MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagconcl Structured version   Unicode version

Theorem psrbagconcl 17420
Description: The complement of a bag is a bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
Assertion
Ref Expression
psrbagconcl  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( F  oF  -  X )  e.  S )
Distinct variable groups:    y, f, F    y, V    f, I,
y    y, D    f, X, y
Allowed substitution hints:    D( f)    S( y, f)    V( f)

Proof of Theorem psrbagconcl
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  I  e.  V )
2 simp2 989 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  F  e.  D )
3 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  S )
4 breq1 4290 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  (
y  oR  <_  F 
<->  X  oR  <_  F ) )
5 psrbagconf1o.1 . . . . . . 7  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
64, 5elrab2 3114 . . . . . 6  |-  ( X  e.  S  <->  ( X  e.  D  /\  X  oR  <_  F ) )
73, 6sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( X  e.  D  /\  X  oR 
<_  F ) )
87simpld 459 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  D )
9 psrbag.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
109psrbagf 17409 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
111, 8, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X : I --> NN0 )
127simprd 463 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  X  oR  <_  F )
139psrbagcon 17417 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  X : I --> NN0  /\  X  oR  <_  F
) )  ->  (
( F  oF  -  X )  e.  D  /\  ( F  oF  -  X
)  oR  <_  F ) )
141, 2, 11, 12, 13syl13anc 1220 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( ( F  oF  -  X )  e.  D  /\  ( F  oF  -  X
)  oR  <_  F ) )
15 breq1 4290 . . 3  |-  ( y  =  ( F  oF  -  X )  ->  ( y  oR  <_  F  <->  ( F  oF  -  X
)  oR  <_  F ) )
1615, 5elrab2 3114 . 2  |-  ( ( F  oF  -  X )  e.  S  <->  ( ( F  oF  -  X )  e.  D  /\  ( F  oF  -  X
)  oR  <_  F ) )
1714, 16sylibr 212 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  X  e.  S )  ->  ( F  oF  -  X )  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714   class class class wbr 4287   `'ccnv 4834   "cima 4838   -->wf 5409  (class class class)co 6086    oFcof 6313    oRcofr 6314    ^m cmap 7206   Fincfn 7302    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   NN0cn0 10571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572
This theorem is referenced by:  psrass1lem  17424  psrdi  17456  psrdir  17457  psrcom  17458  psrass23  17459  resspsrmul  17466  mplsubrglem  17494  mplsubrglemOLD  17495  mplmonmul  17520  psropprmul  17668  mdegmullem  21524  psrass23l  30763
  Copyright terms: Public domain W3C validator