MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagf Structured version   Unicode version

Theorem psrbagf 17444
Description: A finite bag is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbagf  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
Distinct variable groups:    f, F    f, I
Allowed substitution hints:    D( f)    V( f)

Proof of Theorem psrbagf
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
21psrbag 17443 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  D  <->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
32simprbda 623 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2731   `'ccnv 4851   "cima 4855   -->wf 5426  (class class class)co 6103    ^m cmap 7226   Fincfn 7322   NNcn 10334   NN0cn0 10591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-map 7228  df-nn 10335  df-n0 10592
This theorem is referenced by:  psrbaglesupp  17447  psrbaglesuppOLD  17448  psrbaglefi  17453  psrbaglefiOLD  17454  psrbagconcl  17455  psrbagconf1o  17456  gsumbagdiaglem  17457  psrass1lem  17459  psrmulcllem  17470  psrlidm  17486  psrlidmOLD  17487  psrridm  17488  psrridmOLD  17489  psrass1  17490  psrcom  17493  mplsubrglem  17529  mplsubrglemOLD  17530  mplmonmul  17555  psrbagfsupp  17604  psrbagsuppfiOLD  17605  psrbagev1  17606  psrbagev1OLD  17607  evlslem3  17612  evlslem1  17613  psropprmul  17705  tdeglem1  21539  tdeglem3  21540  tdeglem4  21541  mdegmullem  21561
  Copyright terms: Public domain W3C validator