Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrass1lem Structured version   Unicode version

Theorem psrass1lem 17800
 Description: A group sum commutation used by psrass1 17831. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d
psrbagconf1o.1
gsumbagdiag.i
gsumbagdiag.f
gsumbagdiag.b
gsumbagdiag.g CMnd
gsumbagdiag.x
psrass1lem.y
Assertion
Ref Expression
psrass1lem g g g g
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,   ,,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   ()   (,)   (,)   (,,)   (,)   (,)

Proof of Theorem psrass1lem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . . 4
2 psrbagconf1o.1 . . . 4
3 gsumbagdiag.i . . . 4
4 gsumbagdiag.f . . . 4
5 gsumbagdiag.b . . . 4
6 gsumbagdiag.g . . . 4 CMnd
71, 2, 3, 4gsumbagdiaglem 17798 . . . . 5
8 gsumbagdiag.x . . . . . . . . . . . 12
98anassrs 648 . . . . . . . . . . 11
10 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
119, 10fmptd 6043 . . . . . . . . . 10
123adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
13 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . . 14
142, 13eqsstri 3534 . . . . . . . . . . . . 13
154adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
171, 2psrbagconcl 17796 . . . . . . . . . . . . . 14
1812, 15, 16, 17syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13
1914, 18sseldi 3502 . . . . . . . . . . . 12
20 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13
211, 20psrbagconf1o 17797 . . . . . . . . . . . 12
2212, 19, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
23 f1of 5814 . . . . . . . . . . 11
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10
25 fco 5739 . . . . . . . . . 10
2611, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . 9
2712adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2815adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
291psrbagf 17785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3130ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . . . . 15
3216adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3314, 32sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
341psrbagf 17785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3527, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3937, 38sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
401psrbagf 17785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4127, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . . . . 15
43 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . 16
44 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . 16
45 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . 16
46 sub32 9849 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4743, 44, 45, 46syl3an 1270 . . . . . . . . . . . . . . 15
4831, 36, 42, 47syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14
4948mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . . . 13
50 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
5230feqmptd 5918 . . . . . . . . . . . . . . 15
5335feqmptd 5918 . . . . . . . . . . . . . . 15
5427, 31, 36, 52, 53offval2 6538 . . . . . . . . . . . . . 14
5541feqmptd 5918 . . . . . . . . . . . . . 14
5627, 51, 42, 54, 55offval2 6538 . . . . . . . . . . . . 13
57 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
5927, 31, 42, 52, 55offval2 6538 . . . . . . . . . . . . . 14
