Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrass23 Structured version   Unicode version

Theorem psrass23 18192
 Description: Associative identities for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s mPwSer
psrring.i
psrring.r
psrass.d
psrass.t
psrass.b
psrass.x
psrass.y
psrcom.c
psrass.k
psrass.n
psrass.a
Assertion
Ref Expression
psrass23
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem psrass23
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . 3 mPwSer
2 psrring.i . . 3
3 psrring.r . . 3
4 psrass.d . . 3
5 psrass.t . . 3
6 psrass.b . . 3
7 psrass.x . . 3
8 psrass.y . . 3
9 psrass.k . . 3
10 psrass.n . . 3
11 psrass.a . . 3
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11psrass23l 18190 . 2
13 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
14 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
1511adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
1615, 9syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . 11
1716adantr 465 . . . . . . . . . 10
188ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
19 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . 11
202ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
21 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
23 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13
244, 23psrbagconcl 18152 . . . . . . . . . . . 12
2520, 21, 22, 24syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
2619, 25sseldi 3497 . . . . . . . . . 10
271, 10, 13, 6, 14, 4, 17, 18, 26psrvscaval 18172 . . . . . . . . 9
2827oveq2d 6312 . . . . . . . 8
297ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
301, 13, 4, 6, 29psrelbas 18159 . . . . . . . . . 10
3119, 22sseldi 3497 . . . . . . . . . 10
3230, 31ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9
331, 13, 4, 6, 18psrelbas 18159 . . . . . . . . . 10
3433, 26ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9
35 psrcom.c . . . . . . . . . . 11
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
3713, 14crngcom 17340 . . . . . . . . . . 11
38373expb 1197 . . . . . . . . . 10
3936, 38sylan 471 . . . . . . . . 9
403ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
4113, 14ringass 17342 . . . . . . . . . 10
4240, 41sylan 471 . . . . . . . . 9
4332, 17, 34, 39, 42caov12d 6495 . . . . . . . 8
4428, 43eqtrd 2498 . . . . . . 7
4544mpteq2dva 4543 . . . . . 6
4645oveq2d 6312 . . . . 5 g g
47 eqid 2457 . . . . . 6
48 eqid 2457 . . . . . 6
493adantr 465 . . . . . 6
504psrbaglefi 18150 . . . . . . 7
512, 50sylan 471 . . . . . 6
5213, 14ringcl 17339 . . . . . . 7
5340, 32, 34, 52syl3anc 1228 . . . . . 6
54 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
554, 54rabex2 4609 . . . . . . . . . 10
5655mptrabex 6145 . . . . . . . . 9
57 funmpt 5630 . . . . . . . . 9
58 fvex 5882 . . . . . . . . 9
5956, 57, 583pm3.2i 1174 . . . . . . . 8
6059a1i 11 . . . . . . 7
61 suppssdm 6930 . . . . . . . . 9 supp
62 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
6362dmmptss 5509 . . . . . . . . 9
6461, 63sstri 3508 . . . . . . . 8 supp
6564a1i 11 . . . . . . 7 supp
66 suppssfifsupp 7862 . . . . . . 7 supp finSupp
6760, 51, 65, 66syl12anc 1226 . . . . . 6 finSupp
6813, 47, 48, 14, 49, 51, 16, 53, 67gsummulc2 17380 . . . . 5 g g
6946, 68eqtrd 2498 . . . 4 g g
7069mpteq2dva 4543 . . 3 g g
711, 10, 9, 6, 3, 11, 8psrvscacl 18173 . . . 4
721, 6, 14, 5, 4, 7, 71psrmulfval 18165 . . 3 g
731, 6, 5, 3, 7, 8psrmulcl 18168 . . . . 5
741, 10, 9, 6, 14, 4, 11, 73psrvsca 18171 . . . 4
7555a1i 11 . . . . 5
76 ovex 6324 . . . . . 6 g
7776a1i 11 . . . . 5 g
78 fconstmpt 5052 . . . . . 6
7978a1i 11 . . . . 5
801, 6, 14, 5, 4, 7, 8psrmulfval 18165 . . . . 5 g
8175, 15, 77, 79, 80offval2 6555 . . . 4 g
8274, 81eqtrd 2498 . . 3 g
8370, 72, 823eqtr4d 2508 . 2
8412, 83jca 532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  crab 2811  cvv 3109   wss 3471  csn 4032   class class class wbr 4456   cmpt 4515   cxp 5006  ccnv 5007   cdm 5008  cima 5011   wfun 5588  cfv 5594  (class class class)co 6296   cof 6537   cofr 6538   supp csupp 6917   cmap 7438  cfn 7535   finSupp cfsupp 7847   cle 9646   cmin 9824  cn 10556  cn0 10816  cbs 14644   cplusg 14712  cmulr 14713  cvsca 14716  c0g 14857   g cgsu 14858  crg 17325  ccrg 17326   mPwSer cmps 18127 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-tset 14731  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-psr 18132 This theorem is referenced by:  psrassa  18196
 Copyright terms: Public domain W3C validator