Theorem psrass1lem 17452

Description: A group sum commutation used by psrass1 17483. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbagconf1o.1	|- S = { y e. D | y oR <_ F }
gsumbagdiag.i	|- ( ph -> I e. V )
gsumbagdiag.f	|- ( ph -> F e. D )
gsumbagdiag.b	|- B = ( Base ` G )
gsumbagdiag.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumbagdiag.x	|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> X e. B )
psrass1lem.y	|- ( k = ( n oF - j ) -> X = Y )

Assertion

Ref	Expression
psrass1lem	|- ( ph -> ( G gsumg ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, j, k, n, x, y, F   f, G, j, k, n, x, y   n, V, x, y   f, I, n, x, y   ph, j, k   S, j, k, n, x   B, j, k   D, j, k, n, x, y   f, X, n, x, y   f, Y, k, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, f, n)   B( x, y, f, n)   D( f)   S( y, f)   I( j, k)   V( f, j, k)   X( j, k)   Y( j, n)

Proof of Theorem psrass1lem

Dummy variables m z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
2		psrbagconf1o.1	. . . 4 |- S = { y e. D | y oR <_ F }
3		gsumbagdiag.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. V )
4		gsumbagdiag.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. D )
5		gsumbagdiag.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
6		gsumbagdiag.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. CMnd )
7	1, 2, 3, 4	gsumbagdiaglem 17450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) )
8		gsumbagdiag.x	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> X e. B )
9	8	anassrs 648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> X e. B )
10		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) = ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X )
11	9, 10	fmptd 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
12	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> I e. V )
13		ssrab2 3442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. D | y oR <_ F } C_ D
14	2, 13	eqsstri 3391	. . . . . . . . . . . . 13 |- S C_ D
15	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> F e. D )
16		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> j e. S )
17	1, 2	psrbagconcl 17448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. S )
18	12, 15, 16, 17	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. S )
19	14, 18	sseldi 3359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. D )
20		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } = { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) }
21	1, 20	psrbagconf1o 17449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ ( F oF - j ) e. D ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -1-1-onto-> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
22	12, 19, 21	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -1-1-onto-> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
23		f1of 5646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -1-1-onto-> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
25		fco 5573	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B /\ ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
26	11, 24, 25	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
27	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> I e. V )
28	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> F e. D )
29	1	psrbagf 17437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> F : I --> NN0 )
30	27, 28, 29	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> F : I --> NN0 )
31	30	ffvelrnda 5848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) e. NN0 )
32	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j e. S )
33	14, 32	sseldi 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j e. D )
34	1	psrbagf 17437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. V /\ j e. D ) -> j : I --> NN0 )
35	27, 33, 34	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j : I --> NN0 )
36	35	ffvelrnda 5848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( j ` z ) e. NN0 )
37		ssrab2 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } C_ D
38		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
39	37, 38	sseldi 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m e. D )
40	1	psrbagf 17437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. V /\ m e. D ) -> m : I --> NN0 )
41	27, 39, 40	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m : I --> NN0 )
42	41	ffvelrnda 5848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( m ` z ) e. NN0 )
43		nn0cn 10594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` z ) e. NN0 -> ( F ` z ) e. CC )
44		nn0cn 10594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j ` z ) e. NN0 -> ( j ` z ) e. CC )
45		nn0cn 10594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m ` z ) e. NN0 -> ( m ` z ) e. CC )
46		sub32 9648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( j ` z ) e. CC /\ ( m ` z ) e. CC ) -> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) )
47	43, 44, 45, 46	syl3an 1260	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` z ) e. NN0 /\ ( j ` z ) e. NN0 /\ ( m ` z ) e. NN0 ) -> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) )
48	31, 36, 42, 47	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) )
49	48	mpteq2dva 4383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) ) )
50		ovex 6121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) e. _V
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) e. _V )
52	30	feqmptd 5749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> F = ( z e. I |-> ( F ` z ) ) )
53	35	feqmptd 5749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j = ( z e. I |-> ( j ` z ) ) )
54	27, 31, 36, 52, 53	offval2 6341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( F oF - j ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) ) )
55	41	feqmptd 5749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m = ( z e. I |-> ( m ` z ) ) )
56	27, 51, 42, 54, 55	offval2 6341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) = ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) ) )
57		ovex 6121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) e. _V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) e. _V )
59	27, 31, 42, 52, 55	offval2 6341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( F oF - m ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) ) )
60	27, 58, 36, 59, 53	offval2 6341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - m ) oF - j ) = ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) ) )
61	49, 56, 60	3eqtr4d 2485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) = ( ( F oF - m ) oF - j ) )
62	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( F oF - j ) e. D )
63	1, 20	psrbagconcl 17448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. V /\ ( F oF - j ) e. D /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
64	27, 62, 38, 63	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
65	61, 64	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - m ) oF - j ) e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
66	61	mpteq2dva 4383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) = ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - m ) oF - j ) ) )
67		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n X
68		nfcsb1v 3309	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ n / k ]_ X
69		csbeq1a 3302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> X = [_ n / k ]_ X )
70	67, 68, 69	cbvmpt 4387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) = ( n e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ n / k ]_ X )
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) = ( n e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ n / k ]_ X ) )
72		csbeq1 3296	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( ( F oF - m ) oF - j ) -> [_ n / k ]_ X = [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
73	65, 66, 71, 72	fmptco 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) = ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) )
74	73	feq1d 5551	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B <-> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B ) )
75	26, 74	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
76		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) = ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
77	76	fmpt 5869	. . . . . . . 8 |- ( A. m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B <-> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
78	75, 77	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> A. m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
79	78	r19.21bi 2819	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
80	79	anasss 647	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
81	7, 80	syldan 470	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
82	1, 2, 3, 4, 5, 6, 81	gsumbagdiag 17451	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( m e. S , j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) = ( G gsumg ( j e. S , m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
83		eqid 2443	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
84	1	psrbaglefi 17446	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin )
85	3, 4, 84	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin )
86	2, 85	syl5eqel 2527	. . . 4 |- ( ph -> S e. Fin )
87	3	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> I e. V )
88	4	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> F e. D )
89		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> m e. S )
90	1, 2	psrbagconcl 17448	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ m e. S ) -> ( F oF - m ) e. S )
91	87, 88, 89, 90	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( F oF - m ) e. S )
92	14, 91	sseldi 3359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( F oF - m ) e. D )
93	1	psrbaglefi 17446	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( F oF - m ) e. D ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. Fin )
94	87, 92, 93	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. Fin )
95		xpfi 7588	. . . . 5 |- ( ( S e. Fin /\ S e. Fin ) -> ( S X. S ) e. Fin )
96	86, 86, 95	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( S X. S ) e. Fin )
97		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> m e. S )
98	7	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> j e. S )
99		brxp 4875	. . . . . . 7 |- ( m ( S X. S ) j <-> ( m e. S /\ j e. S ) )
100	97, 98, 99	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> m ( S X. S ) j )
101	100	pm2.24d 143	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> ( -. m ( S X. S ) j -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) ) )
102	101	impr 619	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) /\ -. m ( S X. S ) j ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) )
103	5, 83, 6, 86, 94, 81, 96, 102	gsum2d2 16471	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( m e. S , j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) = ( G gsumg ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
104	1	psrbaglefi 17446	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( F oF - j ) e. D ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. Fin )
105	12, 19, 104	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. Fin )
106		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> j e. S )
107	1, 2, 3, 4	gsumbagdiaglem 17450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) )
108	107	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> m e. S )
109		brxp 4875	. . . . . . 7 |- ( j ( S X. S ) m <-> ( j e. S /\ m e. S ) )
110	106, 108, 109	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> j ( S X. S ) m )
111	110	pm2.24d 143	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( -. j ( S X. S ) m -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) ) )
112	111	impr 619	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ -. j ( S X. S ) m ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) )
113	5, 83, 6, 86, 105, 80, 96, 112	gsum2d2 16471	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. S , m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
114	82, 103, 113	3eqtr3d 2483	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
115	6	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> G e. CMnd )
116	81	anassrs 648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. S ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
117		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) = ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
118	116, 117	fmptd 5872	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } --> B )
119		ovex 6121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
120	119	rabex 4448	. . . . . . . . . . . 12 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V
121	1, 120	eqeltri 2513	. . . . . . . . . . 11 |- D e. _V
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> D e. _V )
123		rabexg 4447	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. _V -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. _V )
124		mptexg 5952	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. _V -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) e. _V )
125	122, 123, 124	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) e. _V )
126		funmpt 5459	. . . . . . . . . 10 |- Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
127	126	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) )
128		fvex 5706	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) e. _V
129	128	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
130		suppssdm 6708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ dom ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
131	117	dmmptss 5339	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) }
132	130, 131	sstri 3370	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) }
133	132	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } )
134		suppssfifsupp 7640	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) /\ ( 0g ` G ) e. _V ) /\ ( { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. Fin /\ ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) finSupp ( 0g ` G ) )
135	125, 127, 129, 94, 133, 134	syl32anc 1226	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) finSupp ( 0g ` G ) )
136	5, 83, 115, 94, 118, 135	gsumcl 16402	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) e. B )
137		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) = ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
138	136, 137	fmptd 5872	. . . . . 6 |- ( ph -> ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) : S --> B )
139	1, 2	psrbagconf1o 17449	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S )
140	3, 4, 139	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S )
141		f1ocnv 5658	. . . . . . 7 |- ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S -> `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S )
142		f1of 5646	. . . . . . 7 |- ( `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S -> `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S --> S )
143	140, 141, 142	3syl 20	. . . . . 6 |- ( ph -> `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S --> S )
144		fco 5573	. . . . . 6 |- ( ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) : S --> B /\ `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S --> S ) -> ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) : S --> B )
145	138, 143, 144	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) : S --> B )
146		coass 5361	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) )
147		f1ococnv2 5672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S -> ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( _I |` S ) )
148	140, 147	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( _I |` S ) )
149	148	coeq2d 5007	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) )
