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Theorem psrbagconf1o 18346
Description: Bag complementation is a bijection on the set of bags dominated by a given bag  F. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
Assertion
Ref Expression
psrbagconf1o  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( x  e.  S  |->  ( F  oF  -  x ) ) : S -1-1-onto-> S )
Distinct variable groups:    x, f,
y, F    x, V, y    f, I, x, y   
x, S    x, D, y
Allowed substitution hints:    D( f)    S( y, f)    V( f)

Proof of Theorem psrbagconf1o
Dummy variables  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . 2  |-  ( x  e.  S  |->  ( F  oF  -  x
) )  =  ( x  e.  S  |->  ( F  oF  -  x ) )
2 simpll 752 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  I  e.  V )
3 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  F  e.  D )
4 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
5 breq1 4398 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
y  oR  <_  F 
<->  x  oR  <_  F ) )
6 psrbagconf1o.1 . . . . . . . 8  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
75, 6elrab2 3209 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  D  /\  x  oR  <_  F ) )
84, 7sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  D  /\  x  oR  <_  F
) )
98simpld 457 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  D )
10 psrbag.d . . . . . 6  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
1110psrbagf 18334 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  D )  ->  x : I --> NN0 )
122, 9, 11syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x : I --> NN0 )
138simprd 461 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  x  oR  <_  F )
1410psrbagcon 18342 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  x : I --> NN0  /\  x  oR  <_  F
) )  ->  (
( F  oF  -  x )  e.  D  /\  ( F  oF  -  x
)  oR  <_  F ) )
152, 3, 12, 13, 14syl13anc 1232 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( F  oF  -  x )  e.  D  /\  ( F  oF  -  x
)  oR  <_  F ) )
16 breq1 4398 . . . 4  |-  ( y  =  ( F  oF  -  x )  ->  ( y  oR  <_  F  <->  ( F  oF  -  x
)  oR  <_  F ) )
1716, 6elrab2 3209 . . 3  |-  ( ( F  oF  -  x )  e.  S  <->  ( ( F  oF  -  x )  e.  D  /\  ( F  oF  -  x
)  oR  <_  F ) )
1815, 17sylibr 212 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  x  e.  S )  ->  ( F  oF  -  x
)  e.  S )
1918ralrimiva 2818 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  A. x  e.  S  ( F  oF  -  x )  e.  S
)
20 oveq2 6286 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( F  oF  -  x
)  =  ( F  oF  -  z
) )
2120eleq1d 2471 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( F  oF  -  x )  e.  S  <->  ( F  oF  -  z )  e.  S ) )
2221rspccva 3159 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  S  ( F  oF  -  x )  e.  S  /\  z  e.  S
)  ->  ( F  oF  -  z
)  e.  S )
2319, 22sylan 469 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  z  e.  S )  ->  ( F  oF  -  z
)  e.  S )
2410psrbagf 18334 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
2524adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  F : I --> NN0 )
2625ffvelrnda 6009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  ( F `  n )  e.  NN0 )
27 simpll 752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  I  e.  V )
28 ssrab2 3524 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  F }  C_  D
296, 28eqsstri 3472 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  D
30 simprr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  S )
3129, 30sseldi 3440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  D )
3210psrbagf 18334 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  z  e.  D )  ->  z : I --> NN0 )
3327, 31, 32syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z : I --> NN0 )
3433ffvelrnda 6009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
z `  n )  e.  NN0 )
3512adantrr 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x : I --> NN0 )
3635ffvelrnda 6009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  e.  NN0 )
37 nn0cn 10846 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n )  e.  NN0  ->  ( F `
 n )  e.  CC )
38 nn0cn 10846 . . . . . . . 8  |-  ( ( z `  n )  e.  NN0  ->  ( z `
 n )  e.  CC )
39 nn0cn 10846 . . . . . . . 8  |-  ( ( x `  n )  e.  NN0  ->  ( x `
 n )  e.  CC )
40 subsub23 9861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  CC  /\  ( z `  n
)  e.  CC  /\  ( x `  n
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  =  ( x `  n
)  <->  ( ( F `
 n )  -  ( x `  n
) )  =  ( z `  n ) ) )
4137, 38, 39, 40syl3an 1272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  NN0  /\  ( z `  n
)  e.  NN0  /\  ( x `  n
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F `
 n )  -  ( z `  n
) )  =  ( x `  n )  <-> 
( ( F `  n )  -  (
x `  n )
)  =  ( z `
 n ) ) )
4226, 34, 36, 41syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( ( F `  n )  -  (
z `  n )
)  =  ( x `
 n )  <->  ( ( F `  n )  -  ( x `  n ) )  =  ( z `  n
