  D  /\  j : I --> NN0  /\  j  oR  <_  x
) )  ->  (
( x  oF  -  j )  e.  D  /\  ( x  oF  -  j
)  oR  <_  x ) )
10461, 62, 82, 102, 103syl13anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( x  oF  -  j )  e.  D  /\  (
x  oF  -  j )  oR  <_  x ) )
105104simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( x  oF  -  j )  e.  D )
106101, 105ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( X `  (
x  oF  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
10724ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
108107, 80ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
1091, 35crngcom 17340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( X `  ( x  oF  -  j
) )  e.  (
Base `  R )  /\  ( Y `  j
)  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) )
110100, 106, 108, 109syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  j ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) )
11198, 110eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  j  e.  { g  e.  D  |  g  oR 
<_  x } )  -> 
( ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  ( x  oF  -  j ) ) ) )  =  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) )
112111mpteq2dva 4543 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `
 ( x  oF  -  j ) ) ( .r `  R ) ( Y `
 ( x  oF  -  ( x  oF  -  j
) ) ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) ) )
11372, 112eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) )  =  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `
 j ) ( .r `  R ) ( X `  (
x  oF  -  j ) ) ) ) )
114113oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( k  e. 
{ g  e.  D  |  g  oR 
<_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) )  o.  (
j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( x  oF  -  j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ) ) ) )
11560, 114eqtrd 2498 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ) ) ) )
116115mpteq2dva 4543 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  { g  e.  D  |  g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r
`  R ) ( X `  ( x  oF  -  j
) ) ) ) ) ) )
117 psrass.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
11812, 13, 35, 117, 8, 14, 23psrmulfval 18165 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( k  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( X `  k ) ( .r `  R
) ( Y `  ( x  oF  -  k ) ) ) ) ) ) )
11912, 13, 35, 117, 8, 23, 14psrmulfval 18165 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  X
)  =  ( x  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
g  e.  D  | 
g  oR  <_  x }  |->  ( ( Y `  j ) ( .r `  R
) ( X `  ( x  oF  -  j ) ) ) ) ) ) )
120116, 118, 1193eqtr4d 2508 1  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y 
.X.  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   "cima 5011    o. ccom 5012   Fun wfun 5588   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537    oRcofr 6538   supp csupp 6917    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   finSupp cfsupp 7847   CCcc 9507    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   NN0cn0 10816   Basecbs 14644   .rcmulr 14713   0gc0g 14857    gsumg cgsu 14858  CMndccmn 16925   Ringcrg 17325   CRingccrg 17326   mPwSer cmps 18127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-tset 14731  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-psr 18132
This theorem is referenced by:  psrcrng  18195
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