150	146, 149	syl5eq 2487	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) )
151		eqidd 2444	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) = ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) )
152		eqidd 2444	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
153		breq2 4301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( F oF - m ) -> ( x oR <_ n <-> x oR <_ ( F oF - m ) ) )
154	153	rabbidv 2969	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( F oF - m ) -> { x e. D | x oR <_ n } = { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } )
155		ovex 6121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n oF - j ) e. _V
156		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k Y
157		psrass1lem.y	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n oF - j ) -> X = Y )
158	155, 156, 157	csbief 3318	. . . . . . . . . . . 12 |- [_ ( n oF - j ) / k ]_ X = Y
159		oveq1 6103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( F oF - m ) -> ( n oF - j ) = ( ( F oF - m ) oF - j ) )
160	159	csbeq1d 3300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( F oF - m ) -> [_ ( n oF - j ) / k ]_ X = [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
161	158, 160	syl5eqr 2489	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( F oF - m ) -> Y = [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
162	154, 161	mpteq12dv 4375	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( F oF - m ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) = ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) )
163	162	oveq2d 6112	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( F oF - m ) -> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) = ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
164	91, 151, 152, 163	fmptco 5881	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) )
165	164	coeq1d 5006	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) )
166		coires1 5360	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |` S )
167		ssid 3380	. . . . . . . . . 10 |- S C_ S
168		resmpt 5161	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ S -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |` S ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
169	167, 168	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |` S ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) )
170	166, 169	eqtri 2463	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) )
171	170	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
172	150, 165, 171	3eqtr3d 2483	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
173	172	feq1d 5551	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) : S --> B <-> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) : S --> B ) )
174	145, 173	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) : S --> B )
175		rabexg 4447	. . . . . . . 8 |- ( D e. _V -> { y e. D | y oR <_ F } e. _V )
176	121, 175	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( ph -> { y e. D | y oR <_ F } e. _V )
177	2, 176	syl5eqel 2527	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. _V )
178		mptexg 5952	. . . . . 6 |- ( S e. _V -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) e. _V )
179	177, 178	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) e. _V )
180		funmpt 5459	. . . . . 6 |- Fun ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) )
181	180	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> Fun ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
182	128	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0g ` G ) e. _V )
183		suppssdm 6708	. . . . . . 7 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ dom ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) )
184		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) )
185	184	dmmptss 5339	. . . . . . 7 |- dom ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) C_ S
186	183, 185	sstri 3370	. . . . . 6 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ S
187	186	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ S )
188		suppssfifsupp 7640	. . . . 5 |- ( ( ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) e. _V /\ Fun ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) /\ ( 0g ` G ) e. _V ) /\ ( S e. Fin /\ ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ S ) ) -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) finSupp ( 0g ` G ) )
189	179, 181, 182, 86, 187, 188	syl32anc 1226	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) finSupp ( 0g ` G ) )
190	5, 83, 6, 86, 174, 189, 140	gsumf1o 16403	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) ) )
191	164	oveq2d 6112	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) ) = ( G gsumg ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
192	190, 191	eqtrd 2475	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
193	6	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> G e. CMnd )
194	121	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> D e. _V )
195		rabexg 4447	. . . . . . . 8 |- ( D e. _V -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. _V )
196		mptexg 5952	. . . . . . . 8 |- ( { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. _V -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) e. _V )
197	194, 195, 196	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) e. _V )
198		funmpt 5459	. . . . . . . 8 |- Fun ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X )
199	198	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> Fun ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) )
200	128	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
201		suppssdm 6708	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ dom ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X )
202	10	dmmptss 5339	. . . . . . . . 9 |- dom ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) }
203	201, 202	sstri 3370	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) }
204	203	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
205		suppssfifsupp 7640	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) e. _V /\ Fun ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) /\ ( 0g ` G ) e. _V ) /\ ( { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. Fin /\ ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) finSupp ( 0g ` G ) )
206	197, 199, 200, 105, 204, 205	syl32anc 1226	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) finSupp ( 0g ` G ) )
207	5, 83, 193, 105, 11, 206, 22	gsumf1o 16403	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) = ( G gsumg ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) ) )
208	73	oveq2d 6112	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( G gsumg ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) ) = ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
209	207, 208	eqtrd 2475	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) = ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
210	209	mpteq2dva 4383	. . 3 |- ( ph -> ( j e. S |-> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) = ( j e. S |-> ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) )
211	210	oveq2d 6112	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
212	114, 192, 211	3eqtr4d 2485	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2720   {crab 2724   _Vcvv 2977   [_csb 3293   C_ wss 3333   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   _I cid 4636   X. cxp 4843   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   |` cres 4847   "cima 4848   o. ccom 4849   Fun wfun 5417   -->wf 5419   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   e. cmpt2 6098   oFcof 6323   oRcofr 6324   supp csupp 6695   ^m cmap 7219   Fincfn 7315   finSupp cfsupp 7625   CCcc 9285   <_ cle 9424   - cmin 9600   NNcn 10327   NN0cn0 10584   Basecbs 14179   0gc0g 14383   gsum_g cgsu 14384  CMndccmn 16282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284

This theorem is referenced by:  psrass1  17483