Theorem psrass1lem 17425

Description: A group sum commutation used by psrass1 17456. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbagconf1o.1	|- S = { y e. D | y oR <_ F }
gsumbagdiag.i	|- ( ph -> I e. V )
gsumbagdiag.f	|- ( ph -> F e. D )
gsumbagdiag.b	|- B = ( Base ` G )
gsumbagdiag.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumbagdiag.x	|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> X e. B )
psrass1lem.y	|- ( k = ( n oF - j ) -> X = Y )

Assertion

Ref	Expression
psrass1lem	|- ( ph -> ( G gsumg ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, j, k, n, x, y, F   f, G, j, k, n, x, y   n, V, x, y   f, I, n, x, y   ph, j, k   S, j, k, n, x   B, j, k   D, j, k, n, x, y   f, X, n, x, y   f, Y, k, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, f, n)   B( x, y, f, n)   D( f)   S( y, f)   I( j, k)   V( f, j, k)   X( j, k)   Y( j, n)

Proof of Theorem psrass1lem

Dummy variables m z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
2		psrbagconf1o.1	. . . 4 |- S = { y e. D | y oR <_ F }
3		gsumbagdiag.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. V )
4		gsumbagdiag.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. D )
5		gsumbagdiag.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
6		gsumbagdiag.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. CMnd )
7	1, 2, 3, 4	gsumbagdiaglem 17423	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) )
8		gsumbagdiag.x	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> X e. B )
9	8	anassrs 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> X e. B )
10		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) = ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X )
11	9, 10	fmptd 5864	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
12	3	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> I e. V )
13		ssrab2 3434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. D | y oR <_ F } C_ D
14	2, 13	eqsstri 3383	. . . . . . . . . . . . 13 |- S C_ D
15	4	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> F e. D )
16		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> j e. S )
17	1, 2	psrbagconcl 17421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. S )
18	12, 15, 16, 17	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. S )
19	14, 18	sseldi 3351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. D )
20		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } = { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) }
21	1, 20	psrbagconf1o 17422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ ( F oF - j ) e. D ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -1-1-onto-> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
22	12, 19, 21	syl2anc 656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -1-1-onto-> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
23		f1of 5638	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -1-1-onto-> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
25		fco 5565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B /\ ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
26	11, 24, 25	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
27	12	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> I e. V )
28	15	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> F e. D )
29	1	psrbagf 17410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> F : I --> NN0 )
30	27, 28, 29	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> F : I --> NN0 )
31	30	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) e. NN0 )
32	16	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j e. S )
33	14, 32	sseldi 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j e. D )
34	1	psrbagf 17410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. V /\ j e. D ) -> j : I --> NN0 )
35	27, 33, 34	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j : I --> NN0 )
36	35	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( j ` z ) e. NN0 )
37		ssrab2 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } C_ D
38		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
39	37, 38	sseldi 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m e. D )
40	1	psrbagf 17410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. V /\ m e. D ) -> m : I --> NN0 )
41	27, 39, 40	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m : I --> NN0 )
42	41	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( m ` z ) e. NN0 )
43		nn0cn 10585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` z ) e. NN0 -> ( F ` z ) e. CC )
44		nn0cn 10585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j ` z ) e. NN0 -> ( j ` z ) e. CC )
45		nn0cn 10585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m ` z ) e. NN0 -> ( m ` z ) e. CC )
46		sub32 9639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( j ` z ) e. CC /\ ( m ` z ) e. CC ) -> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) )
47	43, 44, 45, 46	syl3an 1255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` z ) e. NN0 /\ ( j ` z ) e. NN0 /\ ( m ` z ) e. NN0 ) -> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) )
48	31, 36, 42, 47	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) )
49	48	mpteq2dva 4375	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) ) )
50		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) e. _V
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) e. _V )
52	30	feqmptd 5741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> F = ( z e. I |-> ( F ` z ) ) )
53	35	feqmptd 5741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j = ( z e. I |-> ( j ` z ) ) )
54	27, 31, 36, 52, 53	offval2 6335	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( F oF - j ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) ) )
55	41	feqmptd 5741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m = ( z e. I |-> ( m ` z ) ) )
56	27, 51, 42, 54, 55	offval2 6335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) = ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) ) )
