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Theorem psrbaglefiOLD 17898
Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) Obsolete version of psrbaglefi 17897 as of 8-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbaglefiOLD  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    y, f, F    y, V    f, I,
y    y, D
Allowed substitution hints:    D( f)    V( f)

Proof of Theorem psrbaglefiOLD
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2802 . . 3  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  F }  =  { y  |  ( y  e.  D  /\  y  oR  <_  F ) }
2 psrbag.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
32psrbag 17887 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  D  <->  ( y : I --> NN0  /\  ( `' y " NN )  e.  Fin )
) )
43adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y  e.  D  <->  ( y : I --> NN0  /\  ( `' y " NN )  e.  Fin )
) )
5 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( y : I --> NN0  /\  ( `' y " NN )  e.  Fin )  ->  y : I --> NN0 )
64, 5syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y  e.  D  ->  y : I --> NN0 )
)
76adantrd 468 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( ( y  e.  D  /\  y  oR  <_  F )  ->  y : I --> NN0 )
)
8 ss2ixp 7484 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) )  C_  NN0 
->  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  C_  X_ x  e.  I  NN0 )
9 elfznn0 11779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... ( F `  x
) )  ->  y  e.  NN0 )
109ssriv 3493 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( F `  x ) )  C_  NN0
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  I  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  C_  NN0 )
128, 11mprg 2806 . . . . . . . 8  |-  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `  x ) )  C_  X_ x  e.  I  NN0
1312sseli 3485 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  ->  y  e.  X_ x  e.  I  NN0 )
14 vex 3098 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
1514elixpconst 7479 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I  NN0 
<->  y : I --> NN0 )
1613, 15sylib 196 . . . . . 6  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  ->  y :
I --> NN0 )
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y  e.  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) )  -> 
y : I --> NN0 )
)
18 ffn 5721 . . . . . . . . 9  |-  ( y : I --> NN0  ->  y  Fn  I )
1918adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  y  Fn  I )
2014elixp 7478 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  <->  ( y  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
2120baib 903 . . . . . . . 8  |-  ( y  Fn  I  ->  (
y  e.  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
2219, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  e.  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
23 ffvelrn 6014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y : I --> NN0  /\  x  e.  I )  ->  ( y `  x
)  e.  NN0 )
2423adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( y `  x )  e.  NN0 )
25 nn0uz 11124 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2624, 25syl6eleq 2541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( y `  x )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
272psrbagf 17888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  F : I --> NN0 )
2928ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( F `  x )  e.  NN0 )
3029nn0zd 10972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( F `  x )  e.  ZZ )
31 elfz5 11689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( F `  x )  e.  ZZ )  ->  (
( y `  x
)  e.  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  ( y `  x )  <_  ( F `  x )
) )
3226, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `  x )
)  <->  ( y `  x )  <_  ( F `  x )
) )
3332ralbidva 2879 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  ( A. x  e.  I 
( y `  x
)  e.  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  I  ( y `  x )  <_  ( F `  x )
) )
34 ffn 5721 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : I --> NN0  ->  F  Fn  I )
3528, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  F  Fn  I )
36 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  I  e.  V )
37 inidm 3692 . . . . . . . . 9  |-  ( I  i^i  I )  =  I
38 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( y `  x )  =  ( y `  x ) )
39 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
4019, 35, 36, 36, 37, 38, 39ofrfval 6533 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  oR  <_  F 
<-> 
A. x  e.  I 
( y `  x
)  <_  ( F `  x ) ) )
4133, 40bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  ( A. x  e.  I 
( y `  x
)  e.  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  y  oR  <_  F ) )
422psrbaglecl 17893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  y : I --> NN0  /\  y  oR  <_  F
) )  ->  y  e.  D )
43423exp2 1215 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  D  ->  ( y : I --> NN0  ->  ( y  oR  <_  F  ->  y  e.  D
) ) ) )
4443imp31 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  oR  <_  F  ->  y  e.  D
) )
4544pm4.71rd 635 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  oR  <_  F 
<->  ( y  e.  D  /\  y  oR 
<_  F ) ) )
4622, 41, 453bitrrd 280 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
( y  e.  D  /\  y  oR 
<_  F )  <->  y  e.  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
4746ex 434 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y : I --> NN0  ->  ( (
y  e.  D  /\  y  oR  <_  F
)  <->  y  e.  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) ) ) ) )
487, 17, 47pm5.21ndd 354 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( ( y  e.  D  /\  y  oR  <_  F )  <->  y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
) ) )
4948abbi1dv 2581 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  |  ( y  e.  D  /\  y  oR  <_  F
) }  =  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) ) )
501, 49syl5eq 2496 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  =  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) ) )
51 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F  e.  D )
52 cnveq 5166 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
5352imaeq1d 5326 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' F " NN ) )
5453eleq1d 2512 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' F " NN )  e.  Fin ) )
5554, 2elrab2 3245 . . . . 5  |-  ( F  e.  D  <->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I
)  /\  ( `' F " NN )  e. 
Fin ) )
5651, 55sylib 196 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I )  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) )
5756simprd 463 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( `' F " NN )  e.  Fin )
58 fzfid 12062 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  I )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  e. 
Fin )
59 nn0suppOLD 10856 . . . . . . . 8  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' F " NN ) )
60 eqimss 3541 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' F " NN )  ->  ( `' F " ( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' F " NN ) )
6127, 59, 603syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( `' F "
( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' F " NN ) )
6227, 61suppssrOLD 6006 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  ( F `  x )  =  0 )
6362oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  =  ( 0 ... 0
) )
64 0z 10881 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
65 fzsn 11734 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
6664, 65ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
6763, 66syl6eq 2500 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  =  { 0 } )
68 eqimss 3541 . . . 4  |-  ( ( 0 ... ( F `
 x ) )  =  { 0 }  ->  ( 0 ... ( F `  x
) )  C_  { 0 } )
6967, 68syl 16 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  C_  { 0 } )
7057, 58, 69ixpfi2 7820 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  -> 
X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  e.  Fin )
7150, 70eqeltrd 2531 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   {cab 2428   A.wral 2793   {crab 2797   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4014   class class class wbr 4437   `'ccnv 4988   "cima 4992    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oRcofr 6524    ^m cmap 7422   X_cixp 7471   Fincfn 7518   0cc0 9495    <_ cle 9632   NNcn 10542   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   ...cfz 11681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682
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