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Theorem psrbagconf1o 16394
Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag  F. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
Assertion
Ref Expression
psrbagconf1o  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( x  e.  S  |->  ( F  o F  -  x ) ) : S -1-1-onto-> S )
Distinct variable groups:    x, f,
y, F    x, V, y    f, I, x, y   
x, S    x, D, y
Allowed substitution hints:    D( f)    S( y, f)    V( f)

Proof of Theorem psrbagconf1o
Dummy variables  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . 2  |-  ( x  e.  S  |->  ( F  o F  -  x
) )  =  ( x  e.  S  |->  ( F  o F  -  x ) )
2 simpll 731 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  I  e.  V )
3 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  F  e.  D )
4 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
5 breq1 4175 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
y  o R  <_  F 
<->  x  o R  <_  F ) )
6 psrbagconf1o.1 . . . . . . . 8  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
75, 6elrab2 3054 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  D  /\  x  o R  <_  F ) )
84, 7sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  D  /\  x  o R  <_  F
) )
98simpld 446 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  D )
10 psrbag.d . . . . . 6  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
1110psrbagf 16387 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
122, 9, 11syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x : I --> NN0 )
138simprd 450 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  o R  <_  F )
1410psrbagcon 16391 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  x : I --> NN0  /\  x  o R  <_  F
) )  ->  (
( F  o F  -  x )  e.  D  /\  ( F  o F  -  x
)  o R  <_  F ) )
152, 3, 12, 13, 14syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( F  o F  -  x )  e.  D  /\  ( F  o F  -  x
)  o R  <_  F ) )
16 breq1 4175 . . . 4  |-  ( y  =  ( F  o F  -  x )  ->  ( y  o R  <_  F  <->  ( F  o F  -  x
)  o R  <_  F ) )
1716, 6elrab2 3054 . . 3  |-  ( ( F  o F  -  x )  e.  S  <->  ( ( F  o F  -  x )  e.  D  /\  ( F  o F  -  x
)  o R  <_  F ) )
1815, 17sylibr 204 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  ( F  o F  -  x
)  e.  S )
1918ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  A. x  e.  S  ( F  o F  -  x )  e.  S
)
20 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( F  o F  -  x
)  =  ( F  o F  -  z
) )
2120eleq1d 2470 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( F  o F  -  x )  e.  S  <->  ( F  o F  -  z )  e.  S ) )
2221rspccva 3011 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  S  ( F  o F  -  x )  e.  S  /\  z  e.  S
)  ->  ( F  o F  -  z
)  e.  S )
2319, 22sylan 458 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  z  e.  S )  ->  ( F  o F  -  z
)  e.  S )
2410psrbagf 16387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
2524adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  F : I --> NN0 )
2625ffvelrnda 5829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  ( F `  n )  e.  NN0 )
27 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  I  e.  V )
28 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  C_  D
296, 28eqsstri 3338 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  D
30 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  S )
3129, 30sseldi 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  D )
3210psrbagf 16387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  D )  ->  z : I --> NN0 )
3327, 31, 32syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z : I --> NN0 )
3433ffvelrnda 5829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
z `  n )  e.  NN0 )
3512adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x : I --> NN0 )
3635ffvelrnda 5829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  e.  NN0 )
37 nn0cn 10187 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n )  e.  NN0  ->  ( F `
 n )  e.  CC )
38 nn0cn 10187 . . . . . . . 8  |-  ( ( z `  n )  e.  NN0  ->  ( z `
 n )  e.  CC )
39 nn0cn 10187 . . . . . . . 8  |-  ( ( x `  n )  e.  NN0  ->  ( x `
 n )  e.  CC )
40 subsub23 9266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  CC  /\  ( z `  n
)  e.  CC  /\  ( x `  n
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  =  ( x `  n
)  <->  ( ( F `
 n )  -  ( x `  n
) )  =  ( z `  n ) ) )
4137, 38, 39, 40syl3an 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  NN0  /\  ( z `  n
)  e.  NN0  /\  ( x `  n
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F `
 n )  -  ( z `  n
) )  =  ( x `  n )  <-> 
( ( F `  n )  -  (
x `  n )
)  =  ( z `
 n ) ) )
