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Theorem psrass23l 30822
Description: TODO-AV: move to main part and merge with psrass23 17481! Associative identity for the ring of power series. Part of psrass23 17481 which does not require the scalar ring to be commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 14-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrass23l.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrass23l.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrass23l.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass23l.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass23l.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass23l.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass23l.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass23l.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrass23l.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
psrass23l.n  |-  .x.  =  ( .s `  S )
psrass23l.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
Assertion
Ref Expression
psrass23l  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( f)    D( f)    R( f)    S( f)    .x. ( f)    .X. ( f)    K( f)    V( f)    X( f)    Y( f)

Proof of Theorem psrass23l
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrass23l.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrass23l.n . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( .s `  S )
3 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4 psrass23l.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 psrass23l.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
7 psrass23l.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
87adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A  e.  K )
9 psrass23l.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( Base `  R
)
108, 9syl6eleq 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A  e.  ( Base `  R
) )
1110adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  A  e.  ( Base `  R ) )
12 psrass23l.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  X  e.  B )
14 ssrab2 3436 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  C_  D
15 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
1614, 15sseldi 3353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  D )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 16psrvscaval 17462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( A  .x.  X ) `  x
)  =  ( A ( .r `  R
) ( X `  x ) ) )
1817oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( A 
.x.  X ) `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( A ( .r `  R ) ( X `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) )
19 psrass23l.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
211, 3, 6, 4, 13psrelbas 17449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
2221, 16ffvelrnd 5843 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
23 psrass23l.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y  e.  B )
251, 3, 6, 4, 24psrelbas 17449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
26 psrass23l.i . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  V )
28 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
29 eqid 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
306, 29psrbagconcl 17442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
3127, 28, 15, 30syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )
3214, 31sseldi 3353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e.  D )
3325, 32ffvelrnd 5843 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Y `  (
k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
343, 5rngass 16660 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  ( Base `  R )  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( A ( .r `  R ) ( X `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) ) ) )
3520, 11, 22, 33, 34syl13anc 1220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( A ( .r `  R ) ( X `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) ) ) )
3618, 35eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( A 
.x.  X ) `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) ) ) )
3736mpteq2dva 4377 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( ( A  .x.  X ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
3837oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( ( A  .x.  X
) `  x )
( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( A ( .r `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
39 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
40 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4119adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
426psrbaglefi 17440 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin )
4326, 42sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  e.  Fin )
443, 5rngcl 16657 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
4520, 22, 33, 44syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
46 ovex 6115 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
476, 46rabex2 4444 . . . . . . . . 9  |-  D  e. 
_V
4847mptrabex 5948 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) )  e.  _V
49 funmpt 5453 . . . . . . . 8  |-  Fun  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) )
50 fvex 5700 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
5148, 49, 503pm3.2i 1166 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e. 
_V )
5251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e. 
_V ) )
53 suppssdm 6702 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  dom  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
54 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
5554dmmptss 5333 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
5653, 55sstri 3364 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  { y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }
5756a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
)
58 suppssfifsupp 7634 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e. 
_V )  /\  ( { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin  /\  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
) )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
5952, 43, 57, 58syl12anc 1216 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
603, 39, 40, 5, 41, 43, 10, 45, 59gsummulc2 16695 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( A ( .r `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
6138, 60eqtrd 2474 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( ( A  .x.  X
) `  x )
( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
6261mpteq2dva 4377 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( ( A  .x.  X
) `  x )
( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
63 psrass23l.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
641, 2, 9, 4, 19, 7, 12psrvscacl 17463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  B )
651, 4, 5, 63, 6, 64, 23psrmulfval 17455 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( ( A  .x.  X ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
661, 4, 63, 19, 12, 23psrmulcl 17458 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  e.  B )
671, 2, 9, 4, 5, 6, 7, 66psrvsca 17461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( ( D  X.  { A }
)  oF ( .r `  R ) ( X  .X.  Y
) ) )
6847a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
69 ovex 6115 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )  e.  _V
7069a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  e. 
_V )
71 fconstmpt 4881 . . . . 5  |-  ( D  X.  { A }
)  =  ( k  e.  D  |->  A )
7271a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  X.  { A } )  =  ( k  e.  D  |->  A ) )
731, 4, 5, 63, 6, 12, 23psrmulfval 17455 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
7468, 8, 70, 72, 73offval2 6335 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  { A } )  oF ( .r `  R ) ( X 
.X.  Y ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
7567, 74eqtrd 2474 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
7662, 65, 753eqtr4d 2484 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2718   _Vcvv 2971    C_ wss 3327   {csn 3876   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   "cima 4842   Fun wfun 5411   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    oFcof 6317    oRcofr 6318   supp csupp 6689    ^m cmap 7213   Fincfn 7309   finSupp cfsupp 7619    <_ cle 9418    - cmin 9594   NNcn 10321   NN0cn0 10578   Basecbs 14173   +g cplusg 14237   .rcmulr 14238   .scvsca 14241   0gc0g 14377    gsumg cgsu 14378   Ringcrg 16644   mPwSer cmps 17417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-oi 7723  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-seq 11806  df-hash 12103  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-tset 14256  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-mnd 15414  df-mhm 15463  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-ghm 15744  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-abl 16279  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-psr 17422
This theorem is referenced by:  ply1ass23l  30826
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