MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagf Structured version   Unicode version

Theorem psrbagf 18517
Description: A finite bag is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbagf  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
Distinct variable groups:    f, F    f, I
Allowed substitution hints:    D( f)    V( f)

Proof of Theorem psrbagf
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
21psrbag 18516 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  D  <->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
32simprbda 627 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   {crab 2777   `'ccnv 4844   "cima 4848   -->wf 5588  (class class class)co 6296    ^m cmap 7471   Fincfn 7568   NNcn 10598   NN0cn0 10858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-map 7473  df-nn 10599  df-n0 10859
This theorem is referenced by:  psrbaglesupp  18520  psrbaglefi  18524  psrbagconcl  18525  psrbagconf1o  18526  gsumbagdiaglem  18527  psrass1lem  18529  psrmulcllem  18539  psrlidm  18555  psrridm  18556  psrass1  18557  psrcom  18561  mplsubrglem  18591  mplmonmul  18616  psrbagfsupp  18660  psrbagev1  18661  evlslem3  18665  evlslem1  18666  psropprmul  18759  tdeglem1  22881  tdeglem3  22882  tdeglem4  22883  mdegmullem  22901
  Copyright terms: Public domain W3C validator