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Theorem psrass1lem 17800
Description: A group sum commutation used by psrass1 17831. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
gsumbagdiag.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumbagdiag.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
gsumbagdiag.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumbagdiag.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumbagdiag.x  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
psrass1lem.y  |-  ( k  =  ( n  oF  -  j )  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
psrass1lem  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, j,
k, n, x, y, F    f, G, j, k, n, x, y   
n, V, x, y   
f, I, n, x, y    ph, j, k    S, j, k, n, x    B, j, k    D, j, k, n, x, y    f, X, n, x, y    f, Y, k, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f, n)    B( x, y, f, n)    D( f)    S( y, f)    I( j, k)    V( f, j, k)    X( j, k)    Y( j, n)

Proof of Theorem psrass1lem
Dummy variables  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
2 psrbagconf1o.1 . . . 4  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
3 gsumbagdiag.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
4 gsumbagdiag.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
5 gsumbagdiag.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 gsumbagdiag.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
71, 2, 3, 4gsumbagdiaglem 17798 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  (
j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } ) )
8 gsumbagdiag.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
98anassrs 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  X  e.  B )
10 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  =  ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )
119, 10fmptd 6043 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B )
123adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  I  e.  V )
13 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  F }  C_  D
142, 13eqsstri 3534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  C_  D
154adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  F  e.  D )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  j  e.  S )
171, 2psrbagconcl 17796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  j  e.  S )  ->  ( F  oF  -  j )  e.  S )
1812, 15, 16, 17syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( F  oF  -  j
)  e.  S )
1914, 18sseldi 3502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( F  oF  -  j
)  e.  D )
20 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  =  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }
211, 20psrbagconf1o 17797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  j )  e.  D )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )
2212, 19, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )
23 f1of 5814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) }  ->  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m
) ) : {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
25 fco 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B  /\  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  -> 
( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B )
2611, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  o.  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m
) ) ) : { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } --> B )
2712adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  I  e.  V )
2815adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  F  e.  D )
291psrbagf 17785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
3027, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  F :
I --> NN0 )
3130ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( F `  z
)  e.  NN0 )
3216adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  j  e.  S )
3314, 32sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  j  e.  D )
341psrbagf 17785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
3527, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  j :
I --> NN0 )
3635ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( j `  z
)  e.  NN0 )
37 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  C_  D
38 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
3937, 38sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  m  e.  D )
401psrbagf 17785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  m  e.  D )  ->  m : I --> NN0 )
4127, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  m :
I --> NN0 )
4241ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( m `  z
)  e.  NN0 )
43 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  z )  e.  NN0  ->  ( F `
 z )  e.  CC )
44 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
45 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m `  z )  e.  NN0  ->  ( m `
 z )  e.  CC )
46 sub32 9849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC  /\  ( m `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) )  -  ( m `  z
) )  =  ( ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  -  ( j `
 z ) ) )
4743, 44, 45, 46syl3an 1270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0  /\  ( m `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
m `  z )
)  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( m `
 z ) )  -  ( j `  z ) ) )
4831, 36, 42, 47syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( ( F `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
m `  z )
)  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( m `
 z ) )  -  ( j `  z ) ) )
4948mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( j `
 z ) )  -  ( m `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) )  -  ( j `  z
) ) ) )
50 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( F `  z )  -  (
j `  z )
)  e.  _V )
5230feqmptd 5918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  F  =  ( z  e.  I  |->  ( F `  z
) ) )
5335feqmptd 5918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `  z
) ) )
5427, 31, 36, 52, 53offval2 6538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( F  oF  -  j
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) ) ) )
5541feqmptd 5918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  m  =  ( z  e.  I  |->  ( m `  z
) ) )
5627, 51, 42, 54, 55offval2 6538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  j
)  oF  -  m )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  (
j `  z )
)  -  ( m `
 z ) ) ) )
57 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) )  e. 
