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Theorem psrbagconf1o 17424
Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag  F. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
Assertion
Ref Expression
psrbagconf1o  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( x  e.  S  |->  ( F  oF  -  x ) ) : S -1-1-onto-> S )
Distinct variable groups:    x, f,
y, F    x, V, y    f, I, x, y   
x, S    x, D, y
Allowed substitution hints:    D( f)    S( y, f)    V( f)

Proof of Theorem psrbagconf1o
Dummy variables  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2  |-  ( x  e.  S  |->  ( F  oF  -  x
) )  =  ( x  e.  S  |->  ( F  oF  -  x ) )
2 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  I  e.  V )
3 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  F  e.  D )
4 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
5 breq1 4290 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
y  oR  <_  F 
<->  x  oR  <_  F ) )
6 psrbagconf1o.1 . . . . . . . 8  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
75, 6elrab2 3114 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  D  /\  x  oR  <_  F ) )
84, 7sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  D  /\  x  oR  <_  F
) )
98simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  D )
10 psrbag.d . . . . . 6  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
1110psrbagf 17412 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
122, 9, 11syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x : I --> NN0 )
138simprd 463 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  oR  <_  F )
1410psrbagcon 17420 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  x : I --> NN0  /\  x  oR  <_  F
) )  ->  (
( F  oF  -  x )  e.  D  /\  ( F  oF  -  x
)  oR  <_  F ) )
152, 3, 12, 13, 14syl13anc 1220 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( F  oF  -  x )  e.  D  /\  ( F  oF  -  x
)  oR  <_  F ) )
16 breq1 4290 . . . 4  |-  ( y  =  ( F  oF  -  x )  ->  ( y  oR  <_  F  <->  ( F  oF  -  x
)  oR  <_  F ) )
1716, 6elrab2 3114 . . 3  |-  ( ( F  oF  -  x )  e.  S  <->  ( ( F  oF  -  x )  e.  D  /\  ( F  oF  -  x
)  oR  <_  F ) )
1815, 17sylibr 212 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  ( F  oF  -  x
)  e.  S )
1918ralrimiva 2794 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  A. x  e.  S  ( F  oF  -  x )  e.  S
)
20 oveq2 6094 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( F  oF  -  x
)  =  ( F  oF  -  z
) )
2120eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( F  oF  -  x )  e.  S  <->  ( F  oF  -  z )  e.  S ) )
2221rspccva 3067 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  S  ( F  oF  -  x )  e.  S  /\  z  e.  S
)  ->  ( F  oF  -  z
)  e.  S )
2319, 22sylan 471 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  z  e.  S )  ->  ( F  oF  -  z
)  e.  S )
2410psrbagf 17412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
2524adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  F : I --> NN0 )
2625ffvelrnda 5838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  ( F `  n )  e.  NN0 )
27 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  I  e.  V )
28 ssrab2 3432 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  F }  C_  D
296, 28eqsstri 3381 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  D
30 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  S )
3129, 30sseldi 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  D )
3210psrbagf 17412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  D )  ->  z : I --> NN0 )
3327, 31, 32syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z : I --> NN0 )
3433ffvelrnda 5838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
z `  n )  e.  NN0 )
3512adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x : I --> NN0 )
3635ffvelrnda 5838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  e.  NN0 )
37 nn0cn 10581 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n )  e.  NN0  ->  ( F `
 n )  e.  CC )
38 nn0cn 10581 . . . . . . . 8  |-  ( ( z `  n )  e.  NN0  ->  ( z `
 n )  e.  CC )
39 nn0cn 10581 . . . . . . . 8  |-  ( ( x `  n )  e.  NN0  ->  ( x `
 n )  e.  CC )
40 subsub23 9607 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  CC  /\  ( z `  n
)  e.  CC  /\  ( x `  n
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  =  ( x `  n
)  <->  ( ( F `
 n )  -  ( x `  n
) )  =  ( z `  n ) ) )
4137, 38, 39, 40syl3an 1260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  NN0  /\  ( z `  n
)  e.  NN0  /\  ( x `  n
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F `
 n )  -  ( z `  n
) )  =  ( x `  n )  <-> 
( ( F `  n )  -  (
x `  n )
)  =  ( z `
 n ) ) )
4226, 34, 36, 41syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( F `  n )  -  (
