MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconcl Structured version   Unicode version

Theorem psrbagconcl 17789
Description: The complement of a bag is a bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
Assertion
Ref Expression
psrbagconcl  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( F  oF  -  X )  e.  S )
Distinct variable groups:    y, f, F    y, V    f, I,
y    y, D    f, X, y
Allowed substitution hints:    D( f)    S( y, f)    V( f)

Proof of Theorem psrbagconcl
StepHypRef Expression
1 simp1 991 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  I  e.  V )
2 simp2 992 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  F  e.  D )
3 simp3 993 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  S )
4 breq1 4443 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  (
y  oR  <_  F 
<->  X  oR  <_  F ) )
5 psrbagconf1o.1 . . . . . . 7  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
64, 5elrab2 3256 . . . . . 6  |-  ( X  e.  S  <->  ( X  e.  D  /\  X  oR  <_  F ) )
73, 6sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( X  e.  D  /\  X  oR 
<_  F ) )
87simpld 459 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  D )
9 psrbag.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
109psrbagf 17778 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
111, 8, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X : I --> NN0 )
127simprd 463 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X  oR  <_  F )
139psrbagcon 17786 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  X : I --> NN0  /\  X  oR  <_  F
) )  ->  (
( F  oF  -  X )  e.  D  /\  ( F  oF  -  X
)  oR  <_  F ) )
141, 2, 11, 12, 13syl13anc 1225 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( ( F  oF  -  X )  e.  D  /\  ( F  oF  -  X
)  oR  <_  F ) )
15 breq1 4443 . . 3  |-  ( y  =  ( F  oF  -  X )  ->  ( y  oR  <_  F  <->  ( F  oF  -  X
)  oR  <_  F ) )
1615, 5elrab2 3256 . 2  |-  ( ( F  oF  -  X )  e.  S  <->  ( ( F  oF  -  X )  e.  D  /\  ( F  oF  -  X
)  oR  <_  F ) )
1714, 16sylibr 212 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( F  oF  -  X )  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2811   class class class wbr 4440   `'ccnv 4991   "cima 4995   -->wf 5575  (class class class)co 6275    oFcof 6513    oRcofr 6514    ^m cmap 7410   Fincfn 7506    <_ cle 9618    - cmin 9794   NNcn 10525   NN0cn0 10784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785
This theorem is referenced by:  psrass1lem  17793  psrdi  17825  psrdir  17826  psrass23l  17827  psrcom  17828  psrass23  17829  resspsrmul  17836  mplsubrglem  17864  mplsubrglemOLD  17865  mplmonmul  17890  psropprmul  18043  mdegmullem  22206
  Copyright terms: Public domain W3C validator