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Theorem psrass23l 17829
Description: Associative identity for the ring of power series. Part of psrass23 17831 which does not require the scalar ring to be commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 14-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrass23l.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
psrass23l.n  |-  .x.  =  ( .s `  S )
psrass23l.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
Assertion
Ref Expression
psrass23l  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( f)    D( f)    S( f)    .x. ( f)    .X. ( f)    K( f)    V( f)

Proof of Theorem psrass23l
Dummy variables  x  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrass23l.n . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( .s `  S )
3 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
4 psrass.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 psrass.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
7 psrass23l.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
87adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A  e.  K )
9 psrass23l.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( Base `  R
)
108, 9syl6eleq 2560 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A  e.  ( Base `  R
) )
1110adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  A  e.  ( Base `  R ) )
12 psrass.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  X  e.  B )
14 ssrab2 3580 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  C_  D
15 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
1614, 15sseldi 3497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  D )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 16psrvscaval 17811 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( A  .x.  X ) `  x
)  =  ( A ( .r `  R
) ( X `  x ) ) )
1817oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( A 
.x.  X ) `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( A ( .r `  R ) ( X `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) )
19 psrrng.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
211, 3, 6, 4, 13psrelbas 17798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
2221, 16ffvelrnd 6015 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
23 psrass.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y  e.  B )
251, 3, 6, 4, 24psrelbas 17798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
26 psrrng.i . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  V )
28 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
29 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
306, 29psrbagconcl 17791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
3127, 28, 15, 30syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )
3214, 31sseldi 3497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e.  D )
3325, 32ffvelrnd 6015 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Y `  (
k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
343, 5rngass 16997 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( A  e.  ( Base `  R )  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( A ( .r `  R ) ( X `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) ) ) )
3520, 11, 22, 33, 34syl13anc 1225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( A ( .r `  R ) ( X `  x
) ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) ) ) )
3618, 35eqtrd 2503 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( ( A 
.x.  X ) `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) ) ) )
3736mpteq2dva 4528 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( ( A  .x.  X ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( A ( .r
`  R ) ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
3837oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( ( A  .x.  X
) `  x )
( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( A ( .r `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
39 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
40 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4119adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
426psrbaglefi 17789 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin )
4326, 42sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  e.  Fin )
443, 5rngcl 16994 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
4520, 22, 33, 44syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
46 ovex 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
476, 46rabex2 4595 . . . . . . . . 9  |-  D  e. 
_V
4847mptrabex 6125 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) )  e.  _V
49 funmpt 5617 . . . . . . . 8  |-  Fun  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) )
50 fvex 5869 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
5148, 49, 503pm3.2i 1169 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e. 
_V )
5251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e. 
_V ) )
53 suppssdm 6906 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  dom  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
54 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
5554dmmptss 5496 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
5653, 55sstri 3508 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  { y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }
5756a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
)
58 suppssfifsupp 7835 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e. 
_V )  /\  ( { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin  /\  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
) )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
5952, 43, 57, 58syl12anc 1221 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
603, 39, 40, 5, 41, 43, 10, 45, 59gsummulc2 17032 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( A ( .r `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
6138, 60eqtrd 2503 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( ( A  .x.  X
) `  x )
( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( A ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
6261mpteq2dva 4528 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( ( A  .x.  X
) `  x )
( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
63 psrass.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
641, 2, 9, 4, 19, 7, 12psrvscacl 17812 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  B )
651, 4, 5, 63, 6, 64, 23psrmulfval 17804 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( ( A  .x.  X ) `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
661, 4, 63, 19, 12, 23psrmulcl 17807 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  e.  B )
671, 2, 9, 4, 5, 6, 7, 66psrvsca 17810 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( ( D  X.  { A }
)  oF ( .r `  R ) ( X  .X.  Y
) ) )
6847a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
69 ovex 6302 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )  e.  _V
7069a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  e. 
_V )
71 fconstmpt 5037 . . . . 5  |-  ( D  X.  { A }
)  =  ( k  e.  D  |->  A )
7271a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  X.  { A } )  =  ( k  e.  D  |->  A ) )
731, 4, 5, 63, 6, 12, 23psrmulfval 17804 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
7468, 8, 70, 72, 73offval2 6533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  { A } )  oF ( .r `  R ) ( X 
.X.  Y ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
7567, 74eqtrd 2503 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( A ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
7662, 65, 753eqtr4d 2513 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( A 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2813   _Vcvv 3108    C_ wss 3471   {csn 4022   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500    X. cxp 4992   `'ccnv 4993   dom cdm 4994   "cima 4997   Fun wfun 5575   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    oFcof 6515    oRcofr 6516   supp csupp 6893    ^m cmap 7412   Fincfn 7508   finSupp cfsupp 7820    <_ cle 9620    - cmin 9796   NNcn 10527   NN0cn0 10786   Basecbs 14481   +g cplusg 14546   .rcmulr 14547   .scvsca 14550   0gc0g 14686    gsumg cgsu 14687   Ringcrg 16981   mPwSer cmps 17766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-ofr 6518  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-hash 12363  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-tset 14565  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-mnd 15723  df-mhm 15772  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-ghm 16055  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-psr 17771
This theorem is referenced by:  psrass23  17831  ply1ass23l  31932
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