MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrass1lem Structured version   Unicode version

Theorem psrass1lem 17425
Description: A group sum commutation used by psrass1 17456. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
gsumbagdiag.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumbagdiag.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
gsumbagdiag.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumbagdiag.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumbagdiag.x  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
psrass1lem.y  |-  ( k  =  ( n  oF  -  j )  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
psrass1lem  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, j,
k, n, x, y, F    f, G, j, k, n, x, y   
n, V, x, y   
f, I, n, x, y    ph, j, k    S, j, k, n, x    B, j, k    D, j, k, n, x, y    f, X, n, x, y    f, Y, k, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f, n)    B( x, y, f, n)    D( f)    S( y, f)    I( j, k)    V( f, j, k)    X( j, k)    Y( j, n)

Proof of Theorem psrass1lem
Dummy variables  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
2 psrbagconf1o.1 . . . 4  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
3 gsumbagdiag.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
4 gsumbagdiag.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
5 gsumbagdiag.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 gsumbagdiag.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
71, 2, 3, 4gsumbagdiaglem 17423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  (
j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } ) )
8 gsumbagdiag.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  X  e.  B )
98anassrs 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  k  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  X  e.  B )
10 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  =  ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )
119, 10fmptd 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B )
123adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  I  e.  V )
13 ssrab2 3434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  F }  C_  D
142, 13eqsstri 3383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  C_  D
154adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  F  e.  D )
16 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  j  e.  S )
171, 2psrbagconcl 17421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  j  e.  S )  ->  ( F  oF  -  j )  e.  S )
1812, 15, 16, 17syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( F  oF  -  j
)  e.  S )
1914, 18sseldi 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( F  oF  -  j
)  e.  D )
20 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  =  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }
211, 20psrbagconf1o 17422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  j )  e.  D )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )
2212, 19, 21syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )
23 f1of 5638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } -1-1-onto-> { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) }  ->  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m
) ) : {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
25 fco 5565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B  /\  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  -> 
( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B )
2611, 24, 25syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  o.  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m
) ) ) : { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } --> B )
2712adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  I  e.  V )
2815adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  F  e.  D )
291psrbagf 17410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
3027, 28, 29syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  F :
I --> NN0 )
3130ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( F `  z
)  e.  NN0 )
3216adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  j  e.  S )
3314, 32sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  j  e.  D )
341psrbagf 17410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  D )  ->  j : I --> NN0 )
3527, 33, 34syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  j :
I --> NN0 )
3635ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( j `  z
)  e.  NN0 )
37 ssrab2 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  C_  D
38 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
3937, 38sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  m  e.  D )
401psrbagf 17410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  m  e.  D )  ->  m : I --> NN0 )
4127, 39, 40syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  m :
I --> NN0 )
4241ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( m `  z
)  e.  NN0 )
43 nn0cn 10585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  z )  e.  NN0  ->  ( F `
 z )  e.  CC )
44 nn0cn 10585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j `  z )  e.  NN0  ->  ( j `
 z )  e.  CC )
45 nn0cn 10585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m `  z )  e.  NN0  ->  ( m `
 z )  e.  CC )
46 sub32 9639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( j `  z
)  e.  CC  /\  ( m `  z
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) )  -  ( m `  z
) )  =  ( ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  -  ( j `
 z ) ) )
4743, 44, 45, 46syl3an 1255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  NN0  /\  ( j `  z
)  e.  NN0  /\  ( m `  z
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
m `  z )
)  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( m `
 z ) )  -  ( j `  z ) ) )
4831, 36, 42, 47syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( ( F `
 z )  -  ( j `  z
) )  -  (
m `  z )
)  =  ( ( ( F `  z
)  -  ( m `
 z ) )  -  ( j `  z ) ) )
4948mpteq2dva 4375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( j `
 z ) )  -  ( m `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) )  -  ( j `  z
) ) ) )
50 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) )  e. 
