Theorem psrass1lem 18613

Description: A group sum commutation used by psrass1 18641. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbagconf1o.1	|- S = { y e. D | y oR <_ F }
gsumbagdiag.i	|- ( ph -> I e. V )
gsumbagdiag.f	|- ( ph -> F e. D )
gsumbagdiag.b	|- B = ( Base ` G )
gsumbagdiag.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumbagdiag.x	|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> X e. B )
psrass1lem.y	|- ( k = ( n oF - j ) -> X = Y )

Assertion

Ref	Expression
psrass1lem	|- ( ph -> ( G gsumg ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, j, k, n, x, y, F   f, G, j, k, n, x, y   n, V, x, y   f, I, n, x, y   ph, j, k   S, j, k, n, x   B, j, k   D, j, k, n, x, y   f, X, n, x, y   f, Y, k, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, f, n)   B( x, y, f, n)   D( f)   S( y, f)   I( j, k)   V( f, j, k)   X( j, k)   Y( j, n)

Proof of Theorem psrass1lem

Dummy variables m z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
2		psrbagconf1o.1	. . . 4 |- S = { y e. D | y oR <_ F }
3		gsumbagdiag.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. V )
4		gsumbagdiag.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. D )
5		gsumbagdiag.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
6		gsumbagdiag.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. CMnd )
7	1, 2, 3, 4	gsumbagdiaglem 18611	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) )
8		gsumbagdiag.x	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> X e. B )
9	8	anassrs 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> X e. B )
10		eqid 2453	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) = ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X )
11	9, 10	fmptd 6051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
12	3	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> I e. V )
13		ssrab2 3516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. D | y oR <_ F } C_ D
14	2, 13	eqsstri 3464	. . . . . . . . . . . . 13 |- S C_ D
15	4	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> F e. D )
16		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> j e. S )
17	1, 2	psrbagconcl 18609	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. S )
18	12, 15, 16, 17	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. S )
19	14, 18	sseldi 3432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. D )
20		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } = { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) }
21	1, 20	psrbagconf1o 18610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ ( F oF - j ) e. D ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -1-1-onto-> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
22	12, 19, 21	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -1-1-onto-> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
23		f1of 5819	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -1-1-onto-> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
25		fco 5744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B /\ ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
26	11, 24, 25	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
27	12	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> I e. V )
28	15	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> F e. D )
29	1	psrbagf 18601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> F : I --> NN0 )
30	27, 28, 29	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> F : I --> NN0 )
31	30	ffvelrnda 6027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) e. NN0 )
32	16	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j e. S )
33	14, 32	sseldi 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j e. D )
34	1	psrbagf 18601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. V /\ j e. D ) -> j : I --> NN0 )
35	27, 33, 34	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j : I --> NN0 )
36	35	ffvelrnda 6027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( j ` z ) e. NN0 )
37		ssrab2 3516	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } C_ D
38		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
39	37, 38	sseldi 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m e. D )
40	1	psrbagf 18601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. V /\ m e. D ) -> m : I --> NN0 )
41	27, 39, 40	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m : I --> NN0 )
42	41	ffvelrnda 6027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( m ` z ) e. NN0 )
43		nn0cn 10886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` z ) e. NN0 -> ( F ` z ) e. CC )
44		nn0cn 10886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j ` z ) e. NN0 -> ( j ` z ) e. CC )
45		nn0cn 10886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m ` z ) e. NN0 -> ( m ` z ) e. CC )
46		sub32 9913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( j ` z ) e. CC /\ ( m ` z ) e. CC ) -> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) )
47	43, 44, 45, 46	syl3an 1311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` z ) e. NN0 /\ ( j ` z ) e. NN0 /\ ( m ` z ) e. NN0 ) -> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) )
48	31, 36, 42, 47	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) )
49	48	mpteq2dva 4492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) ) )
50		ovex 6323	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) e. _V
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) e. _V )
52	30	feqmptd 5923	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> F = ( z e. I |-> ( F ` z ) ) )
53	35	feqmptd 5923	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j = ( z e. I |-> ( j ` z ) ) )
54	27, 31, 36, 52, 53	offval2 6553	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( F oF - j ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) ) )
55	41	feqmptd 5923	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m = ( z e. I |-> ( m ` z ) ) )
