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Theorem psrbagconf1o 17566
Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag  F. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
Assertion
Ref Expression
psrbagconf1o  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( x  e.  S  |->  ( F  oF  -  x ) ) : S -1-1-onto-> S )
Distinct variable groups:    x, f,
y, F    x, V, y    f, I, x, y   
x, S    x, D, y
Allowed substitution hints:    D( f)    S( y, f)    V( f)

Proof of Theorem psrbagconf1o
Dummy variables  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . 2  |-  ( x  e.  S  |->  ( F  oF  -  x
) )  =  ( x  e.  S  |->  ( F  oF  -  x ) )
2 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  I  e.  V )
3 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  F  e.  D )
4 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
5 breq1 4402 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
y  oR  <_  F 
<->  x  oR  <_  F ) )
6 psrbagconf1o.1 . . . . . . . 8  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
75, 6elrab2 3224 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  D  /\  x  oR  <_  F ) )
84, 7sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  D  /\  x  oR  <_  F
) )
98simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  D )
10 psrbag.d . . . . . 6  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
1110psrbagf 17554 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
122, 9, 11syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x : I --> NN0 )
138simprd 463 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  oR  <_  F )
1410psrbagcon 17562 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  x : I --> NN0  /\  x  oR  <_  F
) )  ->  (
( F  oF  -  x )  e.  D  /\  ( F  oF  -  x
)  oR  <_  F ) )
152, 3, 12, 13, 14syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( F  oF  -  x )  e.  D  /\  ( F  oF  -  x
)  oR  <_  F ) )
16 breq1 4402 . . . 4  |-  ( y  =  ( F  oF  -  x )  ->  ( y  oR  <_  F  <->  ( F  oF  -  x
)  oR  <_  F ) )
1716, 6elrab2 3224 . . 3  |-  ( ( F  oF  -  x )  e.  S  <->  ( ( F  oF  -  x )  e.  D  /\  ( F  oF  -  x
)  oR  <_  F ) )
1815, 17sylibr 212 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  ( F  oF  -  x
)  e.  S )
1918ralrimiva 2829 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  A. x  e.  S  ( F  oF  -  x )  e.  S
)
20 oveq2 6207 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( F  oF  -  x
)  =  ( F  oF  -  z
) )
2120eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( F  oF  -  x )  e.  S  <->  ( F  oF  -  z )  e.  S ) )
2221rspccva 3176 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  S  ( F  oF  -  x )  e.  S  /\  z  e.  S
)  ->  ( F  oF  -  z
)  e.  S )
2319, 22sylan 471 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  z  e.  S )  ->  ( F  oF  -  z
)  e.  S )
2410psrbagf 17554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
2524adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  F : I --> NN0 )
2625ffvelrnda 5951 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  ( F `  n )  e.  NN0 )
27 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  I  e.  V )
28 ssrab2 3544 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  F }  C_  D
296, 28eqsstri 3493 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  D
30 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  S )
3129, 30sseldi 3461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  D )
3210psrbagf 17554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  D )  ->  z : I --> NN0 )
3327, 31, 32syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z : I --> NN0 )
3433ffvelrnda 5951 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
z `  n )  e.  NN0 )
3512adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x : I --> NN0 )
3635ffvelrnda 5951 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  e.  NN0 )
37 nn0cn 10699 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n )  e.  NN0  ->  ( F `
 n )  e.  CC )
38 nn0cn 10699 . . . . . . . 8  |-  ( ( z `  n )  e.  NN0  ->  ( z `
 n )  e.  CC )
39 nn0cn 10699 . . . . . . . 8  |-  ( ( x `  n )  e.  NN0  ->  ( x `
 n )  e.  CC )
40 subsub23 9725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  CC  /\  ( z `  n
)  e.  CC  /\  ( x `  n
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  =  ( x `  n
)  <->  ( ( F `
 n )  -  ( x `  n
) )  =  ( z `  n ) ) )
4137, 38, 39, 40syl3an 1261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  NN0  /\  ( z `  n
)  e.  NN0  /\  ( x `  n
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F `
 n )  -  ( z `  n
) )  =  ( x `  n )  <-> 
( ( F `  n )  -  (
x `  n )
)  =  ( z `
 n ) ) )
4226, 34, 36, 41syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( F `  n )  -  (
z `  n )
)  =  ( x `
 n )  <->  ( ( F `  n )  -  ( x `  n ) )  =  ( z `  n
