Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrass23l Structured version   Unicode version

Theorem psrass23l 18381
 Description: Associative identity for the ring of power series. Part of psrass23 18383 which does not require the scalar ring to be commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 14-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s mPwSer
psrring.i
psrring.r
psrass.d
psrass.t
psrass.b
psrass.x
psrass.y
psrass23l.k
psrass23l.n
psrass23l.a
Assertion
Ref Expression
psrass23l
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem psrass23l
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . . . . . . 9 mPwSer
2 psrass23l.n . . . . . . . . 9
3 eqid 2402 . . . . . . . . 9
4 psrass.b . . . . . . . . 9
5 eqid 2402 . . . . . . . . 9
6 psrass.d . . . . . . . . 9
7 psrass23l.a . . . . . . . . . . . 12
87adantr 463 . . . . . . . . . . 11
9 psrass23l.k . . . . . . . . . . 11
108, 9syl6eleq 2500 . . . . . . . . . 10
1110adantr 463 . . . . . . . . 9
12 psrass.x . . . . . . . . . 10
1312ad2antrr 724 . . . . . . . . 9
14 ssrab2 3523 . . . . . . . . . 10
15 simpr 459 . . . . . . . . . 10
1614, 15sseldi 3439 . . . . . . . . 9
171, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 16psrvscaval 18363 . . . . . . . 8
1817oveq1d 6292 . . . . . . 7
19 psrring.r . . . . . . . . 9
2019ad2antrr 724 . . . . . . . 8
211, 3, 6, 4, 13psrelbas 18350 . . . . . . . . 9
2221, 16ffvelrnd 6009 . . . . . . . 8
23 psrass.y . . . . . . . . . . 11
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10
251, 3, 6, 4, 24psrelbas 18350 . . . . . . . . 9
26 psrring.i . . . . . . . . . . . 12
2726ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11
28 simplr 754 . . . . . . . . . . 11
29 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12
306, 29psrbagconcl 18343 . . . . . . . . . . 11
3127, 28, 15, 30syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10
3214, 31sseldi 3439 . . . . . . . . 9
3325, 32ffvelrnd 6009 . . . . . . . 8
343, 5ringass 17533 . . . . . . . 8
3520, 11, 22, 33, 34syl13anc 1232 . . . . . . 7
3618, 35eqtrd 2443 . . . . . 6
3736mpteq2dva 4480 . . . . 5
3837oveq2d 6293 . . . 4 g g
39 eqid 2402 . . . . 5
40 eqid 2402 . . . . 5
4119adantr 463 . . . . 5
426psrbaglefi 18341 . . . . . 6
4326, 42sylan 469 . . . . 5
443, 5ringcl 17530 . . . . . 6
4520, 22, 33, 44syl3anc 1230 . . . . 5
46 ovex 6305 . . . . . . . . . 10
476, 46rabex2 4546 . . . . . . . . 9
4847mptrabex 6124 . . . . . . . 8
49 funmpt 5604 . . . . . . . 8
50 fvex 5858 . . . . . . . 8
5148, 49, 503pm3.2i 1175 . . . . . . 7
5251a1i 11 . . . . . 6
53 suppssdm 6914 . . . . . . . 8 supp
54 eqid 2402 . . . . . . . . 9
5554dmmptss 5318 . . . . . . . 8
5653, 55sstri 3450 . . . . . . 7 supp
5756a1i 11 . . . . . 6 supp
58 suppssfifsupp 7877 . . . . . 6 supp finSupp
5952, 43, 57, 58syl12anc 1228 . . . . 5 finSupp
603, 39, 40, 5, 41, 43, 10, 45, 59gsummulc2 17571 . . . 4 g g
6138, 60eqtrd 2443 . . 3 g g
6261mpteq2dva 4480 . 2 g g
63 psrass.t . . 3
641, 2, 9, 4, 19, 7, 12psrvscacl 18364 . . 3
651, 4, 5, 63, 6, 64, 23psrmulfval 18356 . 2 g
661, 4, 63, 19, 12, 23psrmulcl 18359 . . . 4
671, 2, 9, 4, 5, 6, 7, 66psrvsca 18362 . . 3
6847a1i 11 . . . 4
69 ovex 6305 . . . . 5 g
7069a1i 11 . . . 4 g
71 fconstmpt 4866 . . . . 5
7271a1i 11 . . . 4
731, 4, 5, 63, 6, 12, 23psrmulfval 18356 . . . 4 g
7468, 8, 70, 72, 73offval2 6537 . . 3 g
7567, 74eqtrd 2443 . 2 g
7662, 65, 753eqtr4d 2453 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  crab 2757  cvv 3058   wss 3413  csn 3971   class class class wbr 4394   cmpt 4452   cxp 4820  ccnv 4821   cdm 4822  cima 4825   wfun 5562  cfv 5568  (class class class)co 6277   cof 6518   cofr 6519   supp csupp 6901   cmap 7456  cfn 7553   finSupp cfsupp 7862   cle 9658   cmin 9840  cn 10575  cn0 10835  cbs 14839   cplusg 14907  cmulr 14908  cvsca 14911  c0g 15052   g cgsu 15053  crg 17516   mPwSer cmps 18318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-tset 14926  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-ghm 16587  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-psr 18323 This theorem is referenced by:  psrass23  18383  ply1ass23l  38474
 Copyright terms: Public domain W3C validator