Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbasOLD Structured version   Unicode version

Theorem psrbasOLD 18010
 Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) Obsolete version of psrbas 18009 as of 8-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbas.s mPwSer
psrbas.k
psrbas.d
psrbas.b
psrbas.i
Assertion
Ref Expression
psrbasOLD
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem psrbasOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbas.s . . . . 5 mPwSer
2 psrbas.k . . . . 5
3 eqid 2443 . . . . 5
4 eqid 2443 . . . . 5
5 eqid 2443 . . . . 5
6 psrbas.d . . . . 5
7 eqidd 2444 . . . . 5
8 eqid 2443 . . . . 5
9 eqid 2443 . . . . 5 g g
10 eqid 2443 . . . . 5
11 eqidd 2444 . . . . 5
12 psrbas.i . . . . . 6
1312adantr 465 . . . . 5
14 simpr 461 . . . . 5
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14psrval 17990 . . . 4 g Scalar TopSet
1615fveq2d 5860 . . 3 g Scalar TopSet
17 psrbas.b . . 3
18 ovex 6309 . . . 4
19 psrvalstr 17991 . . . . 5 g Scalar TopSet Struct
20 baseid 14660 . . . . 5 Slot
21 snsstp1 4166 . . . . . 6 g
22 ssun1 3652 . . . . . 6 g g Scalar TopSet
2321, 22sstri 3498 . . . . 5 g Scalar TopSet
2419, 20, 23strfv 14648 . . . 4 g Scalar TopSet
2518, 24ax-mp 5 . . 3 g Scalar TopSet
2616, 17, 253eqtr4g 2509 . 2
27 reldmpsr 17989 . . . . . . . 8 mPwSer
2827ovprc2 6313 . . . . . . 7 mPwSer
2928adantl 466 . . . . . 6 mPwSer
301, 29syl5eq 2496 . . . . 5
3130fveq2d 5860 . . . 4
32 base0 14653 . . . 4
3331, 17, 323eqtr4g 2509 . . 3
34 fvprc 5850 . . . . . 6
3534adantl 466 . . . . 5
362, 35syl5eq 2496 . . . 4
37 0nn0 10817 . . . . . . . 8
3837a1i 11 . . . . . . 7
39 eqid 2443 . . . . . . 7
4038, 39fmptd 6040 . . . . . 6
41 0fin 7749 . . . . . . 7
42 nn0suppOLD 10857 . . . . . . . . 9
4340, 42syl 16 . . . . . . . 8
44 eqidd 2444 . . . . . . . . 9
4544suppss2OLD 6515 . . . . . . . 8
4643, 45eqsstr3d 3524 . . . . . . 7
47 ssfi 7742 . . . . . . 7
4841, 46, 47sylancr 663 . . . . . 6
496psrbag 17992 . . . . . . . 8
5012, 49syl 16 . . . . . . 7
5150adantr 465 . . . . . 6
5240, 48, 51mpbir2and 922 . . . . 5
53 ne0i 3776 . . . . 5
5452, 53syl 16 . . . 4
55 fvex 5866 . . . . . 6
562, 55eqeltri 2527 . . . . 5
57 ovex 6309 . . . . . . 7
5857rabex 4588 . . . . . 6
596, 58eqeltri 2527 . . . . 5
6056, 59map0 7461 . . . 4
6136, 54, 60sylanbrc 664 . . 3
6233, 61eqtr4d 2487 . 2
6326, 62pm2.61dan 791 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  crab 2797  cvv 3095   cdif 3458   cun 3459   wss 3461  c0 3770  csn 4014  ctp 4018  cop 4020   class class class wbr 4437   cmpt 4495   cxp 4987  ccnv 4988   cres 4991  cima 4992  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281   cmpt2 6283   cof 6523   cofr 6524   cmap 7422  cfn 7518  cc0 9495  c1 9496   cle 9632   cmin 9810  cn 10543  c9 10599  cn0 10802  cnx 14611  cbs 14614   cplusg 14679  cmulr 14680  Scalarcsca 14682  cvsca 14683  TopSetcts 14685  ctopn 14801  cpt 14818   g cgsu 14820   mPwSer cmps 17979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-tset 14698  df-psr 17984 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator