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Theorem psrbaglefiOLD 18137
Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) Obsolete version of psrbaglefi 18136 as of 8-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbaglefiOLD  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    y, f, F    y, V    f, I,
y    y, D
Allowed substitution hints:    D( f)    V( f)

Proof of Theorem psrbaglefiOLD
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2741 . . 3  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  F }  =  { y  |  ( y  e.  D  /\  y  oR  <_  F ) }
2 psrbag.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
32psrbag 18126 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  D  <->  ( y : I --> NN0  /\  ( `' y " NN )  e.  Fin )
) )
43adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y  e.  D  <->  ( y : I --> NN0  /\  ( `' y " NN )  e.  Fin )
) )
5 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( y : I --> NN0  /\  ( `' y " NN )  e.  Fin )  ->  y : I --> NN0 )
64, 5syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y  e.  D  ->  y : I --> NN0 )
)
76adantrd 466 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( ( y  e.  D  /\  y  oR  <_  F )  ->  y : I --> NN0 )
)
8 ss2ixp 7401 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) )  C_  NN0 
->  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  C_  X_ x  e.  I  NN0 )
9 elfznn0 11693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... ( F `  x
) )  ->  y  e.  NN0 )
109ssriv 3421 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( F `  x ) )  C_  NN0
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  I  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  C_  NN0 )
128, 11mprg 2745 . . . . . . . 8  |-  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `  x ) )  C_  X_ x  e.  I  NN0
1312sseli 3413 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  ->  y  e.  X_ x  e.  I  NN0 )
14 vex 3037 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
1514elixpconst 7396 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I  NN0 
<->  y : I --> NN0 )
1613, 15sylib 196 . . . . . 6  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  ->  y :
I --> NN0 )
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y  e.  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) )  -> 
y : I --> NN0 )
)
18 ffn 5639 . . . . . . . . 9  |-  ( y : I --> NN0  ->  y  Fn  I )
1918adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  y  Fn  I )
2014elixp 7395 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  <->  ( y  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
2120baib 901 . . . . . . . 8  |-  ( y  Fn  I  ->  (
y  e.  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
2219, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  e.  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
23 ffvelrn 5931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y : I --> NN0  /\  x  e.  I )  ->  ( y `  x
)  e.  NN0 )
2423adantll 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( y `  x )  e.  NN0 )
25 nn0uz 11035 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2624, 25syl6eleq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( y `  x )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
272psrbagf 18127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
2827adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  F : I --> NN0 )
2928ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( F `  x )  e.  NN0 )
3029nn0zd 10882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( F `  x )  e.  ZZ )
31 elfz5 11601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( F `  x )  e.  ZZ )  ->  (
( y `  x
)  e.  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  ( y `  x )  <_  ( F `  x )
) )
3226, 30, 31syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `  x )
)  <->  ( y `  x )  <_  ( F `  x )
) )
3332ralbidva 2818 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  ( A. x  e.  I 
( y `  x
)  e.  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  I  ( y `  x )  <_  ( F `  x )
) )
34 ffn 5639 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : I --> NN0  ->  F  Fn  I )
3528, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  F  Fn  I )
36 simpll 751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  I  e.  V )
37 inidm 3621 . . . . . . . . 9  |-  ( I  i^i  I )  =  I
38 eqidd 2383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( y `  x )  =  ( y `  x ) )
39 eqidd 2383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
4019, 35, 36, 36, 37, 38, 39ofrfval 6447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  oR  <_  F 
<-> 
A. x  e.  I 
( y `  x
)  <_  ( F `  x ) ) )
4133, 40bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  ( A. x  e.  I 
( y `  x
)  e.  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  y  oR  <_  F ) )
422psrbaglecl 18132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  y : I --> NN0  /\  y  oR  <_  F
) )  ->  y  e.  D )
43423exp2 1212 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  D  ->  ( y : I --> NN0  ->  ( y  oR  <_  F  ->  y  e.  D
) ) ) )
4443imp31 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  oR  <_  F  ->  y  e.  D
) )
4544pm4.71rd 633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  oR  <_  F 
<->  ( y  e.  D  /\  y  oR 
<_  F ) ) )
4622, 41, 453bitrrd 280 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
( y  e.  D  /\  y  oR 
<_  F )  <->  y  e.  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
4746ex 432 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y : I --> NN0  ->  ( (
y  e.  D  /\  y  oR  <_  F
)  <->  y  e.  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) ) ) ) )
487, 17, 47pm5.21ndd 352 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( ( y  e.  D  /\  y  oR  <_  F )  <->  y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
) ) )
4948abbi1dv 2520 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  |  ( y  e.  D  /\  y  oR  <_  F
) }  =  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) ) )
501, 49syl5eq 2435 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  =  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) ) )
51 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F  e.  D )
52 cnveq 5089 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
5352imaeq1d 5248 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' F " NN ) )
5453eleq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' F " NN )  e.  Fin ) )
5554, 2elrab2 3184 . . . . 5  |-  ( F  e.  D  <->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I
)  /\  ( `' F " NN )  e. 
Fin ) )
5651, 55sylib 196 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I )  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) )
5756simprd 461 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( `' F " NN )  e.  Fin )
58 fzfid 11986 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  I )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  e. 
Fin )
59 nn0suppOLD 10767 . . . . . . . 8  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' F " NN ) )
60 eqimss 3469 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' F " NN )  ->  ( `' F " ( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' F " NN ) )
6127, 59, 603syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( `' F "
( _V  \  {
0 } ) ) 
C_  ( `' F " NN ) )
6227, 61suppssrOLD 5923 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  ( F `  x )  =  0 )
6362oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  =  ( 0 ... 0
) )
64 0z 10792 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
65 fzsn 11647 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
6664, 65ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
6763, 66syl6eq 2439 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  =  { 0 } )
68 eqimss 3469 . . . 4  |-  ( ( 0 ... ( F `
 x ) )  =  { 0 }  ->  ( 0 ... ( F `  x
) )  C_  { 0 } )
6967, 68syl 16 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  C_  { 0 } )
7057, 58, 69ixpfi2 7733 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  -> 
X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  e.  Fin )
7150, 70eqeltrd 2470 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   {cab 2367   A.wral 2732   {crab 2736   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    C_ wss 3389   {csn 3944   class class class wbr 4367   `'ccnv 4912   "cima 4916    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    oRcofr 6438    ^m cmap 7338   X_cixp 7388   Fincfn 7435   0cc0 9403    <_ cle 9540   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   ...cfz 11593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-ofr 6440  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594
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