MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrassa Structured version   Unicode version

Theorem psrassa 17486
Description: The ring of power series is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrcnrg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrcnrg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrcnrg.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
psrassa  |-  ( ph  ->  S  e. AssAlg )

Proof of Theorem psrassa
Dummy variables  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  S
)  =  ( Base `  S ) )
2 psrcnrg.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
3 psrcnrg.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
4 psrcnrg.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
52, 3, 4psrsca 17460 . 2  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  S ) )
6 eqidd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  R ) )
7 eqidd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( .s `  S
)  =  ( .s
`  S ) )
8 eqidd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( .r `  S
)  =  ( .r
`  S ) )
9 crngrng 16655 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
104, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
112, 3, 10psrlmod 17472 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  LMod )
122, 3, 10psrrng 17483 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
133adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  I  e.  V )
1410adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Ring )
15 eqid 2443 . . . 4  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
16 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
17 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
18 simpr2 995 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  S )
)
19 simpr3 996 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  S )
)
204adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  CRing
)
21 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
22 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .s
`  S )  =  ( .s `  S
)
23 simpr1 994 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
242, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23psrass23 17482 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( x ( .s
`  S ) y ) ( .r `  S ) z )  =  ( x ( .s `  S ) ( y ( .r
`  S ) z ) )  /\  (
y ( .r `  S ) ( x ( .s `  S
) z ) )  =  ( x ( .s `  S ) ( y ( .r
`  S ) z ) ) ) )
2524simpld 459 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) y ) ( .r `  S
) z )  =  ( x ( .s
`  S ) ( y ( .r `  S ) z ) ) )
2624simprd 463 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( .r `  S
) ( x ( .s `  S ) z ) )  =  ( x ( .s
`  S ) ( y ( .r `  S ) z ) ) )
271, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 4, 25, 26isassad 17394 1  |-  ( ph  ->  S  e. AssAlg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719   `'ccnv 4839   "cima 4843   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214   Fincfn 7310   NNcn 10322   NN0cn0 10579   Basecbs 14174   .rcmulr 14239   .scvsca 14242   Ringcrg 16645   CRingccrg 16646  AssAlgcasa 17381   mPwSer cmps 17418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-tset 14257  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-mulg 15548  df-ghm 15745  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-lmod 16950  df-assa 17384  df-psr 17423
This theorem is referenced by:  mplassa  17533  mplbas2  17551  mplbas2OLD  17552  opsrassa  17570  mplind  17584  evlseu  17602
  Copyright terms: Public domain W3C validator