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Theorem psrass1lem 16397
Description: A group sum commutation used by psrass1 16424. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
gsumbagdiag.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumbagdiag.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
gsumbagdiag.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumbagdiag.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumbagdiag.x  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
psrass1lem.y  |-  ( k  =  ( n  o F  -  j )  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
psrass1lem  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, j,
k, n, x, y, F    f, G, j, k, n, x, y   
n, V, x, y   
f, I, n, x, y    ph, j, k    S, j, k, n, x    B, j, k    D, j, k, n, x, y    f, X, n, x, y    f, Y, k, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f, n)    B( x, y, f, n)    D( f)    S( y, f)    I( j, k)    V( f, j, k)    X( j, k)    Y( j, n)

Proof of Theorem psrass1lem
Dummy variables  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
2 psrbagconf1o.1 . . . 4  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }
3 gsumbagdiag.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
4 gsumbagdiag.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
5 gsumbagdiag.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 gsumbagdiag.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
71, 2, 3, 4gsumbagdiaglem 16395 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  (
j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } ) )
8 gsumbagdiag.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
98anassrs 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  X  e.  B )
10 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )  =  ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X )
119, 10fmptd 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B )
123adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  I  e.  V )
13 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  C_  D
142, 13eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  C_  D
154adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  F  e.  D )
16 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  j  e.  S )
171, 2psrbagconcl 16393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  j  e.  S )  ->  ( F  o F  -  j )  e.  S )
1812, 15, 16, 17syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( F  o F  -  j
)  e.  S )
1914, 18sseldi 3306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( F  o F  -  j
)  e.  D )
20 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  =  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }
211, 20psrbagconf1o 16394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  j )  e.  D )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )
2212, 19, 21syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )
23 f1of 5633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) }  ->  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m
) ) : {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
25 fco 5559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B  /\  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  -> 
( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B )
2611, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )  o.  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m
) ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } --> B )
2712adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  I  e.  V )
2815adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  F  e.  D )
291psrbagf 16387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
3027, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  F :
I --> NN0 )
3130ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( F `  z
)  e.  NN0 )
3216adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  j  e.  S )
3314, 32sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  j  e.  D )
341psrbagf 16387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
3527, 33, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  j :
I --> NN0 )
3635ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( j `  z
)  e.  NN0 )
37 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  C_  D
38 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
3937, 38sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  m  e.  D )
401psrbagf 16387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  m  e.  D )  ->  m : I --> NN0 )
4127, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  m :
I --> NN0 )
4241ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( m `  z
)  e.  NN0 )
43 nn0cn 10187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  z )  e.  NN0  ->  ( F `
 z )  e.  CC )
44 nn0cn 10187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
45 nn0cn 10187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m `  z )  e.  NN0  ->  ( m `
 z )  e.  CC )
46 sub32 9291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC  /\  ( m `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) )  -  ( m `  z
) )  =  ( ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  -  ( j `
 z ) ) )
4743, 44, 45, 46syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0  /\  ( m `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
m `  z )
)  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( m `
 z ) )  -  ( j `  z ) ) )
4831, 36, 42, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( ( F `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
m `  z )
)  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( m `
 z ) )  -  ( j `  z ) ) )
4948mpteq2dva 4255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( j `
 z ) )  -  ( m `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) )  -  ( j `  z
) ) ) )
50 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( F `  z )  -  (
j `  z )
)  e.  _V )
5230feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  F  =  ( z  e.  I  |->  ( F `  z
) ) )
5335feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `  z
) ) )
5427, 31, 36, 52, 53offval2 6281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( F  o F  -  j
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) ) ) )
5541feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  m  =  ( z  e.  I  |->  ( m `  z
) ) )
5627, 51, 42, 54, 55offval2 6281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  j
)  o F  -  m )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  (
j `  z )
)  -  ( m `
 z ) ) ) )
57 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) )  e. 