57		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) e. _V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) e. _V )
59	27, 31, 42, 52, 55	offval2 6335	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( F oF - m ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) ) )
60	27, 58, 36, 59, 53	offval2 6335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - m ) oF - j ) = ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) ) )
61	49, 56, 60	3eqtr4d 2483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) = ( ( F oF - m ) oF - j ) )
62	19	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( F oF - j ) e. D )
63	1, 20	psrbagconcl 17421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. V /\ ( F oF - j ) e. D /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
64	27, 62, 38, 63	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
65	61, 64	eqeltrrd 2516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - m ) oF - j ) e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
66	61	mpteq2dva 4375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) = ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - m ) oF - j ) ) )
67		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n X
68		nfcsb1v 3301	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ n / k ]_ X
69		csbeq1a 3294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> X = [_ n / k ]_ X )
70	67, 68, 69	cbvmpt 4379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) = ( n e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ n / k ]_ X )
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) = ( n e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ n / k ]_ X ) )
72		csbeq1 3288	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( ( F oF - m ) oF - j ) -> [_ n / k ]_ X = [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
73	65, 66, 71, 72	fmptco 5873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) = ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) )
74	73	feq1d 5543	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B <-> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B ) )
75	26, 74	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
76		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) = ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
77	76	fmpt 5861	. . . . . . . 8 |- ( A. m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B <-> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
78	75, 77	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> A. m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
79	78	r19.21bi 2812	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
80	79	anasss 642	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
81	7, 80	syldan 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
82	1, 2, 3, 4, 5, 6, 81	gsumbagdiag 17424	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( m e. S , j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) = ( G gsumg ( j e. S , m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
83		eqid 2441	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
84	1	psrbaglefi 17419	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin )
85	3, 4, 84	syl2anc 656	. . . . 5 |- ( ph -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin )
86	2, 85	syl5eqel 2525	. . . 4 |- ( ph -> S e. Fin )
87	3	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> I e. V )
88	4	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> F e. D )
89		simpr 458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> m e. S )
90	1, 2	psrbagconcl 17421	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ m e. S ) -> ( F oF - m ) e. S )
91	87, 88, 89, 90	syl3anc 1213	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( F oF - m ) e. S )
92	14, 91	sseldi 3351	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( F oF - m ) e. D )
93	1	psrbaglefi 17419	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( F oF - m ) e. D ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. Fin )
94	87, 92, 93	syl2anc 656	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. Fin )
95		xpfi 7579	. . . . 5 |- ( ( S e. Fin /\ S e. Fin ) -> ( S X. S ) e. Fin )
96	86, 86, 95	syl2anc 656	. . . 4 |- ( ph -> ( S X. S ) e. Fin )
97		simprl 750	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> m e. S )
98	7	simpld 456	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> j e. S )
99		brxp 4866	. . . . . . 7 |- ( m ( S X. S ) j <-> ( m e. S /\ j e. S ) )
100	97, 98, 99	sylanbrc 659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> m ( S X. S ) j )
101	100	pm2.24d 143	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> ( -. m ( S X. S ) j -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) ) )
102	101	impr 616	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) /\ -. m ( S X. S ) j ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) )
103	5, 83, 6, 86, 94, 81, 96, 102	gsum2d2 16456	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( m e. S , j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) = ( G gsumg ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
104	1	psrbaglefi 17419	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( F oF - j ) e. D ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. Fin )
105	12, 19, 104	syl2anc 656	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. Fin )
106		simprl 750	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> j e. S )
107	1, 2, 3, 4	gsumbagdiaglem 17423	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) )
108	107	simpld 456	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> m e. S )
109		brxp 4866	. . . . . . 7 |- ( j ( S X. S ) m <-> ( j e. S /\ m e. S ) )
110	106, 108, 109	sylanbrc 659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> j ( S X. S ) m )
111	110	pm2.24d 143	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( -. j ( S X. S ) m -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) ) )
112	111	impr 616	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ -. j ( S X. S ) m ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) )
