MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbag Structured version   Unicode version

Theorem psrbag 17431
Description: Elementhood in the set of finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbag  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  D  <->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, I
Allowed substitution hints:    D( f)    V( f)

Proof of Theorem psrbag
StepHypRef Expression
1 cnveq 5013 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
21imaeq1d 5168 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " NN )  =  ( `' F " NN ) )
32eleq1d 2509 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( `' f " NN )  e.  Fin  <->  ( `' F " NN )  e.  Fin ) )
4 psrbag.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
53, 4elrab2 3119 . 2  |-  ( F  e.  D  <->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I
)  /\  ( `' F " NN )  e. 
Fin ) )
6 nn0ex 10585 . . . 4  |-  NN0  e.  _V
7 elmapg 7227 . . . 4  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  I  e.  V )  ->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I )  <-> 
F : I --> NN0 )
)
86, 7mpan 670 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  ( NN0  ^m  I )  <->  F :
I --> NN0 ) )
98anbi1d 704 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
( F  e.  ( NN0  ^m  I )  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) 
<->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
105, 9syl5bb 257 1  |-  ( I  e.  V  ->  ( F  e.  D  <->  ( F : I --> NN0  /\  ( `' F " NN )  e.  Fin ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719   _Vcvv 2972   `'ccnv 4839   "cima 4843   -->wf 5414  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214   Fincfn 7310   NNcn 10322   NN0cn0 10579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-map 7216  df-nn 10323  df-n0 10580
This theorem is referenced by:  psrbagf  17432  snifpsrbag  17433  psrbaglecl  17437  psrbagaddcl  17438  psrbagaddclOLD  17439  psrbagcon  17440  psrbaglefi  17441  psrbaglefiOLD  17442  psrbasOLD  17449  psrlidmOLD  17475  psrridmOLD  17477  mvridlemOLD  17492  mplcoe3OLD  17546  mplcoe5lem  17547  mplcoe5  17548  mplcoe2OLD  17550  mplbas2  17551  mplbas2OLD  17552  psrbag0  17576  psrbagsn  17577  psrbagfsupp  17592  psrbagsuppfiOLD  17593  evlslem3  17600
  Copyright terms: Public domain W3C validator