56	27, 51, 42, 54, 55	offval2 6553	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) = ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) ) )
57		ovex 6323	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) e. _V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) e. _V )
59	27, 31, 42, 52, 55	offval2 6553	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( F oF - m ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) ) )
60	27, 58, 36, 59, 53	offval2 6553	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - m ) oF - j ) = ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) ) )
61	49, 56, 60	3eqtr4d 2497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) = ( ( F oF - m ) oF - j ) )
62	19	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( F oF - j ) e. D )
63	1, 20	psrbagconcl 18609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. V /\ ( F oF - j ) e. D /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
64	27, 62, 38, 63	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
65	61, 64	eqeltrrd 2532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - m ) oF - j ) e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
66	61	mpteq2dva 4492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) = ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - m ) oF - j ) ) )
67		nfcv 2594	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n X
68		nfcsb1v 3381	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ n / k ]_ X
69		csbeq1a 3374	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> X = [_ n / k ]_ X )
70	67, 68, 69	cbvmpt 4497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) = ( n e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ n / k ]_ X )
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) = ( n e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ n / k ]_ X ) )
72		csbeq1 3368	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( ( F oF - m ) oF - j ) -> [_ n / k ]_ X = [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
73	65, 66, 71, 72	fmptco 6061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) = ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) )
74	73	feq1d 5719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B <-> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B ) )
75	26, 74	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
76		eqid 2453	. . . . . . . . 9 |- ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) = ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
77	76	fmpt 6048	. . . . . . . 8 |- ( A. m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B <-> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
78	75, 77	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> A. m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
79	78	r19.21bi 2759	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
80	79	anasss 653	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
81	7, 80	syldan 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
82	1, 2, 3, 4, 5, 6, 81	gsumbagdiag 18612	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( m e. S , j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) = ( G gsumg ( j e. S , m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
83		eqid 2453	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
84	1	psrbaglefi 18608	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin )
85	3, 4, 84	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin )
86	2, 85	syl5eqel 2535	. . . 4 |- ( ph -> S e. Fin )
87	3	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> I e. V )
88	4	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> F e. D )
89		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> m e. S )
90	1, 2	psrbagconcl 18609	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ m e. S ) -> ( F oF - m ) e. S )
91	87, 88, 89, 90	syl3anc 1269	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( F oF - m ) e. S )
92	14, 91	sseldi 3432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( F oF - m ) e. D )
93	1	psrbaglefi 18608	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( F oF - m ) e. D ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. Fin )
94	87, 92, 93	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. Fin )
95		xpfi 7847	. . . . 5 |- ( ( S e. Fin /\ S e. Fin ) -> ( S X. S ) e. Fin )
96	86, 86, 95	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ph -> ( S X. S ) e. Fin )
97		simprl 765	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> m e. S )
98	7	simpld 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> j e. S )
99		brxp 4868	. . . . . . 7 |- ( m ( S X. S ) j <-> ( m e. S /\ j e. S ) )
100	97, 98, 99	sylanbrc 671	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> m ( S X. S ) j )
101	100	pm2.24d 138	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> ( -. m ( S X. S ) j -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) ) )
102	101	impr 625	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) /\ -. m ( S X. S ) j ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) )
103	5, 83, 6, 86, 94, 81, 96, 102	gsum2d2 17618	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( m e. S , j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) = ( G gsumg ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
104	1	psrbaglefi 18608	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( F oF - j ) e. D ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. Fin )
105	12, 19, 104	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. Fin )
106		simprl 765	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> j e. S )
107	1, 2, 3, 4	gsumbagdiaglem 18611	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) )
108	107	simpld 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> m e. S )
109		brxp 4868	. . . . . . 7 |- ( j ( S X. S ) m <-> ( j e. S /\ m e. S ) )
110	106, 108, 109	sylanbrc 671	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> j ( S X. S ) m )
111	110	pm2.24d 138	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( -. j ( S X. S ) m -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) ) )
