MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbag0 Structured version   Unicode version

Theorem psrbag0 17581
Description: The empty bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag0.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbag0  |-  ( I  e.  V  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  D
)
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    D( f)    V( f)

Proof of Theorem psrbag0
StepHypRef Expression
1 0nn0 10599 . . . 4  |-  0  e.  NN0
21fconst6 5605 . . 3  |-  ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0
3 c0ex 9385 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
43fconst 5601 . . . . 5  |-  ( I  X.  { 0 } ) : I --> { 0 }
5 incom 3548 . . . . . 6  |-  ( { 0 }  i^i  NN )  =  ( NN  i^i  { 0 } )
6 0nnn 10358 . . . . . . 7  |-  -.  0  e.  NN
7 disjsn 3941 . . . . . . 7  |-  ( ( NN  i^i  { 0 } )  =  (/)  <->  -.  0  e.  NN )
86, 7mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( NN 
i^i  { 0 } )  =  (/)
95, 8eqtri 2463 . . . . 5  |-  ( { 0 }  i^i  NN )  =  (/)
10 fimacnvdisj 5594 . . . . 5  |-  ( ( ( I  X.  {
0 } ) : I --> { 0 }  /\  ( { 0 }  i^i  NN )  =  (/) )  ->  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  =  (/) )
114, 9, 10mp2an 672 . . . 4  |-  ( `' ( I  X.  {
0 } ) " NN )  =  (/)
12 0fin 7545 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
1311, 12eqeltri 2513 . . 3  |-  ( `' ( I  X.  {
0 } ) " NN )  e.  Fin
142, 13pm3.2i 455 . 2  |-  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  {
0 } ) " NN )  e.  Fin )
15 psrbag0.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
1615psrbag 17436 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I  X.  {
0 } )  e.  D  <->  ( ( I  X.  { 0 } ) : I --> NN0  /\  ( `' ( I  X.  { 0 } )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
1714, 16mpbiri 233 1  |-  ( I  e.  V  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  D
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2724    i^i cin 3332   (/)c0 3642   {csn 3882    X. cxp 4843   `'ccnv 4844   "cima 4848   -->wf 5419  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   0cc0 9287   NNcn 10327   NN0cn0 10584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585
This theorem is referenced by:  mplascl  17583  subrgasclcl  17586  evlslem1  17606  tdeglem4  21534  mdegle0  21553
  Copyright terms: Public domain W3C validator