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Theorem psrbaglefi 17456
Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbaglefi  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    y, f, F    y, V    f, I,
y    y, D
Allowed substitution hints:    D( f)    V( f)

Proof of Theorem psrbaglefi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2739 . . 3  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  F }  =  { y  |  ( y  e.  D  /\  y  oR  <_  F ) }
2 psrbag.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
32psrbag 17446 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  D  <->  ( y : I --> NN0  /\  ( `' y " NN )  e.  Fin )
) )
43adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y  e.  D  <->  ( y : I --> NN0  /\  ( `' y " NN )  e.  Fin )
) )
5 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( y : I --> NN0  /\  ( `' y " NN )  e.  Fin )  ->  y : I --> NN0 )
64, 5syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y  e.  D  ->  y : I --> NN0 )
)
76adantrd 468 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( ( y  e.  D  /\  y  oR  <_  F )  ->  y : I --> NN0 )
)
8 ss2ixp 7291 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) )  C_  NN0 
->  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  C_  X_ x  e.  I  NN0 )
9 elfznn0 11496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 ... ( F `  x
) )  ->  y  e.  NN0 )
109ssriv 3375 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( F `  x ) )  C_  NN0
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  I  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  C_  NN0 )
128, 11mprg 2800 . . . . . . . 8  |-  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `  x ) )  C_  X_ x  e.  I  NN0
1312sseli 3367 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  ->  y  e.  X_ x  e.  I  NN0 )
14 vex 2990 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
1514elixpconst 7286 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I  NN0 
<->  y : I --> NN0 )
1613, 15sylib 196 . . . . . 6  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  ->  y :
I --> NN0 )
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y  e.  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) )  -> 
y : I --> NN0 )
)
18 ffn 5574 . . . . . . . . 9  |-  ( y : I --> NN0  ->  y  Fn  I )
1918adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  y  Fn  I )
2014elixp 7285 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  <->  ( y  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
2120baib 896 . . . . . . . 8  |-  ( y  Fn  I  ->  (
y  e.  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
2219, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  e.  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
23 ffvelrn 5856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y : I --> NN0  /\  x  e.  I )  ->  ( y `  x
)  e.  NN0 )
2423adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( y `  x )  e.  NN0 )
25 nn0uz 10910 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2624, 25syl6eleq 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( y `  x )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
272psrbagf 17447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  F : I --> NN0 )
2928ffvelrnda 5858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( F `  x )  e.  NN0 )
3029nn0zd 10760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( F `  x )  e.  ZZ )
31 elfz5 11460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( F `  x )  e.  ZZ )  ->  (
( y `  x
)  e.  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  ( y `  x )  <_  ( F `  x )
) )
3226, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
y `  x )  e.  ( 0 ... ( F `  x )
)  <->  ( y `  x )  <_  ( F `  x )
) )
3332ralbidva 2746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  ( A. x  e.  I 
( y `  x
)  e.  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  I  ( y `  x )  <_  ( F `  x )
) )
34 ffn 5574 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : I --> NN0  ->  F  Fn  I )
3528, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  F  Fn  I )
36 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  I  e.  V )
37 inidm 3574 . . . . . . . . 9  |-  ( I  i^i  I )  =  I
38 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( y `  x )  =  ( y `  x ) )
39 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  y : I --> NN0 )  /\  x  e.  I
)  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
4019, 35, 36, 36, 37, 38, 39ofrfval 6343 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  oR  <_  F 
<-> 
A. x  e.  I 
( y `  x
)  <_  ( F `  x ) ) )
4133, 40bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  ( A. x  e.  I 
( y `  x