) ) )
43 eqcom 2463 . . . . . 6  |-  ( ( x `  n )  =  ( ( F `
 n )  -  ( z `  n
) )  <->  ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  =  ( x `  n
) )
44 eqcom 2463 . . . . . 6  |-  ( ( z `  n )  =  ( ( F `
 n )  -  ( x `  n
) )  <->  ( ( F `  n )  -  ( x `  n ) )  =  ( z `  n
) )
4542, 43, 443bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  <->  ( z `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )
46 ffn 5666 . . . . . . . 8  |-  ( F : I --> NN0  ->  F  Fn  I )
4725, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  F  Fn  I )
48 ffn 5666 . . . . . . . 8  |-  ( z : I --> NN0  ->  z  Fn  I )
4933, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  Fn  I )
50 inidm 3666 . . . . . . 7  |-  ( I  i^i  I )  =  I
51 eqidd 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  n ) )
52 eqidd 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
z `  n )  =  ( z `  n ) )
5347, 49, 27, 27, 50, 51, 52ofval 6438 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( F  oF  -  z ) `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( z `
 n ) ) )
5453eqeq2d 2468 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F  oF  -  z ) `  n
)  <->  ( x `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( z `
 n ) ) ) )
55 ffn 5666 . . . . . . . 8  |-  ( x : I --> NN0  ->  x  Fn  I )
5635, 55syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x  Fn  I )
57 eqidd 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  =  ( x `  n ) )
5847, 56, 27, 27, 50, 51, 57ofval 6438 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( F  oF  -  x ) `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) )
5958eqeq2d 2468 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( z `  n
)  =  ( ( F  oF  -  x ) `  n
)  <->  ( z `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )
6045, 54, 593bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F  oF  -  z ) `  n
)  <->  ( z `  n )  =  ( ( F  oF  -  x ) `  n ) ) )
6160ralbidva 2843 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( A. n  e.  I  ( x `  n )  =  ( ( F  oF  -  z ) `  n )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  oF  -  x ) `  n ) ) )
6223adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  z )  e.  S )
6329, 62sseldi 3461 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  z )  e.  D )
6410psrbagf 17554 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  z )  e.  D )  ->  ( F  oF  -  z
) : I --> NN0 )
6527, 63, 64syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  z ) : I --> NN0 )
66 ffn 5666 . . . . 5  |-  ( ( F  oF  -  z ) : I --> NN0  ->  ( F  oF  -  z
)  Fn  I )
6765, 66syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  z )  Fn  I )
68 eqfnfv 5905 . . . 4  |-  ( ( x  Fn  I  /\  ( F  oF  -  z )  Fn  I )  ->  (
x  =  ( F  oF  -  z
)  <->  A. n  e.  I 
( x `  n
)  =  ( ( F  oF  -  z ) `  n
) ) )
6956, 67, 68syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x  =  ( F  oF  -  z )  <->  A. n  e.  I  ( x `  n )  =  ( ( F  oF  -  z ) `  n ) ) )
7018adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  x )  e.  S )
7129, 70sseldi 3461 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  x )  e.  D )
7210psrbagf 17554 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  x )  e.  D
)  ->  ( F  oF  -  x
) : I --> NN0 )
7327, 71, 72syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  x ) : I --> NN0 )
74 ffn 5666 . . . . 5  |-  ( ( F  oF  -  x ) : I --> NN0  ->  ( F  oF  -  x
)  Fn  I )
7573, 74syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  x )  Fn  I )
76 eqfnfv 5905 . . . 4  |-  ( ( z  Fn  I  /\  ( F  oF  -  x )  Fn  I
)  ->  ( z  =  ( F  oF  -  x )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  oF  -  x
) `  n )
) )
7749, 75, 76syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( z  =  ( F  oF  -  x )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  oF  -  x ) `  n ) ) )
7861, 69, 773bitr4d 285 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x  =  ( F  oF  -  z )  <->  z  =  ( F  oF  -  x ) ) )
791, 18, 23, 78f1o2d 6421 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( x  e.  S  |->  ( F  oF  -  x ) ) : S -1-1-onto-> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   {crab 2802   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457   `'ccnv 4946   "cima 4950    Fn wfn 5520   -->wf 5521   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    oFcof 6427    oRcofr 6428    ^m cmap 7323   Fincfn 7419   CCcc 9390    <_ cle 9529    - cmin 9705   NNcn 10432   NN0cn0 10689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-ofr 6430  df-om 6586  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690
This theorem is referenced by:  psrass1lem  17569  psrcom  17604  psropprmul  17815
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