_V
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( F `  z )  -  (
j `  z )
)  e.  _V )
5230feqmptd 5741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  F  =  ( z  e.  I  |->  ( F `  z
) ) )
5335feqmptd 5741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  j  =  ( z  e.  I  |->  ( j `  z
) ) )
5427, 31, 36, 52, 53offval2 6335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( F  oF  -  j
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( j `  z ) ) ) )
5541feqmptd 5741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  m  =  ( z  e.  I  |->  ( m `  z
) ) )
5627, 51, 42, 54, 55offval2 6335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  j
)  oF  -  m )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  (
j `  z )
)  -  ( m `
 z ) ) ) )
57 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) )  e. 
_V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  z  e.  I )  ->  ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  e.  _V )
5927, 31, 42, 52, 55offval2 6335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( F  oF  -  m
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( m `  z ) ) ) )
6027, 58, 36, 59, 53offval2 6335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( ( F `  z )  -  (
m `  z )
)  -  ( j `
 z ) ) ) )
6149, 56, 603eqtr4d 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  j
)  oF  -  m )  =  ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j ) )
6219adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( F  oF  -  j
)  e.  D )
631, 20psrbagconcl 17421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  j )  e.  D  /\  m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  j
)  oF  -  m )  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
6427, 62, 38, 63syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  j
)  oF  -  m )  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
6561, 64eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
6661mpteq2dva 4375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) )  =  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j
) ) )
67 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n X
68 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ X
69 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  X  =  [_ n  /  k ]_ X )
7067, 68, 69cbvmpt 4379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  =  ( n  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  [_ n  /  k ]_ X )
7170a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  =  ( n  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  [_ n  /  k ]_ X ) )
72 csbeq1 3288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  ->  [_ n  /  k ]_ X  =  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X )
7365, 66, 71, 72fmptco 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  o.  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m
) ) )  =  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )
7473feq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) ) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B  <->  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X ) : {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B ) )
7526, 74mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B )
76 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)  =  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)
7776fmpt 5861 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X  e.  B  <->  ( m  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X ) : {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } --> B )
7875, 77sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  A. m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) }
[_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X  e.  B
)
7978r19.21bi 2812 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  S )  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } )  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j )  / 
k ]_ X  e.  B
)
8079anasss 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X  e.  B )
817, 80syldan 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X  e.  B )
821, 2, 3, 4, 5, 6, 81gsumbagdiag 17424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
83 eqid 2441 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
841psrbaglefi 17419 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
853, 4, 84syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  Fin )
862, 85syl5eqel 2525 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
873adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  I  e.  V )
884adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  F  e.  D )
89 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  m  e.  S )
901, 2psrbagconcl 17421 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D  /\  m  e.  S )  ->  ( F  oF  -  m )  e.  S )
9187, 88, 89, 90syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( F  oF  -  m
)  e.  S )
9214, 91sseldi 3351 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( F  oF  -  m
)  e.  D )
931psrbaglefi 17419 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  m )  e.  D
)  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  e.  Fin )
9487, 92, 93syl2anc 656 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  e.  Fin )
95 xpfi 7579 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  S  e.  Fin )  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
9686, 86, 95syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  e.  Fin )
97 simprl 750 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  m  e.  S )
987simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  j  e.  S )
99 brxp 4866 . . . . . . 7  |-  ( m ( S  X.  S
) j  <->  ( m  e.  S  /\  j  e.  S ) )
10097, 98, 99sylanbrc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  m
( S  X.  S
) j )
101100pm2.24d 143 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } ) )  ->  ( -.  m ( S  X.  S ) j  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j
)  /  k ]_ X  =  ( 0g `  G ) ) )
102101impr 616 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } )  /\  -.  m ( S  X.  S ) j ) )  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j )  / 
k ]_ X  =  ( 0g `  G ) )
1035, 83, 6, 86, 94, 81, 96, 102gsum2d2 16456 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S ,  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1041psrbaglefi 17419 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  j )  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  Fin )
10512, 19, 104syl2anc 656 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  Fin )
106 simprl 750 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  j  e.  S )
1071, 2, 3, 4gsumbagdiaglem 17423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  (
m  e.  S  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } ) )
108107simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  m  e.  S )
109 brxp 4866 . . . . . . 7  |-  ( j ( S  X.  S
) m  <->  ( j  e.  S  /\  m  e.  S ) )
110106, 108, 109sylanbrc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  j
( S  X.  S
) m )
111110pm2.24d 143 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } ) )  ->  ( -.  j ( S  X.  S ) m  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j
)  /  k ]_ X  =  ( 0g `  G ) ) )
112111impr 616 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  S  /\  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )  /\  -.  j ( S  X.  S ) m ) )  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j )  / 
k ]_ X  =  ( 0g `  G ) )
1135, 83, 6, 86, 105, 80, 96, 112gsum2d2 16456 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S ,  m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
11482, 103, 1133eqtr3d 2481 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1156adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  G  e. CMnd )
11681anassrs 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  S )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } )  ->  [_ ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j )  / 
k ]_ X  e.  B
)
117 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)  =  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)
118116, 117fmptd 5864 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) : { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } --> B )
119 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
120119rabex 4440 . . . . . . . . . . . 12  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1211, 120eqeltri 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  D  e. 
