Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconf1o Structured version   Unicode version

Theorem psrbagconf1o 18346
 Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag . (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d
psrbagconf1o.1
Assertion
Ref Expression
psrbagconf1o
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()

Proof of Theorem psrbagconf1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . 2
2 simpll 752 . . . 4
3 simplr 754 . . . 4
4 simpr 459 . . . . . . 7
5 breq1 4398 . . . . . . . 8
6 psrbagconf1o.1 . . . . . . . 8
75, 6elrab2 3209 . . . . . . 7
84, 7sylib 196 . . . . . 6
98simpld 457 . . . . 5
10 psrbag.d . . . . . 6
1110psrbagf 18334 . . . . 5
122, 9, 11syl2anc 659 . . . 4
138simprd 461 . . . 4
1410psrbagcon 18342 . . . 4
152, 3, 12, 13, 14syl13anc 1232 . . 3
16 breq1 4398 . . . 4
1716, 6elrab2 3209 . . 3
1815, 17sylibr 212 . 2
1918ralrimiva 2818 . . 3
20 oveq2 6286 . . . . 5
2120eleq1d 2471 . . . 4
2221rspccva 3159 . . 3
2319, 22sylan 469 . 2
2410psrbagf 18334 . . . . . . . . 9
2524adantr 463 . . . . . . . 8
2625ffvelrnda 6009 . . . . . . 7
27 simpll 752 . . . . . . . . 9
28 ssrab2 3524 . . . . . . . . . . 11
296, 28eqsstri 3472 . . . . . . . . . 10
30 simprr 758 . . . . . . . . . 10
3129, 30sseldi 3440 . . . . . . . . 9
3210psrbagf 18334 . . . . . . . . 9
3327, 31, 32syl2anc 659 . . . . . . . 8
3433ffvelrnda 6009 . . . . . . 7
3512adantrr 715 . . . . . . . 8
3635ffvelrnda 6009 . . . . . . 7
37 nn0cn 10846 . . . . . . . 8
38 nn0cn 10846 . . . . . . . 8
39 nn0cn 10846 . . . . . . . 8
40 subsub23 9861 . . . . . . . 8
4137, 38, 39, 40syl3an 1272 . . . . . . 7
4226, 34, 36, 41syl3anc 1230 . . . . . 6
43 eqcom 2411 . . . . . 6
44 eqcom 2411 . . . . . 6
4542, 43, 443bitr4g 288 . . . . 5
46 ffn 5714 . . . . . . . 8
4725, 46syl 17 . . . . . . 7
48 ffn 5714 . . . . . . . 8
4933, 48syl 17 . . . . . . 7
50 inidm 3648 . . . . . . 7
51 eqidd 2403 . . . . . . 7
52 eqidd 2403 . . . . . . 7
5347, 49, 27, 27, 50, 51, 52ofval 6530 . . . . . 6
5453eqeq2d 2416 . . . . 5
55 ffn 5714 . . . . . . . 8
5635, 55syl 17 . . . . . . 7
57 eqidd 2403 . . . . . . 7
5847, 56, 27, 27, 50, 51, 57ofval 6530 . . . . . 6
5958eqeq2d 2416 . . . . 5
6045, 54, 593bitr4d 285 . . . 4
6160ralbidva 2840 . . 3
6223adantrl 714 . . . . . . 7
6329, 62sseldi 3440 . . . . . 6
6410psrbagf 18334 . . . . . 6
6527, 63, 64syl2anc 659 . . . . 5
66 ffn 5714 . . . . 5
6765, 66syl 17 . . . 4
68 eqfnfv 5959 . . . 4
6956, 67, 68syl2anc 659 . . 3
7018adantrr 715 . . . . . . 7
7129, 70sseldi 3440 . . . . . 6
7210psrbagf 18334 . . . . . 6
7327, 71, 72syl2anc 659 . . . . 5
74 ffn 5714 . . . . 5
7573, 74syl 17 . . . 4
76 eqfnfv 5959 . . . 4
7749, 75, 76syl2anc 659 . . 3
7861, 69, 773bitr4d 285 . 2
791, 18, 23, 78f1o2d 6508 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754  crab 2758   class class class wbr 4395   cmpt 4453  ccnv 4822  cima 4826   wfn 5564  wf 5565  wf1o 5568  cfv 5569  (class class class)co 6278   cof 6519   cofr 6520   cmap 7457  cfn 7554  cc 9520   cle 9659   cmin 9841  cn 10576  cn0 10836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6684  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837 This theorem is referenced by:  psrass1lem  18349  psrcom  18384  psropprmul  18599
 Copyright terms: Public domain W3C validator