6027, 58, 36, 59, 53offval2 6538 . . . . . . . . . . . . 13
6149, 56, 603eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . 12
6219adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
631, 20psrbagconcl 17796 . . . . . . . . . . . . 13
6427, 62, 38, 63syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
6561, 64eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . 11
6661mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . 11
67 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13
68 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . 13
69 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . 13
7067, 68, 69cbvmpt 4537 . . . . . . . . . . . 12
7170a1i 11 . . . . . . . . . . 11
72 csbeq1 3438 . . . . . . . . . . 11
7365, 66, 71, 72fmptco 6052 . . . . . . . . . 10
7473feq1d 5715 . . . . . . . . 9
7526, 74mpbid 210 . . . . . . . 8
76 eqid 2467 . . . . . . . . 9
7776fmpt 6040 . . . . . . . 8
7875, 77sylibr 212 . . . . . . 7
7978r19.21bi 2833 . . . . . 6
8079anasss 647 . . . . 5
817, 80syldan 470 . . . 4
821, 2, 3, 4, 5, 6, 81gsumbagdiag 17799 . . 3 g g
83 eqid 2467 . . . 4
841psrbaglefi 17794 . . . . . 6
853, 4, 84syl2anc 661 . . . . 5
862, 85syl5eqel 2559 . . . 4
873adantr 465 . . . . 5
884adantr 465 . . . . . . 7
89 simpr 461 . . . . . . 7
901, 2psrbagconcl 17796 . . . . . . 7
9187, 88, 89, 90syl3anc 1228 . . . . . 6
9214, 91sseldi 3502 . . . . 5
931psrbaglefi 17794 . . . . 5
9487, 92, 93syl2anc 661 . . . 4
95 xpfi 7787 . . . . 5
9686, 86, 95syl2anc 661 . . . 4
97 simprl 755 . . . . . . 7
987simpld 459 . . . . . . 7
99 brxp 5029 . . . . . . 7
10097, 98, 99sylanbrc 664 . . . . . 6
101100pm2.24d 143 . . . . 5
102101impr 619 . . . 4
1035, 83, 6, 86, 94, 81, 96, 102gsum2d2 16793 . . 3 g g g
1041psrbaglefi 17794 . . . . 5
10512, 19, 104syl2anc 661 . . . 4
106 simprl 755 . . . . . . 7
1071, 2, 3, 4gsumbagdiaglem 17798 . . . . . . . 8
108107simpld 459 . . . . . . 7
109 brxp 5029 . . . . . . 7
110106, 108, 109sylanbrc 664 . . . . . 6
111110pm2.24d 143 . . . . 5
112111impr 619 . . . 4
1135, 83, 6, 86, 105, 80, 96, 112gsum2d2 16793 . . 3 g g g
11482, 103, 1133eqtr3d 2516 . 2 g g g g
1156adantr 465 . . . . . . . 8 CMnd
11681anassrs 648 . . . . . . . . 9
117 eqid 2467 . . . . . . . . 9
118116, 117fmptd 6043 . . . . . . . 8
119 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . 13
120119rabex 4598 . . . . . . . . . . . 12
1211, 120eqeltri 2551 . . . . . . . . . . 11
122121a1i 11 . . . . . . . . . 10
123 rabexg 4597 . . . . . . . . . 10
124 mptexg 6128 . . . . . . . . . 10
125122, 123, 1243syl 20 . . . . . . . . 9
126 funmpt 5622 . . . . . . . . . 10
127126a1i 11 . . . . . . . . 9
128 fvex 5874 . . . . . . . . . 10
129128a1i 11 . . . . . . . . 9
130 suppssdm 6911 . . . . . . . . . . 11 supp
131117dmmptss 5501 . . . . . . . . . . 11
132130, 131sstri 3513 . . . . . . . . . 10 supp
133132a1i 11 . . . . . . . . 9 supp
134 suppssfifsupp 7840 . . . . . . . . 9 supp finSupp
135125, 127, 129, 94, 133, 134syl32anc 1236 . . . . . . . 8 finSupp
1365, 83, 115, 94, 118, 135gsumcl 16714 . . . . . . 7 g
137 eqid 2467 . . . . . . 7 g g
138136, 137fmptd 6043 . . . . . 6 g
1391, 2psrbagconf1o 17797 . . . . . . . 8
1403, 4, 139syl2anc 661 . . . . . . 7
141 f1ocnv 5826 . . . . . . 7
142 f1of 5814 . . . . . . 7
143140, 141, 1423syl 20 . . . . . 6
144 fco 5739 . . . . . 6 g g