) ) )
43 eqcom 2411 . . . . . 6  |-  ( ( x `  n )  =  ( ( F `
 n )  -  ( z `  n
) )  <->  ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  =  ( x `  n
) )
44 eqcom 2411 . . . . . 6  |-  ( ( z `  n )  =  ( ( F `
 n )  -  ( x `  n
) )  <->  ( ( F `  n )  -  ( x `  n ) )  =  ( z `  n
) )
4542, 43, 443bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F `  n )  -  ( z `  n ) )  <->  ( z `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )
46 ffn 5714 . . . . . . . 8  |-  ( F : I --> NN0  ->  F  Fn  I )
4725, 46syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  F  Fn  I )
48 ffn 5714 . . . . . . . 8  |-  ( z : I --> NN0  ->  z  Fn  I )
4933, 48syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  Fn  I )
50 inidm 3648 . . . . . . 7  |-  ( I  i^i  I )  =  I
51 eqidd 2403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  n ) )
52 eqidd 2403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
z `  n )  =  ( z `  n ) )
5347, 49, 27, 27, 50, 51, 52ofval 6530 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( F  oF  -  z ) `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( z `
 n ) ) )
5453eqeq2d 2416 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F  oF  -  z ) `  n
)  <->  ( x `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( z `
 n ) ) ) )
55 ffn 5714 . . . . . . . 8  |-  ( x : I --> NN0  ->  x  Fn  I )
5635, 55syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x  Fn  I )
57 eqidd 2403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
x `  n )  =  ( x `  n ) )
5847, 56, 27, 27, 50, 51, 57ofval 6530 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( F  oF  -  x ) `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) )
5958eqeq2d 2416 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( z `  n
)  =  ( ( F  oF  -  x ) `  n
)  <->  ( z `  n )  =  ( ( F `  n
)  -  ( x `
 n ) ) ) )
6045, 54, 593bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  /\  (
x  e.  S  /\  z  e.  S )
)  /\  n  e.  I )  ->  (
( x `  n
)  =  ( ( F  oF  -  z ) `  n
)  <->  ( z `  n )  =  ( ( F  oF  -  x ) `  n ) ) )
6160ralbidva 2840 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( A. n  e.  I  ( x `  n )  =  ( ( F  oF  -  z ) `  n )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  oF  -  x ) `  n ) ) )
6223adantrl 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  z )  e.  S )
6329, 62sseldi 3440 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  z )  e.  D )
6410psrbagf 18334 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  z )  e.  D )  ->  ( F  oF  -  z
) : I --> NN0 )
6527, 63, 64syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  z ) : I --> NN0 )
66 ffn 5714 . . . . 5  |-  ( ( F  oF  -  z ) : I --> NN0  ->  ( F  oF  -  z
)  Fn  I )
6765, 66syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  z )  Fn  I )
68 eqfnfv 5959 . . . 4  |-  ( ( x  Fn  I  /\  ( F  oF  -  z )  Fn  I )  ->  (
x  =  ( F  oF  -  z
)  <->  A. n  e.  I 
( x `  n
)  =  ( ( F  oF  -  z ) `  n
) ) )
6956, 67, 68syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x  =  ( F  oF  -  z )  <->  A. n  e.  I  ( x `  n )  =  ( ( F  oF  -  z ) `  n ) ) )
7018adantrr 715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  x )  e.  S )
7129, 70sseldi 3440 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  x )  e.  D )
7210psrbagf 18334 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  x )  e.  D
)  ->  ( F  oF  -  x
) : I --> NN0 )
7327, 71, 72syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  x ) : I --> NN0 )
74 ffn 5714 . . . . 5  |-  ( ( F  oF  -  x ) : I --> NN0  ->  ( F  oF  -  x
)  Fn  I )
7573, 74syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( F  oF  -  x )  Fn  I )
76 eqfnfv 5959 . . . 4  |-  ( ( z  Fn  I  /\  ( F  oF  -  x )  Fn  I
)  ->  ( z  =  ( F  oF  -  x )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  oF  -  x
) `  n )
) )
7749, 75, 76syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( z  =  ( F  oF  -  x )  <->  A. n  e.  I  ( z `  n )  =  ( ( F  oF  -  x ) `  n ) ) )
7861, 69, 773bitr4d 285 . 2  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D
)  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x  =  ( F  oF  -  z )  <->  z  =  ( F  oF  -  x ) ) )
791, 18, 23, 78f1o2d 6508 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( x  e.  S  |->  ( F  oF  -  x ) ) : S -1-1-onto-> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   {crab 2758   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   `'ccnv 4822   "cima 4826    Fn wfn 5564   -->wf 5565   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    oFcof 6519    oRcofr 6520    ^m cmap 7457   Fincfn 7554   CCcc 9520    <_ cle 9659    - cmin 9841   NNcn 10576   NN0cn0 10836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6684  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837
This theorem is referenced by:  psrass1lem  18349  psrcom  18384  psropprmul  18599
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