Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglefiOLD Structured version   Unicode version

Theorem psrbaglefiOLD 17419
 Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) Obsolete version of psrbaglefi 17418 as of 8-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d
Assertion
Ref Expression
psrbaglefiOLD
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem psrbaglefiOLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2719 . . 3
2 psrbag.d . . . . . . . . 9
32psrbag 17408 . . . . . . . 8
43adantr 465 . . . . . . 7
5 simpl 457 . . . . . . 7
64, 5syl6bi 228 . . . . . 6
76adantrd 468 . . . . 5
8 ss2ixp 7268 . . . . . . . . 9
9 elfznn0 11473 . . . . . . . . . . 11
109ssriv 3355 . . . . . . . . . 10
1110a1i 11 . . . . . . . . 9
128, 11mprg 2780 . . . . . . . 8
1312sseli 3347 . . . . . . 7
14 vex 2970 . . . . . . . 8
1514elixpconst 7263 . . . . . . 7
1613, 15sylib 196 . . . . . 6
1716a1i 11 . . . . 5
18 ffn 5554 . . . . . . . . 9
1918adantl 466 . . . . . . . 8
2014elixp 7262 . . . . . . . . 9
2120baib 896 . . . . . . . 8
2219, 21syl 16 . . . . . . 7
23 ffvelrn 5836 . . . . . . . . . . . 12
2423adantll 713 . . . . . . . . . . 11
25 nn0uz 10887 . . . . . . . . . . 11
2624, 25syl6eleq 2528 . . . . . . . . . 10
272psrbagf 17409 . . . . . . . . . . . . 13
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
2928ffvelrnda 5838 . . . . . . . . . . 11
3029nn0zd 10737 . . . . . . . . . 10
31 elfz5 11437 . . . . . . . . . 10
3226, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . 9
3332ralbidva 2726 . . . . . . . 8
34 ffn 5554 . . . . . . . . . 10
3528, 34syl 16 . . . . . . . . 9
36 simpll 753 . . . . . . . . 9
37 inidm 3554 . . . . . . . . 9
38 eqidd 2439 . . . . . . . . 9
39 eqidd 2439 . . . . . . . . 9
4019, 35, 36, 36, 37, 38, 39ofrfval 6323 . . . . . . . 8
4133, 40bitr4d 256 . . . . . . 7
422psrbaglecl 17414 . . . . . . . . . 10
43423exp2 1205 . . . . . . . . 9
4443imp31 432 . . . . . . . 8
4544pm4.71rd 635 . . . . . . 7
4622, 41, 453bitrrd 280 . . . . . 6
4746ex 434 . . . . 5
487, 17, 47pm5.21ndd 354 . . . 4
4948abbi1dv 2554 . . 3
501, 49syl5eq 2482 . 2
51 simpr 461 . . . . 5
52 cnveq 5008 . . . . . . . 8
5352imaeq1d 5163 . . . . . . 7
5453eleq1d 2504 . . . . . 6
5554, 2elrab2 3114 . . . . 5
5651, 55sylib 196 . . . 4
5756simprd 463 . . 3
58 fzfid 11787 . . 3
59 nn0suppOLD 10626 . . . . . . . 8
60 eqimss 3403 . . . . . . . 8
6127, 59, 603syl 20 . . . . . . 7
6227, 61suppssrOLD 5832 . . . . . 6
6362oveq2d 6102 . . . . 5
64 0z 10649 . . . . . 6
65 fzsn 11492 . . . . . 6
6664, 65ax-mp 5 . . . . 5
6763, 66syl6eq 2486 . . . 4
68 eqimss 3403 . . . 4
6967, 68syl 16 . . 3
7057, 58, 69ixpfi2 7601 . 2
7150, 70eqeltrd 2512 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1369   wcel 1756  cab 2424  wral 2710  crab 2714  cvv 2967   cdif 3320   wss 3323  csn 3872   class class class wbr 4287  ccnv 4834  cima 4838   wfn 5408  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6086   cofr 6314   cmap 7206  cixp 7255  cfn 7302  cc0 9274   cle 9411  cn 10314  cn0 10571  cz 10638  cuz 10853  cfz 11429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator