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Theorem psrass1lem 17452
Description: A group sum commutation used by psrass1 17483. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
gsumbagdiag.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumbagdiag.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
gsumbagdiag.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumbagdiag.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumbagdiag.x  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
psrass1lem.y  |-  ( k  =  ( n  oF  -  j )  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
psrass1lem  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, j,
k, n, x, y, F    f, G, j, k, n, x, y   
n, V, x, y   
f, I, n, x, y    ph, j, k    S, j, k, n, x    B, j, k    D, j, k, n, x, y    f, X, n, x, y    f, Y, k, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f, n)    B( x, y, f, n)    D( f)    S( y, f)    I( j, k)    V( f, j, k)    X( j, k)    Y( j, n)

Proof of Theorem psrass1lem
Dummy variables  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
2 psrbagconf1o.1 . . . 4  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
3 gsumbagdiag.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
4 gsumbagdiag.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
5 gsumbagdiag.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 gsumbagdiag.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
71, 2, 3, 4gsumbagdiaglem 17450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  (
j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } ) )
8 gsumbagdiag.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
98anassrs 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  X  e.  B )
10 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  =  ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )
119, 10fmptd 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B )
123adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  I  e.  V )
13 ssrab2 3442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  F }  C_  D
142, 13eqsstri 3391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  C_  D
154adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  F  e.  D )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  j  e.  S )
171, 2psrbagconcl 17448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  j  e.  S )  ->  ( F  oF  -  j )  e.  S )
1812, 15, 16, 17syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( F  oF  -  j
)  e.  S )
1914, 18sseldi 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( F  oF  -  j
)  e.  D )
20 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  =  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }
211, 20psrbagconf1o 17449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  j )  e.  D )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )
2212, 19, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )
23 f1of 5646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) }  ->  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m
) ) : {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
25 fco 5573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B  /\  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  -> 
( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B )
2611, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  o.  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m
) ) ) : { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } --> B )
2712adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  I  e.  V )
2815adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  F  e.  D )
291psrbagf 17437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  F :
I --> NN0 )
3130ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( F `  z
)  e.  NN0 )
3216adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  j  e.  S )
3314, 32sseldi 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  j  e.  D )
341psrbagf 17437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
3527, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  j :
I --> NN0 )
3635ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( j `  z
)  e.  NN0 )
37 ssrab2 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  C_  D
38 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
3937, 38sseldi 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  m  e.  D )
401psrbagf 17437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  m  e.  D )  ->  m : I --> NN0 )
4127, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  m :
I --> NN0 )
4241ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( m `  z
)  e.  NN0 )
43 nn0cn 10594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  z )  e.  NN0  ->  ( F `
 z )  e.  CC )
44 nn0cn 10594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
45 nn0cn 10594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m `  z )  e.  NN0  ->  ( m `
 z )  e.  CC )
46 sub32 9648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC  /\  ( m `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) )  -  ( m `  z
) )  =  ( ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  -  ( j `
 z ) ) )
4743, 44, 45, 46syl3an 1260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0  /\  ( m `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
m `  z )
)  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( m `
 z ) )  -  ( j `  z ) ) )
4831, 36, 42, 47syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( ( F `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
m `  z )
)  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( m `
 z ) )  -  ( j `  z ) ) )
4948mpteq2dva 4383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( j `
 z ) )  -  ( m `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) )  -  ( j `  z
) ) ) )
50 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( F `  z )  -  (
j `  z )
)  e.  _V )
5230feqmptd 5749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  F  =  ( z  e.  I  |->  ( F `  z
) ) )
5335feqmptd 5749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `  z
) ) )
5427, 31, 36, 52, 53offval2 6341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( F  oF  -  j
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) ) ) )
5541feqmptd 5749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  m  =  ( z  e.  I  |->  ( m `  z
) ) )
5627, 51, 42, 54, 55offval2 6341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  j
)  oF  -  m )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  (
j `  z )
)  -  ( m `
 z ) ) ) )
57 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) )  e. 