)  e.  ( 0 ... ( F `  x ) )  <->  y  oR  <_  F ) )
422psrbaglecl 17452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  y : I --> NN0  /\  y  oR  <_  F
) )  ->  y  e.  D )
43423exp2 1205 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  D  ->  ( y : I --> NN0  ->  ( y  oR  <_  F  ->  y  e.  D
) ) ) )
4443imp31 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  oR  <_  F  ->  y  e.  D
) )
4544pm4.71rd 635 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
y  oR  <_  F 
<->  ( y  e.  D  /\  y  oR 
<_  F ) ) )
4622, 41, 453bitrrd 280 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  y :
I --> NN0 )  ->  (
( y  e.  D  /\  y  oR 
<_  F )  <->  y  e.  X_ x  e.  I  ( 0 ... ( F `
 x ) ) ) )
4746ex 434 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( y : I --> NN0  ->  ( (
y  e.  D  /\  y  oR  <_  F
)  <->  y  e.  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) ) ) ) )
487, 17, 47pm5.21ndd 354 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( ( y  e.  D  /\  y  oR  <_  F )  <->  y  e.  X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
) ) )
4948abbi1dv 2565 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  |  ( y  e.  D  /\  y  oR  <_  F
) }  =  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) ) )
501, 49syl5eq 2487 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  =  X_ x  e.  I  (
0 ... ( F `  x ) ) )
51 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F  e.  D )
52 cnveq 5028 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
5352imaeq1d 5183 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' F " NN ) )
5453eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' F " NN )  e.  Fin ) )
5554, 2elrab2 3134 . . . . 5  |-  ( F  e.  D  <->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I
)  /\  ( `' F " NN )  e. 
Fin ) )
5651, 55sylib 196 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I )  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) )
5756simprd 463 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( `' F " NN )  e.  Fin )
58 fzfid 11810 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  I )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  e. 
Fin )
59 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  I  e.  V )
6059, 27jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( I  e.  V  /\  F : I --> NN0 )
)
61 frnnn0supp 10648 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F : I --> NN0 )  ->  ( F supp  0 )  =  ( `' F " NN ) )
62 eqimss 3423 . . . . . . . 8  |-  ( ( F supp  0 )  =  ( `' F " NN )  ->  ( F supp  0 )  C_  ( `' F " NN ) )
6360, 61, 623syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( F supp  0 ) 
C_  ( `' F " NN ) )
64 c0ex 9395 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
6564a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  0  e.  _V )
6627, 63, 59, 65suppssr 6735 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  ( F `  x )  =  0 )
6766oveq2d 6122 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  =  ( 0 ... 0
) )
68 0z 10672 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
69 fzsn 11515 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
7068, 69ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
7167, 70syl6eq 2491 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  =  { 0 } )
72 eqimss 3423 . . . 4  |-  ( ( 0 ... ( F `
 x ) )  =  { 0 }  ->  ( 0 ... ( F `  x
) )  C_  { 0 } )
7371, 72syl 16 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  ( I  \  ( `' F " NN ) ) )  ->  (
0 ... ( F `  x ) )  C_  { 0 } )
7457, 58, 73ixpfi2 7624 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  -> 
X_ x  e.  I 
( 0 ... ( F `  x )
)  e.  Fin )
7550, 74eqeltrd 2517 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2730   {crab 2734   _Vcvv 2987    \ cdif 3340    C_ wss 3343   {csn 3892   class class class wbr 4307   `'ccnv 4854   "cima 4858    Fn wfn 5428   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106    oRcofr 6334   supp csupp 6705    ^m cmap 7229   X_cixp 7278   Fincfn 7325   0cc0 9297    <_ cle 9434   NNcn 10337   NN0cn0 10594   ZZcz 10661   ZZ>=cuz 10876   ...cfz 11452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-ofr 6336  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-supp 6706  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-pm 7232  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-fz 11453
This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  17461  psrass1lem  17462  psrmulcllem  17473  psrass1  17493  psrdi  17494  psrdir  17495  psrcom  17496  psrass23  17497  resspsrmul  17504  mplsubrglem  17532  mplsubrglemOLD  17533  mplmonmul  17558  psropprmul  17708  psrass23l  30843
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