112	111	impr 625	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ -. j ( S X. S ) m ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) )
113	5, 83, 6, 86, 105, 80, 96, 112	gsum2d2 17618	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. S , m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
114	82, 103, 113	3eqtr3d 2495	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
115	6	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> G e. CMnd )
116	81	anassrs 654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. S ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
117		eqid 2453	. . . . . . . . 9 |- ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) = ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
118	116, 117	fmptd 6051	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } --> B )
119		ovex 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
120	1, 119	rabex2 4559	. . . . . . . . . . 11 |- D e. _V
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> D e. _V )
122		rabexg 4556	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. _V -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. _V )
123		mptexg 6140	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. _V -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) e. _V )
124	121, 122, 123	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) e. _V )
125		funmpt 5621	. . . . . . . . . 10 |- Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
126	125	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) )
127		fvex 5880	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) e. _V
128	127	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
129		suppssdm 6932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ dom ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
130	117	dmmptss 5334	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) }
131	129, 130	sstri 3443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) }
132	131	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } )
133		suppssfifsupp 7903	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) /\ ( 0g ` G ) e. _V ) /\ ( { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. Fin /\ ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) finSupp ( 0g ` G ) )
134	124, 126, 128, 94, 132, 133	syl32anc 1277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) finSupp ( 0g ` G ) )
135	5, 83, 115, 94, 118, 134	gsumcl 17561	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) e. B )
136		eqid 2453	. . . . . . 7 |- ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) = ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
137	135, 136	fmptd 6051	. . . . . 6 |- ( ph -> ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) : S --> B )
138	1, 2	psrbagconf1o 18610	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S )
139	3, 4, 138	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S )
140		f1ocnv 5831	. . . . . . 7 |- ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S -> `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S )
141		f1of 5819	. . . . . . 7 |- ( `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S -> `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S --> S )
142	139, 140, 141	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ph -> `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S --> S )
143		fco 5744	. . . . . 6 |- ( ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) : S --> B /\ `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S --> S ) -> ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) : S --> B )
144	137, 142, 143	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) : S --> B )
145		coass 5357	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) )
146		f1ococnv2 5845	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S -> ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( _I |` S ) )
147	139, 146	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( _I |` S ) )
148	147	coeq2d 5000	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) )
149	145, 148	syl5eq 2499	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) )
150		eqidd 2454	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) = ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) )
151		eqidd 2454	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
152		breq2 4409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( F oF - m ) -> ( x oR <_ n <-> x oR <_ ( F oF - m ) ) )
153	152	rabbidv 3038	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( F oF - m ) -> { x e. D | x oR <_ n } = { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } )
154		ovex 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n oF - j ) e. _V
155		psrass1lem.y	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n oF - j ) -> X = Y )
156	154, 155	csbie 3391	. . . . . . . . . . . 12 |- [_ ( n oF - j ) / k ]_ X = Y
157		oveq1 6302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( F oF - m ) -> ( n oF - j ) = ( ( F oF - m ) oF - j ) )
158	157	csbeq1d 3372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( F oF - m ) -> [_ ( n oF - j ) / k ]_ X = [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
159	156, 158	syl5eqr 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( F oF - m ) -> Y = [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
160	153, 159	mpteq12dv 4484	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( F oF - m ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) = ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) )
161	160	oveq2d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( F oF - m ) -> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) = ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
162	91, 150, 151, 161	fmptco 6061	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) )
163	162	coeq1d 4999	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) )
164		coires1 5356	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |` S )
