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Theorem psrbagcon 17420
Description: The analogue of the statement " 0  <_  G  <_  F implies  0  <_  F  -  G  <_  F " for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbagcon  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  (
( F  oF  -  G )  e.  D  /\  ( F  oF  -  G
)  oR  <_  F ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, G    f, I
Allowed substitution hints:    D( f)    V( f)

Proof of Theorem psrbagcon
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  F  e.  D )
2 psrbag.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
32psrbag 17411 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  D  <->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
43adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  ( F  e.  D  <->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
51, 4mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) )
65simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  F : I --> NN0 )
7 ffn 5554 . . . . . 6  |-  ( F : I --> NN0  ->  F  Fn  I )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  F  Fn  I )
9 simpr2 995 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  G : I --> NN0 )
10 ffn 5554 . . . . . 6  |-  ( G : I --> NN0  ->  G  Fn  I )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  G  Fn  I )
12 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  I  e.  V )
13 inidm 3554 . . . . 5  |-  ( I  i^i  I )  =  I
148, 11, 12, 12, 13offn 6326 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  ( F  oF  -  G
)  Fn  I )
15 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
16 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
178, 11, 12, 12, 13, 15, 16ofval 6324 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( F  oF  -  G ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )
18 simpr3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  G  oR  <_  F )
1911, 8, 12, 12, 13, 16, 15ofrfval 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  ( G  oR  <_  F  <->  A. x  e.  I  ( G `  x )  <_  ( F `  x ) ) )
2018, 19mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  A. x  e.  I  ( G `  x )  <_  ( F `  x )
)
2120r19.21bi 2809 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  <_  ( F `  x
) )
229ffvelrnda 5838 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  NN0 )
236ffvelrnda 5838 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  NN0 )
24 nn0sub 10622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  NN0  /\  ( F `  x )  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  x )  <_  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) )  e.  NN0 ) )
2522, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( G `  x
)  <_  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) )  e. 
NN0 ) )
2621, 25mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
)  -  ( G `
 x ) )  e.  NN0 )
2717, 26eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( F  oF  -  G ) `  x )  e.  NN0 )
2827ralrimiva 2794 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  A. x  e.  I  ( ( F  oF  -  G
) `  x )  e.  NN0 )
29 ffnfv 5864 . . . 4  |-  ( ( F  oF  -  G ) : I --> NN0  <->  ( ( F  oF  -  G
)  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( ( F  oF  -  G ) `  x )  e.  NN0 ) )
3014, 28, 29sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  ( F  oF  -  G
) : I --> NN0 )
315simprd 463 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  ( `' F " NN )  e.  Fin )
3222nn0ge0d 10631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( G `  x
) )
33 nn0re 10580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  NN0  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
34 nn0re 10580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  x )  e.  NN0  ->  ( G `
 x )  e.  RR )
35 subge02 9847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  ( G `  x )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( G `  x )  <->  ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) )  <_  ( F `  x ) ) )
3633, 34, 35syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  NN0  /\  ( G `  x )  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( G `  x )  <->  ( ( F `  x
)  -  ( G `
 x ) )  <_  ( F `  x ) ) )
3723, 22, 36syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  (
0  <_  ( G `  x )  <->  ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) )  <_ 
( F `  x
) ) )
3832, 37mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
)  -  ( G `
 x ) )  <_  ( F `  x ) )
3938ralrimiva 2794 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  A. x  e.  I  ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) )  <_ 
( F `  x
) )
4014, 8, 12, 12, 13, 17, 15ofrfval 6323 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  (
( F  oF  -  G )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  I  ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) )  <_ 
( F `  x
) ) )
4139, 40mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  ( F  oF  -  G
)  oR  <_  F )
422psrbaglesupp 17415 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  ( F  oF  -  G ) : I --> NN0  /\  ( F  oF  -  G
)  oR  <_  F ) )  -> 
( `' ( F  oF  -  G
) " NN ) 
C_  ( `' F " NN ) )
4312, 1, 30, 41, 42syl13anc 1220 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  ( `' ( F  oF  -  G ) " NN )  C_  ( `' F " NN ) )
44 ssfi 7525 . . . 4  |-  ( ( ( `' F " NN )  e.  Fin  /\  ( `' ( F  oF  -  G
) " NN ) 
C_  ( `' F " NN ) )  -> 
( `' ( F  oF  -  G
) " NN )  e.  Fin )
4531, 43, 44syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  ( `' ( F  oF  -  G ) " NN )  e.  Fin )
462psrbag 17411 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
( F  oF  -  G )  e.  D  <->  ( ( F  oF  -  G
) : I --> NN0  /\  ( `' ( F  oF  -  G ) " NN )  e.  Fin ) ) )
4746adantr 465 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  (
( F  oF  -  G )  e.  D  <->  ( ( F  oF  -  G
) : I --> NN0  /\  ( `' ( F  oF  -  G ) " NN )  e.  Fin ) ) )
4830, 45, 47mpbir2and 913 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  ( F  oF  -  G
)  e.  D )
4948, 41jca 532 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  G : I --> NN0  /\  G  oR  <_  F
) )  ->  (
( F  oF  -  G )  e.  D  /\  ( F  oF  -  G
)  oR  <_  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   {crab 2714    C_ wss 3323   class class class wbr 4287   `'ccnv 4834   "cima 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313    oRcofr 6314    ^m cmap 7206   Fincfn 7302   RRcr 9273   0cc0 9274    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   NN0cn0 10571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572
This theorem is referenced by:  psrbagconcl  17423  psrbagconf1o  17424  gsumbagdiaglem  17425  psrmulcllem  17438  psrlidm  17454  psrlidmOLD  17455  psrridm  17456  psrridmOLD  17457  psrass1  17458  psrcom  17461
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