_V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  e.  _V )
5927, 31, 42, 52, 55offval2 6341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( F  oF  -  m
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) ) ) )
6027, 58, 36, 59, 53offval2 6341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  -  ( j `
 z ) ) ) )
6149, 56, 603eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  j
)  oF  -  m )  =  ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j ) )
6219adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( F  oF  -  j
)  e.  D )
631, 20psrbagconcl 17448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  j )  e.  D  /\  m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  j
)  oF  -  m )  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
6427, 62, 38, 63syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  j
)  oF  -  m )  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
6561, 64eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
6661mpteq2dva 4383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) )  =  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j
) ) )
67 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n X
68 nfcsb1v 3309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ X
69 csbeq1a 3302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  X  =  [_ n  /  k ]_ X )
7067, 68, 69cbvmpt 4387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  =  ( n  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  [_ n  /  k ]_ X )
7170a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  =  ( n  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  [_ n  /  k ]_ X ) )
72 csbeq1 3296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  ->  [_ n  /  k ]_ X  =  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X )
7365, 66, 71, 72fmptco 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  o.  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m
) ) )  =  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )
7473feq1d 5551 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B  <->  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X ) : {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B ) )
7526, 74mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B )
76 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)  =  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)
7776fmpt 5869 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X  e.  B  <->  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X ) : {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B )
7875, 77sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  A. m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) }
[_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X  e.  B
)
7978r19.21bi 2819 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j )  / 
k ]_ X  e.  B
)
8079anasss 647 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X  e.  B )
817, 80syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X  e.  B )
821, 2, 3, 4, 5, 6, 81gsumbagdiag 17451 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
83 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
841psrbaglefi 17446 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
853, 4, 84syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
862, 85syl5eqel 2527 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
873adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  I  e.  V )
884adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  F  e.  D )
89 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  m  e.  S )
901, 2psrbagconcl 17448 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  m  e.  S )  ->  ( F  oF  -  m )  e.  S )
9187, 88, 89, 90syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( F  oF  -  m
)  e.  S )
9214, 91sseldi 3359 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( F  oF  -  m
)  e.  D )
931psrbaglefi 17446 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  m )  e.  D
)  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  e.  Fin )
9487, 92, 93syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  e.  Fin )
95 xpfi 7588 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  e.  Fin )  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
9686, 86, 95syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
97 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  m  e.  S )
987simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  j  e.  S )
99 brxp 4875 . . . . . . 7  |-  ( m ( S  X.  S
) j  <->  ( m  e.  S  /\  j  e.  S ) )
10097, 98, 99sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  m
( S  X.  S
) j )
101100pm2.24d 143 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  ( -.  m ( S  X.  S ) j  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j
)  /  k ]_ X  =  ( 0g `  G ) ) )
102101impr 619 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } )  /\  -.  m ( S  X.  S ) j ) )  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j )  / 
k ]_ X  =  ( 0g `  G ) )
1035, 83, 6, 86, 94, 81, 96, 102gsum2d2 16471 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1041psrbaglefi 17446 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  j )  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  Fin )
10512, 19, 104syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  Fin )
106 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  j  e.  S )
1071, 2, 3, 4gsumbagdiaglem 17450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  (
m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } ) )
108107simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  m  e.  S )
109 brxp 4875 . . . . . . 7  |-  ( j ( S  X.  S
) m  <->  ( j  e.  S  /\  m  e.  S ) )
110106, 108, 109sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  j
( S  X.  S
) m )
111110pm2.24d 143 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  ( -.  j ( S  X.  S ) m  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j
)  /  k ]_ X  =  ( 0g `  G ) ) )
112111impr 619 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  -.  j ( S  X.  S ) m ) )  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j )  / 
k ]_ X  =  ( 0g `  G ) )
1135, 83, 6, 86, 105, 80, 96, 112gsum2d2 16471 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
11482, 103, 1133eqtr3d 2483 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1156adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  G  e. CMnd )
11681anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  S )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } )  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j )  / 
k ]_ X  e.  B
)
117 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)  =  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)
118116, 117fmptd 5872 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } --> B )
119 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
120119rabex 4448 . . . . . . . . . . . 12  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1211, 120eqeltri 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  D  e. 
_V
122121a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  D  e.  _V )
123 rabexg 4447 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  _V  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  e.  _V )
124 mptexg 5952 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  e.  _V  ->  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)  e.  _V )
125122, 123, 1243syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)  e.  _V )
126 funmpt 5459 . . . . . . . . . 10  |-  Fun  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)
127126a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  Fun  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )
128 fvex 5706 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
129128a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e. 
_V )
130 suppssdm 6708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) supp  ( 0g `  G ) )  C_  dom  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)
131117dmmptss 5339 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }
132130, 131sstri 3370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) supp  ( 0g `  G ) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }
133132a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  (
( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) supp  ( 0g `  G ) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } )
134 suppssfifsupp 7640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } 
|->  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X )  e.  _V  /\ 
Fun  ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } 
|->  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X )  /\  ( 0g `  G )  e. 