_V
122121a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  D  e.  _V )
123 rabexg 4439 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  _V  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  e.  _V )
124 mptexg 5944 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  e.  _V  ->  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)  e.  _V )
125122, 123, 1243syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)  e.  _V )
126 funmpt 5451 . . . . . . . . . 10  |-  Fun  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)
127126a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  Fun  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )
128 fvex 5698 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
129128a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e. 
_V )
130 suppssdm 6702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) supp  ( 0g `  G ) )  C_  dom  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)
131117dmmptss 5331 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }
132130, 131sstri 3362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) supp  ( 0g `  G ) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }
133132a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  (
( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) supp  ( 0g `  G ) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } )
134 suppssfifsupp 7631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } 
|->  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X )  e.  _V  /\ 
Fun  ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } 
|->  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X )  /\  ( 0g `  G )  e. 
_V )  /\  ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) }  e.  Fin  /\  (
( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) supp  ( 0g `  G ) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } ) )  ->  ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  m ) } 
|->  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
135125, 127, 129, 94, 133, 134syl32anc 1221 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) finSupp  ( 0g `  G
) )
1365, 83, 115, 94, 118, 135gsumcl 16390 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )  e.  B
)
137 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  =  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
138136, 137fmptd 5864 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) : S --> B )
1391, 2psrbagconf1o 17422 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
1403, 4, 139syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
141 f1ocnv 5650 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  `' (
m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S )
142 f1of 5638 . . . . . . 7  |-  ( `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  `' (
m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S --> S )
143140, 141, 1423syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) : S --> S )
144 fco 5565 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) : S --> B  /\  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S --> S )  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) : S --> B )
145138, 143, 144syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) : S --> B )
146 coass 5353 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) )
147 f1ococnv2 5664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) : S -1-1-onto-> S  ->  ( (
m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  (  _I  |`  S )
)
148140, 147syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
)  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) )  =  (  _I  |`  S ) )
149148coeq2d 4998 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m
) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) ) ) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) ) )
150146, 149syl5eq 2485 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) ) )
151 eqidd 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m ) )  =  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )
152 eqidd 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
153 breq2 4293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  ( x  oR  <_  n  <->  x  oR  <_  ( F  oF  -  m )
) )
154153rabbidv 2962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  n }  =  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) } )
155 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  oF  -  j
)  e.  _V
156 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k Y
157 psrass1lem.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  oF  -  j )  ->  X  =  Y )
158155, 156, 157csbief 3310 . . . . . . . . . . . 12  |-  [_ (
n  oF  -  j )  /  k ]_ X  =  Y
159 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  ( n  oF  -  j )  =  ( ( F  oF  -  m )  oF  -  j
) )
160159csbeq1d 3292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  [_ ( n  oF  -  j )  /  k ]_ X  =  [_ ( ( F  oF  -  m
)  oF  -  j )  /  k ]_ X )
161158, 160syl5eqr 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  Y  =  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
)
162154, 161mpteq12dv 4367 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y )  =  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) )
163162oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( F  oF  -  m )  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
16491, 151, 152, 163fmptco 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )
165164coeq1d 4997 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) )
166 coires1 5352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )
167 ssid 3372 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  S
168 resmpt 5153 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  S  ->  (
( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
169167, 168ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  |`  S )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )
170166, 169eqtri 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )
171170a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  (  _I  |`  S ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
