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Theorem psrbaglefiOLD 17788
Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) Obsolete version of psrbaglefi 17787 as of 8-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbaglefiOLD  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    y, f, F    y, V    f, I,
y    y, D
Allowed substitution hints:    D( f)    V( f)

Proof of Theorem psrbaglefiOLD
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2816 . . 3  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  F }  =  { y  |  ( y  e.  D  /\  y  oR  <_  F ) }
2 psrbag.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
32psrbag 17777 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  D  <->  ( y : I --> NN0  /\  ( `' y " NN )  e.  Fin )
) )
43adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y  e.  D  <->  ( y : I --> NN0  /\  ( `' y " NN )  e.  Fin )
) )
5 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( y : I --> NN0  /\  ( `' y " NN )  e.  Fin )  ->  y : I --> NN0 )
64, 5syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y  e.  D  ->  y : I --> NN0 )
)
76adantrd 468 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( ( y  e.  D  /\  y  oR  <_  F )  ->  y : I --> NN0 )
)
8 ss2ixp 7472 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) )  C_  NN0 
->  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  C_  X_ x  e.  I  NN0 )
9 elfznn0 11759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... ( F `  x
) )  ->  y  e.  NN0 )
109ssriv 3501 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( F `  x ) )  C_  NN0
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  I  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  C_  NN0 )
128, 11mprg 2820 . . . . . . . 8  |-  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `  x ) )  C_  X_ x  e.  I  NN0
1312sseli 3493 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  ->  y  e.  X_ x  e.  I  NN0 )
14 vex 3109 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
1514elixpconst 7467 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I  NN0 
<->  y : I --> NN0 )
1613, 15sylib 196 . . . . . 6  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  ->  y :
I --> NN0 )
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y  e.  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) )  -> 
y : I --> NN0 )
)
18 ffn 5722 . . . . . . . . 9  |-  ( y : I --> NN0  ->  y  Fn  I )
1918adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  y  Fn  I )
2014elixp 7466 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  <->  ( y  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
2120baib 898 . . . . . . . 8  |-  ( y  Fn  I  ->  (
y  e.  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
2219, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  e.  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
23 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y : I --> NN0  /\  x  e.  I )  ->  ( y `  x
)  e.  NN0 )
2423adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( y `  x )  e.  NN0 )
25 nn0uz 11105 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2624, 25syl6eleq 2558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( y `  x )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
272psrbagf 17778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  F : I --> NN0 )
2928ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( F `  x )  e.  NN0 )
3029nn0zd 10953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( F `  x )  e.  ZZ )
31 elfz5 11669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( F `  x )  e.  ZZ )  ->  (
( y `  x
)  e.  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  ( y `  x )  <_  ( F `  x )
) )
3226, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `  x )
)  <->  ( y `  x )  <_  ( F `  x )
) )
3332ralbidva 2893 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  ( A. x  e.  I 
( y `  x
)  e.  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  I  ( y `  x )  <_  ( F `  x )
) )
34 ffn 5722 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : I --> NN0  ->  F  Fn  I )
3528, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  F  Fn  I )
36 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  I  e.  V )
37 inidm 3700 . . . . . . . . 9  |-  ( I  i^i  I )  =  I
38 eqidd 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( y `  x )  =  ( y `  x ) )
39 eqidd 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
4019, 35, 36, 36, 37, 38, 39ofrfval 6523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  oR  <_  F 
<-> 
A. x  e.  I 
( y `  x
)  <_  ( F `  x ) ) )
4133, 40bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  ( A. x  e.  I 
( y `  x
)  e.  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  y  oR  <_  F ) )
422psrbaglecl 17783 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  y : I --> NN0  /\  y  oR  <_  F
) )  ->  y  e.  D )
43423exp2 1209 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  D  ->  ( y : I --> NN0  ->  ( y  oR  <_  F  ->  y  e.  D
) ) ) )
4443imp31 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  oR  <_  F  ->  y  e.  D
) )
4544pm4.71rd 635 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  oR  <_  F 
<->  ( y  e.  D  /\  y  oR 
<_  F ) ) )
4622, 41, 453bitrrd 280 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
( y  e.  D  /\  y  oR 
<_  F )  <->  y  e.  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
4746ex 434 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y : I --> NN0  ->  ( (
y  e.  D  /\  y  oR  <_  F
)  <->  y  e.  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) ) ) ) )
487, 17, 47pm5.21ndd 354 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( ( y  e.  D  /\  y  oR  <_  F )  <->  y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
) ) )
4948abbi1dv 2598 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  |  ( y  e.  D  /\  y  oR  <_  F
) }  =  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) ) )
501, 49syl5eq 2513 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  =  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) ) )
51 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F  e.  D )
52 cnveq 5167 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
5352imaeq1d 5327 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' F " NN ) )
5453eleq1d 2529 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' F " NN )  e.  Fin ) )
5554, 2elrab2 3256 . . . . 5  |-  ( F  e.  D  <->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I
)  /\  ( `' F " NN )  e. 
Fin ) )
5651, 55sylib 196 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I )  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) )
5756simprd 463 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( `' F " NN )  e.  Fin )
58 fzfid 12039 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  I )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  e. 
Fin )
59 nn0suppOLD 10839 . . . . . . . 8  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' F " NN ) )
60 eqimss 3549 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' F " NN )  ->  ( `' F " ( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' F " NN ) )
6127, 59, 603syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( `' F "
( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' F " NN ) )
6227, 61suppssrOLD 6006 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  ( F `  x )  =  0 )
6362oveq2d 6291 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  =  ( 0 ... 0
) )
64 0z 10864 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
65 fzsn 11714 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
6664, 65ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
6763, 66syl6eq 2517 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  =  { 0 } )
68 eqimss 3549 . . . 4  |-  ( ( 0 ... ( F `
 x ) )  =  { 0 }  ->  ( 0 ... ( F `  x
) )  C_  { 0 } )
6967, 68syl 16 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  C_  { 0 } )
7057, 58, 69ixpfi2 7807 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  -> 
X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  e.  Fin )
7150, 70eqeltrd 2548 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2445   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3106    \ cdif 3466    C_ wss 3469   {csn 4020   class class class wbr 4440   `'ccnv 4991   "cima 4995    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    oRcofr 6514    ^m cmap 7410   X_cixp 7459   Fincfn 7506   0cc0 9481    <_ cle 9618   NNcn 10525   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   ...cfz 11661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662
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