MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrassa Structured version   Unicode version

Theorem psrassa 18196
Description: The ring of power series is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrcnrg.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrcnrg.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrcnrg.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
Assertion
Ref Expression
psrassa  |-  ( ph  ->  S  e. AssAlg )

Proof of Theorem psrassa
Dummy variables  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2458 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  S
)  =  ( Base `  S ) )
2 psrcnrg.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
3 psrcnrg.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
4 psrcnrg.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
52, 3, 4psrsca 18169 . 2  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  S ) )
6 eqidd 2458 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  R ) )
7 eqidd 2458 . 2  |-  ( ph  ->  ( .s `  S
)  =  ( .s
`  S ) )
8 eqidd 2458 . 2  |-  ( ph  ->  ( .r `  S
)  =  ( .r
`  S ) )
9 crngring 17336 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
104, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
112, 3, 10psrlmod 18181 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  LMod )
122, 3, 10psrring 18193 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
133adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  I  e.  V )
1410adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  Ring )
15 eqid 2457 . . . 4  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
16 eqid 2457 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
17 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
18 simpr2 1003 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  S )
)
19 simpr3 1004 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  S )
)
204adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  R  e.  CRing
)
21 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
22 eqid 2457 . . . 4  |-  ( .s
`  S )  =  ( .s `  S
)
23 simpr1 1002 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
242, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23psrass23 18192 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
( x ( .s
`  S ) y ) ( .r `  S ) z )  =  ( x ( .s `  S ) ( y ( .r
`  S ) z ) )  /\  (
y ( .r `  S ) ( x ( .s `  S
) z ) )  =  ( x ( .s `  S ) ( y ( .r
`  S ) z ) ) ) )
2524simpld 459 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  S ) y ) ( .r `  S
) z )  =  ( x ( .s
`  S ) ( y ( .r `  S ) z ) ) )
2624simprd 463 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  z  e.  ( Base `  S ) ) )  ->  ( y
( .r `  S
) ( x ( .s `  S ) z ) )  =  ( x ( .s
`  S ) ( y ( .r `  S ) z ) ) )
271, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 4, 25, 26isassad 18099 1  |-  ( ph  ->  S  e. AssAlg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   `'ccnv 5007   "cima 5011   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   NNcn 10556   NN0cn0 10816   Basecbs 14644   .rcmulr 14713   .scvsca 14716   Ringcrg 17325   CRingccrg 17326  AssAlgcasa 18085   mPwSer cmps 18127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-tset 14731  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-mulg 16187  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-lmod 17641  df-assa 18088  df-psr 18132
This theorem is referenced by:  mplassa  18243  mplbas2  18261  mplbas2OLD  18262  opsrassa  18280  mplind  18294  evlseu  18312
  Copyright terms: Public domain W3C validator