_V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  e.  _V )
5927, 31, 42, 52, 55offval2 6281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( F  o F  -  m
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) ) ) )
6027, 58, 36, 59, 53offval2 6281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  -  ( j `
 z ) ) ) )
6149, 56, 603eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  j
)  o F  -  m )  =  ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j ) )
6219adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( F  o F  -  j
)  e.  D )
631, 20psrbagconcl 16393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  j )  e.  D  /\  m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  j
)  o F  -  m )  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
6427, 62, 38, 63syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  j
)  o F  -  m )  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
6561, 64eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )
6661mpteq2dva 4255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) )  =  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j
) ) )
67 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n X
68 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ X
69 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  X  =  [_ n  /  k ]_ X )
7067, 68, 69cbvmpt 4259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )  =  ( n  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  [_ n  /  k ]_ X )
7170a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )  =  ( n  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  [_ n  /  k ]_ X ) )
72 csbeq1 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  ->  [_ n  /  k ]_ X  =  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X )
7365, 66, 71, 72fmptco 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )  o.  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m
) ) )  =  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )
7473feq1d 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) ) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B  <->  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X ) : {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B ) )
7526, 74mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B )
76 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)  =  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)
7776fmpt 5849 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X  e.  B  <->  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X ) : {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } --> B )
7875, 77sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  A. m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) }
[_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X  e.  B
)
7978r19.21bi 2764 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } )  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j )  / 
k ]_ X  e.  B
)
8079anasss 629 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X  e.  B )
817, 80syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X  e.  B )
821, 2, 3, 4, 5, 6, 81gsumbagdiag 16396 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
83 eqid 2404 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
841psrbaglefi 16392 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  e.  Fin )
853, 4, 84syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { y  e.  D  |  y  o R  <_  F }  e.  Fin )
862, 85syl5eqel 2488 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
873adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  I  e.  V )
884adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  F  e.  D )
89 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  m  e.  S )
901, 2psrbagconcl 16393 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  m  e.  S )  ->  ( F  o F  -  m )  e.  S )
9187, 88, 89, 90syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( F  o F  -  m
)  e.  S )
9214, 91sseldi 3306 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( F  o F  -  m
)  e.  D )
931psrbaglefi 16392 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  m )  e.  D
)  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  e.  Fin )
9487, 92, 93syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  e.  Fin )
95 xpfi 7337 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  e.  Fin )  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
9686, 86, 95syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
97 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  m  e.  S )
987simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  j  e.  S )
99 brxp 4868 . . . . . . 7  |-  ( m ( S  X.  S
) j  <->  ( m  e.  S  /\  j  e.  S ) )
10097, 98, 99sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  m
( S  X.  S
) j )
101100pm2.24d 137 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } ) )  ->  ( -.  m ( S  X.  S ) j  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j
)  /  k ]_ X  =  ( 0g `  G ) ) )
102101impr 603 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) } )  /\  -.  m ( S  X.  S ) j ) )  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j )  / 
k ]_ X  =  ( 0g `  G ) )
1035, 83, 6, 86, 94, 81, 96, 102gsum2d2 15503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1041psrbaglefi 16392 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  o F  -  j )  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  e.  Fin )
10512, 19, 104syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  e.  Fin )
106 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  j  e.  S )
1071, 2, 3, 4gsumbagdiaglem 16395 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  (
m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) } ) )
108107simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  m  e.  S )
109 brxp 4868 . . . . . . 7  |-  ( j ( S  X.  S
) m  <->  ( j  e.  S  /\  m  e.  S ) )
110106, 108, 109sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  j
( S  X.  S
) m )
111110pm2.24d 137 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } ) )  ->  ( -.  j ( S  X.  S ) m  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j
)  /  k ]_ X  =  ( 0g `  G ) ) )
112111impr 603 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  /\  -.  j ( S  X.  S ) m ) )  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j )  / 
k ]_ X  =  ( 0g `  G ) )
1135, 83, 6, 86, 105, 80, 96, 112gsum2d2 15503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
11482, 103, 1133eqtr3d 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1156adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  G  e. CMnd )
11681anassrs 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  S )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } )  ->  [_ ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j )  / 
k ]_ X  e.  B
)
117 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)  =  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)
118116, 117fmptd 5852 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) : { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) } --> B )
119 cnvimass 5183 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  dom  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)
120117dmmptss 5325 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }
121119, 120sstri 3317 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }
122 ssfi 7288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) }  e.  Fin  /\  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } 
|->  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) } )  -> 
( `' ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