165		ssid 3453	. . . . . . . . . 10 |- S C_ S
166		resmpt 5157	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ S -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |` S ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
167	165, 166	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |` S ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) )
168	164, 167	eqtri 2475	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) )
169	168	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
170	149, 163, 169	3eqtr3d 2495	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
171	170	feq1d 5719	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) : S --> B <-> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) : S --> B ) )
172	144, 171	mpbid 214	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) : S --> B )
173		rabexg 4556	. . . . . . . 8 |- ( D e. _V -> { y e. D | y oR <_ F } e. _V )
174	120, 173	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ph -> { y e. D | y oR <_ F } e. _V )
175	2, 174	syl5eqel 2535	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. _V )
176		mptexg 6140	. . . . . 6 |- ( S e. _V -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) e. _V )
177	175, 176	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) e. _V )
178		funmpt 5621	. . . . . 6 |- Fun ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) )
179	178	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> Fun ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
180	127	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0g ` G ) e. _V )
181		suppssdm 6932	. . . . . . 7 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ dom ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) )
182		eqid 2453	. . . . . . . 8 |- ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) )
183	182	dmmptss 5334	. . . . . . 7 |- dom ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) C_ S
184	181, 183	sstri 3443	. . . . . 6 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ S
185	184	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ S )
186		suppssfifsupp 7903	. . . . 5 |- ( ( ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) e. _V /\ Fun ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) /\ ( 0g ` G ) e. _V ) /\ ( S e. Fin /\ ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ S ) ) -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) finSupp ( 0g ` G ) )
187	177, 179, 180, 86, 185, 186	syl32anc 1277	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) finSupp ( 0g ` G ) )
188	5, 83, 6, 86, 172, 187, 139	gsumf1o 17562	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) ) )
189	162	oveq2d 6311	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) ) = ( G gsumg ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
190	188, 189	eqtrd 2487	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
191	6	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> G e. CMnd )
192	120	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> D e. _V )
193		rabexg 4556	. . . . . . . 8 |- ( D e. _V -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. _V )
194		mptexg 6140	. . . . . . . 8 |- ( { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. _V -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) e. _V )
195	192, 193, 194	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) e. _V )
196		funmpt 5621	. . . . . . . 8 |- Fun ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X )
197	196	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> Fun ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) )
198	127	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
199		suppssdm 6932	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ dom ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X )
200	10	dmmptss 5334	. . . . . . . . 9 |- dom ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) }
201	199, 200	sstri 3443	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) }
202	201	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
203		suppssfifsupp 7903	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) e. _V /\ Fun ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) /\ ( 0g ` G ) e. _V ) /\ ( { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. Fin /\ ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) finSupp ( 0g ` G ) )
204	195, 197, 198, 105, 202, 203	syl32anc 1277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) finSupp ( 0g ` G ) )
205	5, 83, 191, 105, 11, 204, 22	gsumf1o 17562	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) = ( G gsumg ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) ) )
206	73	oveq2d 6311	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( G gsumg ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) ) = ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
207	205, 206	eqtrd 2487	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) = ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
208	207	mpteq2dva 4492	. . 3 |- ( ph -> ( j e. S |-> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) = ( j e. S |-> ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) )
209	208	oveq2d 6311	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
210	114, 190, 209	3eqtr4d 2497	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   {crab 2743   _Vcvv 3047   [_csb 3365   C_ wss 3406   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   _I cid 4747   X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   |` cres 4839   "cima 4840   o. ccom 4841   Fun wfun 5579   -->wf 5581   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   |-> cmpt2 6297   oFcof 6534   oRcofr 6535   supp csupp 6919   ^m cmap 7477   Fincfn 7574   finSupp cfsupp 7888   CCcc 9542   <_ cle 9681   - cmin 9865   NNcn 10616   NN0cn0 10876   Basecbs 15133   0gc0g 15350   gsum_g cgsu 15351  CMndccmn 17442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444

This theorem is referenced by:  psrass1  18641