4226, 34, 36, 41syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( F `  n )  -  (
z `  n )
)  =  ( x `
 n )  <->  ( ( F `  n )  -  ( x `  n ) )  =  ( z `  n
) ) )
43 eqcom 2406 . . . . . 6  |-  ( ( x `  n )  =  ( ( F `
 n )  -  ( z `  n
) )  <->  ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  =  ( x `  n
) )
44 eqcom 2406 . . . . . 6  |-  ( ( z `  n )  =  ( ( F `
 n )  -  ( x `  n
) )  <->  ( ( F `  n )  -  ( x `  n ) )  =  ( z `  n
) )
4542, 43, 443bitr4g 280 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  <->  ( z `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )
46 ffn 5550 . . . . . . . 8  |-  ( F : I --> NN0  ->  F  Fn  I )
4725, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  F  Fn  I )
48 ffn 5550 . . . . . . . 8  |-  ( z : I --> NN0  ->  z  Fn  I )
4933, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  Fn  I )
50 inidm 3510 . . . . . . 7  |-  ( I  i^i  I )  =  I
51 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  n ) )
52 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
z `  n )  =  ( z `  n ) )
5347, 49, 27, 27, 50, 51, 52ofval 6273 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( F  o F  -  z ) `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( z `
 n ) ) )
5453eqeq2d 2415 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F  o F  -  z ) `  n
)  <->  ( x `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( z `
 n ) ) ) )
55 ffn 5550 . . . . . . . 8  |-  ( x : I --> NN0  ->  x  Fn  I )
5635, 55syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x  Fn  I )
57 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  =  ( x `  n ) )
5847, 56, 27, 27, 50, 51, 57ofval 6273 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( F  o F  -  x ) `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) )
5958eqeq2d 2415 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( z `  n
)  =  ( ( F  o F  -  x ) `  n
)  <->  ( z `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )
6045, 54, 593bitr4d 277 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F  o F  -  z ) `  n
)  <->  ( z `  n )  =  ( ( F  o F  -  x ) `  n ) ) )
6160ralbidva 2682 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( A. n  e.  I  ( x `  n )  =  ( ( F  o F  -  z ) `  n )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  o F  -  x ) `  n ) ) )
6223adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  z )  e.  S )
6329, 62sseldi 3306 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  z )  e.  D )
6410psrbagf 16387 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  z )  e.  D )  ->  ( F  o F  -  z
) : I --> NN0 )
6527, 63, 64syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  z ) : I --> NN0 )
66 ffn 5550 . . . . 5  |-  ( ( F  o F  -  z ) : I --> NN0  ->  ( F  o F  -  z
)  Fn  I )
6765, 66syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  z )  Fn  I )
68 eqfnfv 5786 . . . 4  |-  ( ( x  Fn  I  /\  ( F  o F  -  z )  Fn  I )  ->  (
x  =  ( F  o F  -  z
)  <->  A. n  e.  I 
( x `  n
)  =  ( ( F  o F  -  z ) `  n
) ) )
6956, 67, 68syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x  =  ( F  o F  -  z )  <->  A. n  e.  I  ( x `  n )  =  ( ( F  o F  -  z ) `  n ) ) )
7018adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  x )  e.  S )
7129, 70sseldi 3306 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  x )  e.  D )
7210psrbagf 16387 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  x )  e.  D
)  ->  ( F  o F  -  x
) : I --> NN0 )
7327, 71, 72syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  x ) : I --> NN0 )
74 ffn 5550 . . . . 5  |-  ( ( F  o F  -  x ) : I --> NN0  ->  ( F  o F  -  x
)  Fn  I )
7573, 74syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  o F  -  x )  Fn  I )
76 eqfnfv 5786 . . . 4  |-  ( ( z  Fn  I  /\  ( F  o F  -  x )  Fn  I
)  ->  ( z  =  ( F  o F  -  x )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  o F  -  x
) `  n )
) )
7749, 75, 76syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( z  =  ( F  o F  -  x )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  o F  -  x ) `  n ) ) )
7861, 69, 773bitr4d 277 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x  =  ( F  o F  -  z )  <->  z  =  ( F  o F  -  x ) ) )
791, 18, 23, 78f1o2d 6255 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( x  e.  S  |->  ( F  o F  -  x ) ) : S -1-1-onto-> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    o Rcofr 6263    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   CCcc 8944    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177
This theorem is referenced by:  psrass1lem  16397  psrcom  16427  psropprmul  16587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178
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