_V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  e.  _V )
5927, 31, 42, 52, 55offval2 6538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( F  oF  -  m
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) ) ) )
6027, 58, 36, 59, 53offval2 6538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  -  ( j `
 z ) ) ) )
6149, 56, 603eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  j
)  oF  -  m )  =  ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j ) )
6219adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( F  oF  -  j
)  e.  D )
631, 20psrbagconcl 17796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  j )  e.  D  /\  m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  j
)  oF  -  m )  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
6427, 62, 38, 63syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  j
)  oF  -  m )  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
6561, 64eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
6661mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) )  =  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j
) ) )
67 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n X
68 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ X
69 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  X  =  [_ n  /  k ]_ X )
7067, 68, 69cbvmpt 4537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  =  ( n  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  [_ n  /  k ]_ X )
7170a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  =  ( n  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  [_ n  /  k ]_ X ) )
72 csbeq1 3438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  ->  [_ n  /  k ]_ X  =  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X )
7365, 66, 71, 72fmptco 6052 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  o.  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m
) ) )  =  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )
7473feq1d 5715 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B  <->  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X ) : {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B ) )
7526, 74mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B )
76 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)  =  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)
7776fmpt 6040 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X  e.  B  <->  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X ) : {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B )
7875, 77sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  A. m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) }
[_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X  e.  B
)
7978r19.21bi 2833 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j )  / 
k ]_ X  e.  B
)
8079anasss 647 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X  e.  B )
817, 80syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X  e.  B )
821, 2, 3, 4, 5, 6, 81gsumbagdiag 17799 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
83 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
841psrbaglefi 17794 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
853, 4, 84syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
862, 85syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
873adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  I  e.  V )
884adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  F  e.  D )
89 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  m  e.  S )
901, 2psrbagconcl 17796 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  m  e.  S )  ->  ( F  oF  -  m )  e.  S )
9187, 88, 89, 90syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( F  oF  -  m
)  e.  S )
9214, 91sseldi 3502 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( F  oF  -  m
)  e.  D )
931psrbaglefi 17794 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  m )  e.  D
)  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  e.  Fin )
9487, 92, 93syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  e.  Fin )
95 xpfi 7787 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  e.  Fin )  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
9686, 86, 95syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
97 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  m  e.  S )
987simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  j  e.  S )
99 brxp 5029 . . . . . . 7  |-  ( m ( S  X.  S
) j  <->  ( m  e.  S  /\  j  e.  S ) )
10097, 98, 99sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  m
( S  X.  S
) j )
101100pm2.24d 143 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  ( -.  m ( S  X.  S ) j  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j
)  /  k ]_ X  =  ( 0g `  G ) ) )
102101impr 619 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } )  /\  -.  m ( S  X.  S ) j ) )  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j )  / 
k ]_ X  =  ( 0g `  G ) )
1035, 83, 6, 86, 94, 81, 96, 102gsum2d2 16793 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1041psrbaglefi 17794 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  j )  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  Fin )
10512, 19, 104syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  Fin )
106 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  j  e.  S )
1071, 2, 3, 4gsumbagdiaglem 17798 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  (
m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } ) )
108107simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  m  e.  S )
109 brxp 5029 . . . . . . 7  |-  ( j ( S  X.  S
) m  <->  ( j  e.  S  /\  m  e.  S ) )
110106, 108, 109sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  j
( S  X.  S
) m )
111110pm2.24d 143 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  ( -.  j ( S  X.  S ) m  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j
)  /  k ]_ X  =  ( 0g `  G ) ) )
112111impr 619 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  -.  j ( S  X.  S ) m ) )  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j )  / 
k ]_ X  =  ( 0g `  G ) )
1135, 83, 6, 86, 105, 80, 96, 112gsum2d2 16793 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
11482, 103, 1133eqtr3d 2516 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1156adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  G  e. CMnd )
11681anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  S )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } )  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j )  / 
k ]_ X  e.  B
)
117 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)  =  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)
118116, 117fmptd 6043 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } --> B )
119 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
120119rabex 4598 . . . . . . . . . . . 12  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1211, 120eqeltri 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  D  e. 
_V
122121a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  D  e.  _V )
123 rabexg 4597 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  _V  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  e.  _V )
124 mptexg 6128 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  e.  _V  ->  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)  e.  _V )
125122, 123, 1243syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)  e.  _V )
126 funmpt 5622 . . . . . . . . . 10  |-  Fun  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)
127126a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  Fun  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )
128 fvex 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
129128a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e. 
_V )
130 suppssdm 6911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) supp  ( 0g `  G ) )  C_  dom  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)
131117dmmptss 5501 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }
132130, 131sstri 3513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) supp  ( 0g `  G ) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }
133132a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  (
( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) supp  ( 0g `  G ) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } )
134 suppssfifsupp 7840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } 
|->  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X )  e.  _V  /\ 
Fun  ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } 
|->  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X )  /\  ( 0g `  G )  e. 