172150, 165, 1713eqtr3d 2481 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
173172feq1d 5543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( m  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )  o.  `' ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) : S --> B 
<->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) : S --> B ) )
174145, 173mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) : S --> B )
175 rabexg 4439 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  _V  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  F }  e.  _V )
176121, 175mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }  e.  _V )
1772, 176syl5eqel 2525 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
178 mptexg 5944 . . . . . 6  |-  ( S  e.  _V  ->  (
n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  e.  _V )
179177, 178syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  e.  _V )
180 funmpt 5451 . . . . . 6  |-  Fun  (
n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )
181180a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Fun  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )
182128a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  _V )
183 suppssdm 6702 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) supp  ( 0g `  G ) )  C_  dom  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )
184 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  =  ( n  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )
185184dmmptss 5331 . . . . . . 7  |-  dom  (
n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  C_  S
186183, 185sstri 3362 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) supp  ( 0g `  G ) )  C_  S
187186a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  S
)
188 suppssfifsupp 7631 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  /\  ( 0g
`  G )  e. 
_V )  /\  ( S  e.  Fin  /\  (
( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) supp  ( 0g `  G ) )  C_  S ) )  -> 
( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) finSupp  ( 0g `  G ) )
189179, 181, 182, 86, 187, 188syl32anc 1221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) finSupp  ( 0g `  G ) )
1905, 83, 6, 86, 174, 189, 140gsumf1o 16391 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) ) )
191164oveq2d 6106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) )  o.  ( m  e.  S  |->  ( F  oF  -  m )
) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
192190, 191eqtrd 2473 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  m
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
1936adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  G  e. CMnd )
194121a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  D  e.  _V )
195 rabexg 4439 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  _V  ->  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  _V )
196 mptexg 5944 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  e.  _V  ->  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  e.  _V )
197194, 195, 1963syl 20 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )  e.  _V )
198 funmpt 5451 . . . . . . . 8  |-  Fun  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )
199198a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  Fun  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) )
200128a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e. 
_V )
201 suppssdm 6702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  dom  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X )
20210dmmptss 5331 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) 
C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }
203201, 202sstri 3362 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }
204203a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } )
205 suppssfifsupp 7631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  e.  _V  /\ 
Fun  ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  /\  ( 0g `  G )  e. 
_V )  /\  ( { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) }  e.  Fin  /\  (
( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) } ) )  ->  ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
206197, 199, 200, 105, 204, 205syl32anc 1221 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  (
k  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) finSupp 
( 0g `  G
) )
2075, 83, 193, 105, 11, 206, 22gsumf1o 16391 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) ) ) )
20873oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  j ) } 
|->  X )  o.  (
m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  ( ( F  oF  -  j )  oF  -  m ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
209207, 208eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) )  =  ( G 
gsumg  ( m  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) )
210209mpteq2dva 4375 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) ) )  =  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) )
211210oveq2d 6106 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( m  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  [_ (
( F  oF  -  m )  oF  -  j )  /  k ]_ X
) ) ) ) )
212114, 192, 2113eqtr4d 2483 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  n }  |->  Y ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( j  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  j
) }  |->  X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970   [_csb 3285    C_ wss 3325   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    _I cid 4627    X. cxp 4834   `'ccnv 4835   dom cdm 4836    |` cres 4838   "cima 4839    o. ccom 4840   Fun wfun 5409   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092    oFcof 6317    oRcofr 6318   supp csupp 6689    ^m cmap 7210   Fincfn 7306   finSupp cfsupp 7616   CCcc 9276    <_ cle 9415    - cmin 9591   NNcn 10318   NN0cn0 10575   Basecbs 14170   0gc0g 14374    gsumg cgsu 14375  CMndccmn 16270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272
This theorem is referenced by:  psrass1  17456
  Copyright terms: Public domain W3C validator