MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconcl Structured version   Unicode version

Theorem psrbagconcl 17558
Description: The complement of a bag is a bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
Assertion
Ref Expression
psrbagconcl  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( F  oF  -  X )  e.  S )
Distinct variable groups:    y, f, F    y, V    f, I,
y    y, D    f, X, y
Allowed substitution hints:    D( f)    S( y, f)    V( f)

Proof of Theorem psrbagconcl
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  I  e.  V )
2 simp2 989 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  F  e.  D )
3 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  S )
4 breq1 4396 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  (
y  oR  <_  F 
<->  X  oR  <_  F ) )
5 psrbagconf1o.1 . . . . . . 7  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
64, 5elrab2 3219 . . . . . 6  |-  ( X  e.  S  <->  ( X  e.  D  /\  X  oR  <_  F ) )
73, 6sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( X  e.  D  /\  X  oR 
<_  F ) )
87simpld 459 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  D )
9 psrbag.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
109psrbagf 17547 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
111, 8, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X : I --> NN0 )
127simprd 463 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X  oR  <_  F )
139psrbagcon 17555 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  X : I --> NN0  /\  X  oR  <_  F
) )  ->  (
( F  oF  -  X )  e.  D  /\  ( F  oF  -  X
)  oR  <_  F ) )
141, 2, 11, 12, 13syl13anc 1221 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( ( F  oF  -  X )  e.  D  /\  ( F  oF  -  X
)  oR  <_  F ) )
15 breq1 4396 . . 3  |-  ( y  =  ( F  oF  -  X )  ->  ( y  oR  <_  F  <->  ( F  oF  -  X
)  oR  <_  F ) )
1615, 5elrab2 3219 . 2  |-  ( ( F  oF  -  X )  e.  S  <->  ( ( F  oF  -  X )  e.  D  /\  ( F  oF  -  X
)  oR  <_  F ) )
1714, 16sylibr 212 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( F  oF  -  X )  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799   class class class wbr 4393   `'ccnv 4940   "cima 4944   -->wf 5515  (class class class)co 6193    oFcof 6421    oRcofr 6422    ^m cmap 7317   Fincfn 7413    <_ cle 9523    - cmin 9699   NNcn 10426   NN0cn0 10683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-ofr 6424  df-om 6580  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684
This theorem is referenced by:  psrass1lem  17562  psrdi  17594  psrdir  17595  psrass23l  17596  psrcom  17597  psrass23  17598  resspsrmul  17605  mplsubrglem  17633  mplsubrglemOLD  17634  mplmonmul  17659  psropprmul  17809  mdegmullem  21675
  Copyright terms: Public domain W3C validator