12394, 121, 122sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m ) } 
|->  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
1245, 83, 115, 94, 118, 123gsumcl 15476 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )  e.  B
)
125 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  =  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
126124, 125fmptd 5852 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) : S --> B )
1271, 2psrbagconf1o 16394 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
1283, 4, 127syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
129 f1ocnv 5646 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  `' (
m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
130 f1of 5633 . . . . . . 7  |-  ( `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  `' (
m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S --> S )
131128, 129, 1303syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) : S --> S )
132 fco 5559 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) : S --> B  /\  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S --> S )  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) : S --> B )
133126, 131, 132syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) : S --> B )
134 coass 5347 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) )
135 f1ococnv2 5661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  ( (
m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  (  _I  |`  S )
)
136128, 135syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
)  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) )  =  (  _I  |`  S ) )
137136coeq2d 4994 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m
) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) ) ) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) ) )
138134, 137syl5eq 2448 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) ) )
139 eqidd 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m ) )  =  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )
140 eqidd 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
141 breq2 4176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  ( x  o R  <_  n  <->  x  o R  <_  ( F  o F  -  m )
) )
142141rabbidv 2908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  =  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) } )
143 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  o F  -  j
)  e.  _V
144 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k Y
145 psrass1lem.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  o F  -  j )  ->  X  =  Y )
146143, 144, 145csbief 3252 . . . . . . . . . . . 12  |-  [_ (
n  o F  -  j )  /  k ]_ X  =  Y
147 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  ( n  o F  -  j )  =  ( ( F  o F  -  m )  o F  -  j
) )
148147csbeq1d 3217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  [_ ( n  o F  -  j )  /  k ]_ X  =  [_ ( ( F  o F  -  m
)  o F  -  j )  /  k ]_ X )
149146, 148syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  Y  =  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
)
150142, 149mpteq12dv 4247 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y )  =  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) )
151150oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( F  o F  -  m )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
15291, 139, 140, 151fmptco 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )
153152coeq1d 4993 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) )
154 coires1 5346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )
155 ssid 3327 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  S
156 resmpt 5150 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  S  ->  (
( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
157155, 156ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )
158154, 157eqtri 2424 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )
159158a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
160138, 153, 1593eqtr3d 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
161160feq1d 5539 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) : S --> B 
<->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) : S --> B ) )
162133, 161mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) : S --> B )
163 cnvimass 5183 . . . . . 6  |-  ( `' ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  dom  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )
164 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )
165164dmmptss 5325 . . . . . 6  |-  dom  (
n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  C_  S
166163, 165sstri 3317 . . . . 5  |-  ( `' ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  S
167 ssfi 7288 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  ( `' ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  S )  ->  ( `' ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
16886, 166, 167sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
1695, 83, 6, 86, 162, 168, 128gsumf1o 15477 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) ) )
170152oveq2d 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  o F  -  m )
) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
171169, 170eqtrd 2436 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  m
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1726adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  G  e. CMnd )
173 cnvimass 5183 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  dom  ( k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )
17410dmmptss 5325 . . . . . . . 8  |-  dom  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) 
C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }
175173, 174sstri 3317 . . . . . . 7  |-  ( `' ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }
176 ssfi 7288 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) }  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) } )  -> 
( `' ( k  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X )
" ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  Fin )
177105, 175, 176sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( `' ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
1785, 83, 172, 105, 11, 177, 22gsumf1o 15477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) ) ) )
17973oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  ( ( F  o F  -  j )  o F  -  m ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
180178, 179eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
181180mpteq2dva 4255 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) ) )  =  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )
182181oveq2d 6056 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  [_ (
( F  o F  -  m )  o F  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
183114, 171, 1823eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( F  o F  -  j
) }  |->  X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916   [_csb 3211    \ cdif 3277    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    _I cid 4453    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837    |` cres 4839   "cima 4840    o. ccom 4841   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042    o Fcof 6262    o Rcofr 6263    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   CCcc 8944    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   0gc0g 13678    gsumg cgsu 13679  CMndccmn 15367
This theorem is referenced by:  psrass1  16424
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369
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