145138, 143, 144syl2anc 661 . . . . 5 g
146 coass 5524 . . . . . . . 8 g g
147 f1ococnv2 5840 . . . . . . . . . 10
148140, 147syl 16 . . . . . . . . 9
149148coeq2d 5163 . . . . . . . 8 g g
150146, 149syl5eq 2520 . . . . . . 7 g g
151 eqidd 2468 . . . . . . . . 9
152 eqidd 2468 . . . . . . . . 9 g g
153 breq2 4451 . . . . . . . . . . . 12
154153rabbidv 3105 . . . . . . . . . . 11
155 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . 13
156 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13
157 psrass1lem.y . . . . . . . . . . . . 13
158155, 156, 157csbief 3460 . . . . . . . . . . . 12
159 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . 13
160159csbeq1d 3442 . . . . . . . . . . . 12
161158, 160syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . 11
162154, 161mpteq12dv 4525 . . . . . . . . . 10
163162oveq2d 6298 . . . . . . . . 9 g g
16491, 151, 152, 163fmptco 6052 . . . . . . . 8 g g
165164coeq1d 5162 . . . . . . 7 g g
166 coires1 5523 . . . . . . . . 9 g g
167 ssid 3523 . . . . . . . . . 10
168 resmpt 5321 . . . . . . . . . 10 g g
169167, 168ax-mp 5 . . . . . . . . 9 g g
170166, 169eqtri 2496 . . . . . . . 8 g g
171170a1i 11 . . . . . . 7 g g
172150, 165, 1713eqtr3d 2516 . . . . . 6 g g
173172feq1d 5715 . . . . 5 g g
174145, 173mpbid 210 . . . 4 g
175 rabexg 4597 . . . . . . . 8
176121, 175mp1i 12 . . . . . . 7
1772, 176syl5eqel 2559 . . . . . 6
178 mptexg 6128 . . . . . 6 g
179177, 178syl 16 . . . . 5 g
180 funmpt 5622 . . . . . 6 g
181180a1i 11 . . . . 5 g
182128a1i 11 . . . . 5
183 suppssdm 6911 . . . . . . 7 g supp g
184 eqid 2467 . . . . . . . 8 g g
185184dmmptss 5501 . . . . . . 7 g
186183, 185sstri 3513 . . . . . 6 g supp
187186a1i 11 . . . . 5 g supp
188 suppssfifsupp 7840 . . . . 5 g g g supp g finSupp
189179, 181, 182, 86, 187, 188syl32anc 1236 . . . 4 g finSupp
1905, 83, 6, 86, 174, 189, 140gsumf1o 16715 . . 3 g g g g
191164oveq2d 6298 . . 3 g g g g
192190, 191eqtrd 2508 . 2 g g g g
1936adantr 465 . . . . . 6 CMnd
194121a1i 11 . . . . . . . 8
195 rabexg 4597 . . . . . . . 8
196 mptexg 6128 . . . . . . . 8
197194, 195, 1963syl 20 . . . . . . 7
198 funmpt 5622 . . . . . . . 8
199198a1i 11 . . . . . . 7
200128a1i 11 . . . . . . 7
201 suppssdm 6911 . . . . . . . . 9 supp
20210dmmptss 5501 . . . . . . . . 9
203201, 202sstri 3513 . . . . . . . 8 supp
204203a1i 11 . . . . . . 7 supp
205 suppssfifsupp 7840 . . . . . . 7 supp finSupp
206197, 199, 200, 105, 204, 205syl32anc 1236 . . . . . 6 finSupp
2075, 83, 193, 105, 11, 206, 22gsumf1o 16715 . . . . 5 g g
20873oveq2d 6298 . . . . 5 g g
209207, 208eqtrd 2508 . . . 4 g g
210209mpteq2dva 4533 . . 3 g g
211210oveq2d 6298 . 2 g g g g
212114, 192, 2113eqtr4d 2518 1 g g g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  crab 2818  cvv 3113  csb 3435   wss 3476   class class class wbr 4447   cmpt 4505   cid 4790   cxp 4997  ccnv 4998   cdm 4999   cres 5001  cima 5002   ccom 5003   wfun 5580  wf 5582  wf1o 5585  cfv 5586  (class class class)co 6282   cmpt2 6284   cof 6520   cofr 6521   supp csupp 6898   cmap 7417  cfn 7513   finSupp cfsupp 7825  cc 9486   cle 9625   cmin 9801  cn 10532  cn0 10791  cbs 14486  c0g 14691   g cgsu 14692  CMndccmn 16594 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596 This theorem is referenced by:  psrass1  17831
 Copyright terms: Public domain W3C validator