z `  n )
)  =  ( x `
 n )  <->  ( ( F `  n )  -  ( x `  n ) )  =  ( z `  n
) ) )
43 eqcom 2440 . . . . . 6  |-  ( ( x `  n )  =  ( ( F `
 n )  -  ( z `  n
) )  <->  ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  =  ( x `  n
) )
44 eqcom 2440 . . . . . 6  |-  ( ( z `  n )  =  ( ( F `
 n )  -  ( x `  n
) )  <->  ( ( F `  n )  -  ( x `  n ) )  =  ( z `  n
) )
4542, 43, 443bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  <->  ( z `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )
46 ffn 5554 . . . . . . . 8  |-  ( F : I --> NN0  ->  F  Fn  I )
4725, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  F  Fn  I )
48 ffn 5554 . . . . . . . 8  |-  ( z : I --> NN0  ->  z  Fn  I )
4933, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  Fn  I )
50 inidm 3554 . . . . . . 7  |-  ( I  i^i  I )  =  I
51 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  n ) )
52 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
z `  n )  =  ( z `  n ) )
5347, 49, 27, 27, 50, 51, 52ofval 6324 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( F  oF  -  z ) `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( z `
 n ) ) )
5453eqeq2d 2449 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F  oF  -  z ) `  n
)  <->  ( x `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( z `
 n ) ) ) )
55 ffn 5554 . . . . . . . 8  |-  ( x : I --> NN0  ->  x  Fn  I )
5635, 55syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x  Fn  I )
57 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  =  ( x `  n ) )
5847, 56, 27, 27, 50, 51, 57ofval 6324 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( F  oF  -  x ) `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) )
5958eqeq2d 2449 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( z `  n
)  =  ( ( F  oF  -  x ) `  n
)  <->  ( z `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )
6045, 54, 593bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F  oF  -  z ) `  n
)  <->  ( z `  n )  =  ( ( F  oF  -  x ) `  n ) ) )
6160ralbidva 2726 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( A. n  e.  I  ( x `  n )  =  ( ( F  oF  -  z ) `  n )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  oF  -  x ) `  n ) ) )
6223adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  z )  e.  S )
6329, 62sseldi 3349 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  z )  e.  D )
6410psrbagf 17412 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  z )  e.  D )  ->  ( F  oF  -  z
) : I --> NN0 )
6527, 63, 64syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  z ) : I --> NN0 )
66 ffn 5554 . . . . 5  |-  ( ( F  oF  -  z ) : I --> NN0  ->  ( F  oF  -  z
)  Fn  I )
6765, 66syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  z )  Fn  I )
68 eqfnfv 5792 . . . 4  |-  ( ( x  Fn  I  /\  ( F  oF  -  z )  Fn  I )  ->  (
x  =  ( F  oF  -  z
)  <->  A. n  e.  I 
( x `  n
)  =  ( ( F  oF  -  z ) `  n
) ) )
6956, 67, 68syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x  =  ( F  oF  -  z )  <->  A. n  e.  I  ( x `  n )  =  ( ( F  oF  -  z ) `  n ) ) )
7018adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  x )  e.  S )
7129, 70sseldi 3349 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  x )  e.  D )
7210psrbagf 17412 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  x )  e.  D
)  ->  ( F  oF  -  x
) : I --> NN0 )
7327, 71, 72syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  x ) : I --> NN0 )
74 ffn 5554 . . . . 5  |-  ( ( F  oF  -  x ) : I --> NN0  ->  ( F  oF  -  x
)  Fn  I )
7573, 74syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  x )  Fn  I )
76 eqfnfv 5792 . . . 4  |-  ( ( z  Fn  I  /\  ( F  oF  -  x )  Fn  I
)  ->  ( z  =  ( F  oF  -  x )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  oF  -  x
) `  n )
) )
7749, 75, 76syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( z  =  ( F  oF  -  x )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  oF  -  x ) `  n ) ) )
7861, 69, 773bitr4d 285 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x  =  ( F  oF  -  z )  <->  z  =  ( F  oF  -  x ) ) )
791, 18, 23, 78f1o2d 6307 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( x  e.  S  |->  ( F  oF  -  x ) ) : S -1-1-onto-> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   {crab 2714   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   `'ccnv 4834   "cima 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313    oRcofr 6314    ^m cmap 7206   Fincfn 7302   CCcc 9272    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   NN0cn0 10571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572
This theorem is referenced by:  psrass1lem  17427  psrcom  17461  psropprmul  17673
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