_V )  /\  ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) }  e.  Fin  /\  (
( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) supp  ( 0g `  G ) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } ) )  ->  ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } 
|->  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
135125, 127, 129, 94, 133, 134syl32anc 1236 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) finSupp  ( 0g `  G
) )
1365, 83, 115, 94, 118, 135gsumcl 16714 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )  e.  B
)
137 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  =  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
138136, 137fmptd 6043 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) : S --> B )
1391, 2psrbagconf1o 17797 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
1403, 4, 139syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
141 f1ocnv 5826 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  `' (
m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
142 f1of 5814 . . . . . . 7  |-  ( `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  `' (
m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S --> S )
143140, 141, 1423syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) : S --> S )
144 fco 5739 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) : S --> B  /\  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S --> S )  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) : S --> B )
145138, 143, 144syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) : S --> B )
146 coass 5524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) )
147 f1ococnv2 5840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  ( (
m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  (  _I  |`  S )
)
148140, 147syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
)  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) )  =  (  _I  |`  S ) )
149148coeq2d 5163 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m
) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) ) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) ) )
150146, 149syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) ) )
151 eqidd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) )  =  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )
152 eqidd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
153 breq2 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  ( x  oR  <_  n  <->  x  oR  <_  ( F  oF  -  m )
) )
154153rabbidv 3105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  n }  =  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } )
155 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  oF  -  j
)  e.  _V
156 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k Y
157 psrass1lem.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  oF  -  j )  ->  X  =  Y )
158155, 156, 157csbief 3460 . . . . . . . . . . . 12  |-  [_ (
n  oF  -  j )  /  k ]_ X  =  Y
159 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  ( n  oF  -  j )  =  ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j
) )
160159csbeq1d 3442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  [_ ( n  oF  -  j )  /  k ]_ X  =  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X )
161158, 160syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  Y  =  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)
162154, 161mpteq12dv 4525 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y )  =  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )
163162oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
16491, 151, 152, 163fmptco 6052 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )
165164coeq1d 5162 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) )
166 coires1 5523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )
167 ssid 3523 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  S
168 resmpt 5321 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  S  ->  (
( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
169167, 168ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )
170166, 169eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )
171170a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
172150, 165, 1713eqtr3d 2516 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
173172feq1d 5715 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) : S --> B 
<->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) : S --> B ) )
174145, 173mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) : S --> B )
175 rabexg 4597 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  _V  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  F }  e.  _V )
176121, 175mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  _V )
1772, 176syl5eqel 2559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
178 mptexg 6128 . . . . . 6  |-  ( S  e.  _V  ->  (
n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  e.  _V )
179177, 178syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  e.  _V )
180 funmpt 5622 . . . . . 6  |-  Fun  (
n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )
181180a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Fun  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
182128a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  _V )
183 suppssdm 6911 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) supp  ( 0g `  G ) )  C_  dom  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )
184 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )
185184dmmptss 5501 . . . . . . 7  |-  dom  (
n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  C_  S
186183, 185sstri 3513 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) supp  ( 0g `  G ) )  C_  S
187186a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  S
)
188 suppssfifsupp 7840 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  /\  ( 0g
`  G )  e. 
_V )  /\  ( S  e.  Fin  /\  (
( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) supp  ( 0g `  G ) )  C_  S ) )  -> 
( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) finSupp  ( 0g `  G ) )
189179, 181, 182, 86, 187, 188syl32anc 1236 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) finSupp  ( 0g `  G ) )
1905, 83, 6, 86, 174, 189, 140gsumf1o 16715 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) ) )
191164oveq2d 6298 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
192190, 191eqtrd 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1936adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  G  e. CMnd )
194121a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  D  e.  _V )
195 rabexg 4597 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  _V  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  _V )
196 mptexg 6128 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  _V  ->  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  e.  _V )
197194, 195, 1963syl 20 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  e.  _V )
198 funmpt 5622 . . . . . . . 8  |-  Fun  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )
199198a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  Fun  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) )
200128a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e. 
_V )
201 suppssdm 6911 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  dom  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )
20210dmmptss 5501 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) 
C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }
203201, 202sstri 3513 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }
204203a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
205 suppssfifsupp 7840 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  e.  _V  /\ 
Fun  ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  /\  ( 0g `  G )  e. 
_V )  /\  ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) }  e.  Fin  /\  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } ) )  ->  ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
206197, 199, 200, 105, 204, 205syl32anc 1236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) finSupp 
( 0g `  G
) )
2075, 83, 193, 105, 11, 206, 22gsumf1o 16715 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) ) ) )
20873oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
209207, 208eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
210209mpteq2dva 4533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
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) }  |->  X ) ) )  =  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )
211210oveq2d 6298 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
212114, 192, 2113eqtr4d 2518 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113   [_csb 3435    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    _I cid 4790    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999    |` cres 5001   "cima 5002    o. ccom 5003   Fun wfun 5580   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284    oFcof 6520    oRcofr 6521   supp csupp 6898    ^m cmap 7417   Fincfn 7513   finSupp cfsupp 7825   CCcc 9486    <_ cle 9625    - cmin 9801   NNcn 10532   NN0cn0 10791   Basecbs 14486   0gc0g 14691    gsumg cgsu 14692  CMndccmn 16594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596
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