MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagf Structured version   Unicode version

Theorem psrbagf 17825
Description: A finite bag is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbagf  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
Distinct variable groups:    f, F    f, I
Allowed substitution hints:    D( f)    V( f)

Proof of Theorem psrbagf
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
21psrbag 17824 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  D  <->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
32simprbda 623 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5584  (class class class)co 6285    ^m cmap 7421   Fincfn 7517   NNcn 10537   NN0cn0 10796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-map 7423  df-nn 10538  df-n0 10797
This theorem is referenced by:  psrbaglesupp  17828  psrbaglesuppOLD  17829  psrbaglefi  17834  psrbaglefiOLD  17835  psrbagconcl  17836  psrbagconf1o  17837  gsumbagdiaglem  17838  psrass1lem  17840  psrmulcllem  17851  psrlidm  17867  psrlidmOLD  17868  psrridm  17869  psrridmOLD  17870  psrass1  17871  psrcom  17875  mplsubrglem  17911  mplsubrglemOLD  17912  mplmonmul  17937  psrbagfsupp  17986  psrbagsuppfiOLD  17987  psrbagev1  17988  psrbagev1OLD  17989  evlslem3  17994  evlslem1  17995  psropprmul  18090  tdeglem1  22283  tdeglem3  22284  tdeglem4  22285  mdegmullem  22305
  Copyright terms: Public domain W3C validator