_V )  /\  ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) }  e.  Fin  /\  (
( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) supp  ( 0g `  G ) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } ) )  ->  ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } 
|->  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
135125, 127, 129, 94, 133, 134syl32anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) finSupp  ( 0g `  G
) )
1365, 83, 115, 94, 118, 135gsumcl 16402 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )  e.  B
)
137 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  =  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
138136, 137fmptd 5872 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) : S --> B )
1391, 2psrbagconf1o 17449 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
1403, 4, 139syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
141 f1ocnv 5658 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  `' (
m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
142 f1of 5646 . . . . . . 7  |-  ( `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  `' (
m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S --> S )
143140, 141, 1423syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) : S --> S )
144 fco 5573 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) : S --> B  /\  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S --> S )  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) : S --> B )
145138, 143, 144syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) : S --> B )
146 coass 5361 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) )
147 f1ococnv2 5672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  ( (
m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  (  _I  |`  S )
)
148140, 147syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
)  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) )  =  (  _I  |`  S ) )
149148coeq2d 5007 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m
) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) ) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) ) )
150146, 149syl5eq 2487 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) ) )
151 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) )  =  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )
152 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
153 breq2 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  ( x  oR  <_  n  <->  x  oR  <_  ( F  oF  -  m )
) )
154153rabbidv 2969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  n }  =  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } )
155 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  oF  -  j
)  e.  _V
156 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k Y
157 psrass1lem.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  oF  -  j )  ->  X  =  Y )
158155, 156, 157csbief 3318 . . . . . . . . . . . 12  |-  [_ (
n  oF  -  j )  /  k ]_ X  =  Y
159 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  ( n  oF  -  j )  =  ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j
) )
160159csbeq1d 3300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  [_ ( n  oF  -  j )  /  k ]_ X  =  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X )
161158, 160syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  Y  =  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)
162154, 161mpteq12dv 4375 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y )  =  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )
163162oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
16491, 151, 152, 163fmptco 5881 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )
165164coeq1d 5006 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) )
166 coires1 5360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )
167 ssid 3380 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  S
168 resmpt 5161 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  S  ->  (
( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
169167, 168ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )
170166, 169eqtri 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )
171170a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
172150, 165, 1713eqtr3d 2483 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
173172feq1d 5551 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) : S --> B 
<->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) : S --> B ) )
174145, 173mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) : S --> B )
175 rabexg 4447 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  _V  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  F }  e.  _V )
176121, 175mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  _V )
1772, 176syl5eqel 2527 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
178 mptexg 5952 . . . . . 6  |-  ( S  e.  _V  ->  (
n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  e.  _V )
179177, 178syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  e.  _V )
180 funmpt 5459 . . . . . 6  |-  Fun  (
n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )
181180a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Fun  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
182128a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  _V )
183 suppssdm 6708 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) supp  ( 0g `  G ) )  C_  dom  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )
184 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )
185184dmmptss 5339 . . . . . . 7  |-  dom  (
n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  C_  S
186183, 185sstri 3370 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) supp  ( 0g `  G ) )  C_  S
187186a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  S
)
188 suppssfifsupp 7640 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  /\  ( 0g
`  G )  e. 
_V )  /\  ( S  e.  Fin  /\  (
( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) supp  ( 0g `  G ) )  C_  S ) )  -> 
( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) finSupp  ( 0g `  G ) )
189179, 181, 182, 86, 187, 188syl32anc 1226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) finSupp  ( 0g `  G ) )
1905, 83, 6, 86, 174, 189, 140gsumf1o 16403 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) ) )
191164oveq2d 6112 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
192190, 191eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1936adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  G  e. CMnd )
194121a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  D  e.  _V )
195 rabexg 4447 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  _V  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  _V )
196 mptexg 5952 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  _V  ->  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  e.  _V )
197194, 195, 1963syl 20 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  e.  _V )
198 funmpt 5459 . . . . . . . 8  |-  Fun  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )
199198a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  Fun  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) )
200128a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e. 
_V )
201 suppssdm 6708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  dom  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )
20210dmmptss 5339 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) 
C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }
203201, 202sstri 3370 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }
204203a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
205 suppssfifsupp 7640 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  e.  _V  /\ 
Fun  ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  /\  ( 0g `  G )  e. 
_V )  /\  ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) }  e.  Fin  /\  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } ) )  ->  ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
206197, 199, 200, 105, 204, 205syl32anc 1226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) finSupp 
( 0g `  G
) )
2075, 83, 193, 105, 11, 206, 22gsumf1o 16403 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) ) ) )
20873oveq2d 6112 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
209207, 208eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
210209mpteq2dva 4383 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
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x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )
211210oveq2d 6112 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
212114, 192, 2113eqtr4d 2485 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   {crab 2724   _Vcvv 2977   [_csb 3293    C_ wss 3333   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    _I cid 4636    X. cxp 4843   `'ccnv 4844   dom cdm 4845    |` cres 4847   "cima 4848    o. ccom 4849   Fun wfun 5417   -->wf 5419   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    e. cmpt2 6098    oFcof 6323    oRcofr 6324   supp csupp 6695    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   finSupp cfsupp 7625   CCcc 9285    <_ cle 9424    - cmin 9600   NNcn 10327   NN0cn0 10584   Basecbs 14179   0gc0g 14383    gsumg cgsu 14384  CMndccmn 16282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284
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