113	5, 83, 6, 86, 105, 80, 96, 112	gsum2d2 16456	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. S , m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
114	82, 103, 113	3eqtr3d 2481	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
115	6	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> G e. CMnd )
116	81	anassrs 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. S ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
117		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) = ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
118	116, 117	fmptd 5864	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } --> B )
119		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
120	119	rabex 4440	. . . . . . . . . . . 12 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V
121	1, 120	eqeltri 2511	. . . . . . . . . . 11 |- D e. _V
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> D e. _V )
123		rabexg 4439	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. _V -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. _V )
124		mptexg 5944	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. _V -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) e. _V )
125	122, 123, 124	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) e. _V )
126		funmpt 5451	. . . . . . . . . 10 |- Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
127	126	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) )
128		fvex 5698	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) e. _V
129	128	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
130		suppssdm 6702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ dom ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
131	117	dmmptss 5331	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) }
132	130, 131	sstri 3362	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) }
133	132	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } )
134		suppssfifsupp 7631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) e. _V /\ Fun ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) /\ ( 0g ` G ) e. _V ) /\ ( { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. Fin /\ ( ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) finSupp ( 0g ` G ) )
135	125, 127, 129, 94, 133, 134	syl32anc 1221	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) finSupp ( 0g ` G ) )
136	5, 83, 115, 94, 118, 135	gsumcl 16390	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) e. B )
137		eqid 2441	. . . . . . 7 |- ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) = ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
138	136, 137	fmptd 5864	. . . . . 6 |- ( ph -> ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) : S --> B )
139	1, 2	psrbagconf1o 17422	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S )
140	3, 4, 139	syl2anc 656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S )
141		f1ocnv 5650	. . . . . . 7 |- ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S -> `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S )
142		f1of 5638	. . . . . . 7 |- ( `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S -> `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S --> S )
143	140, 141, 142	3syl 20	. . . . . 6 |- ( ph -> `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S --> S )
144		fco 5565	. . . . . 6 |- ( ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) : S --> B /\ `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S --> S ) -> ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) : S --> B )
145	138, 143, 144	syl2anc 656	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) : S --> B )
146		coass 5353	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) )
147		f1ococnv2 5664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S -> ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( _I |` S ) )
148	140, 147	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( _I |` S ) )
149	148	coeq2d 4998	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) )
150	146, 149	syl5eq 2485	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) )
151		eqidd 2442	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) = ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) )
152		eqidd 2442	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
153		breq2 4293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( F oF - m ) -> ( x oR <_ n <-> x oR <_ ( F oF - m ) ) )
154	153	rabbidv 2962	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( F oF - m ) -> { x e. D | x oR <_ n } = { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } )
155		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n oF - j ) e. _V
156		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k Y
157		psrass1lem.y	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n oF - j ) -> X = Y )
158	155, 156, 157	csbief 3310	. . . . . . . . . . . 12 |- [_ ( n oF - j ) / k ]_ X = Y
159		oveq1 6097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( F oF - m ) -> ( n oF - j ) = ( ( F oF - m ) oF - j ) )
160	159	csbeq1d 3292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( F oF - m ) -> [_ ( n oF - j ) / k ]_ X = [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
161	158, 160	syl5eqr 2487	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( F oF - m ) -> Y = [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
162	154, 161	mpteq12dv 4367	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( F oF - m ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) = ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) )
163	162	oveq2d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( F oF - m ) -> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) = ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
164	91, 151, 152, 163	fmptco 5873	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) )
165	164	coeq1d 4997	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) )
166		coires1 5352	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |` S )
167		ssid 3372	. . . . . . . . . 10 |- S C_ S
168		resmpt 5153	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ S -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |` S ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
169	167, 168	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |` S ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) )
170	166, 169	eqtri 2461	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) )
171	170	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
172	150, 165, 171	3eqtr3d 2481	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
173	172	feq1d 5543	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) : S --> B <-> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) : S --> B ) )
174	145, 173	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) : S --> B )
175		rabexg 4439	. . . . . . . 8 |- ( D e. _V -> { y e. D | y oR <_ F } e. _V )
176	121, 175	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( ph -> { y e. D | y oR <_ F } e. _V )
177	2, 176	syl5eqel 2525	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. _V )
178		mptexg 5944	. . . . . 6 |- ( S e. _V -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) e. _V )
179	177, 178	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) e. _V )
180		funmpt 5451	. . . . . 6 |- Fun ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) )
181	180	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> Fun ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
182	128	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0g ` G ) e. _V )
183		suppssdm 6702	. . . . . . 7 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ dom ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) )
184		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) )
185	184	dmmptss 5331	. . . . . . 7 |- dom ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) C_ S
186	183, 185	sstri 3362	. . . . . 6 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ S
187	186	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ S )
188		suppssfifsupp 7631	. . . . 5 |- ( ( ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) e. _V /\ Fun ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) /\ ( 0g ` G ) e. _V ) /\ ( S e. Fin /\ ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ S ) ) -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) finSupp ( 0g ` G ) )
189	179, 181, 182, 86, 187, 188	syl32anc 1221	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) finSupp ( 0g ` G ) )
190	5, 83, 6, 86, 174, 189, 140	gsumf1o 16391	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) ) )
191	164	oveq2d 6106	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) ) = ( G gsumg ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
192	190, 191	eqtrd 2473	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
193	6	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> G e. CMnd )
194	121	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> D e. _V )
195		rabexg 4439	. . . . . . . 8 |- ( D e. _V -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. _V )
196		mptexg 5944	. . . . . . . 8 |- ( { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. _V -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) e. _V )
197	194, 195, 196	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) e. _V )
198		funmpt 5451	. . . . . . . 8 |- Fun ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X )
199	198	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> Fun ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) )
200	128	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
201		suppssdm 6702	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ dom ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X )
202	10	dmmptss 5331	. . . . . . . . 9 |- dom ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) }
203	201, 202	sstri 3362	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) }
204	203	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
205		suppssfifsupp 7631	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) e. _V /\ Fun ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) /\ ( 0g ` G ) e. _V ) /\ ( { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. Fin /\ ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) supp ( 0g ` G ) ) C_ { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) finSupp ( 0g ` G ) )
206	197, 199, 200, 105, 204, 205	syl32anc 1221	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) finSupp ( 0g ` G ) )
207	5, 83, 193, 105, 11, 206, 22	gsumf1o 16391	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) = ( G gsumg ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) ) )
208	73	oveq2d 6106	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( G gsumg ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) ) = ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
209	207, 208	eqtrd 2473	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) = ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
210	209	mpteq2dva 4375	. . 3 |- ( ph -> ( j e. S |-> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) = ( j e. S |-> ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) )
211	210	oveq2d 6106	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
212	114, 192, 211	3eqtr4d 2483	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970   [_csb 3285   C_ wss 3325   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   _I cid 4627   X. cxp 4834   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   |` cres 4838   "cima 4839   o. ccom 4840   Fun wfun 5409   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   e. cmpt2 6092   oFcof 6317   oRcofr 6318   supp csupp 6689   ^m cmap 7210   Fincfn 7306   finSupp cfsupp 7616   CCcc 9276   <_ cle 9415   - cmin 9591   NNcn 10318   NN0cn0 10575   Basecbs 14170   0gc0g 14374   gsum_g cgsu 14375  CMndccmn 16270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272

This theorem is referenced by:  psrass1  17456