MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psraddcl Structured version   Unicode version

Theorem psraddcl 17454
Description: Closure of the power series addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psraddcl.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psraddcl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psraddcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  S )
psraddcl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
psraddcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psraddcl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psraddcl  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem psraddcl
Dummy variables  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psraddcl.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
2 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
42, 3grpcl 15551 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
543expb 1188 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) ) )  ->  ( x ( +g  `  R ) y )  e.  (
Base `  R )
)
61, 5sylan 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
7 psraddcl.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
8 eqid 2443 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
9 psraddcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
10 psraddcl.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
117, 2, 8, 9, 10psrelbas 17450 . . . 4  |-  ( ph  ->  X : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
12 psraddcl.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
137, 2, 8, 9, 12psrelbas 17450 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } --> ( Base `  R ) )
14 ovex 6116 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1514rabex 4443 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  e.  _V )
17 inidm 3559 . . . 4  |-  ( { f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  i^i  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }
186, 11, 13, 16, 16, 17off 6334 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  oF ( +g  `  R
) Y ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
19 fvex 5701 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
2019, 15elmap 7241 . . 3  |-  ( ( X  oF ( +g  `  R ) Y )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )  <-> 
( X  oF ( +g  `  R
) Y ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  R
) )
2118, 20sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  oF ( +g  `  R
) Y )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } ) )
22 psraddcl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  S )
237, 9, 3, 22, 10, 12psradd 17453 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  =  ( X  oF ( +g  `  R ) Y ) )
24 reldmpsr 17428 . . . . . 6  |-  Rel  dom mPwSer
2524, 7, 9elbasov 14222 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)
2610, 25syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)
2726simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
287, 2, 8, 9, 27psrbas 17448 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( (
Base `  R )  ^m  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } ) )
2921, 23, 283eltr4d 2524 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719   _Vcvv 2972   `'ccnv 4839   "cima 4843   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    oFcof 6318    ^m cmap 7214   Fincfn 7310   NNcn 10322   NN0cn0 10579   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   Grpcgrp 15410   mPwSer cmps 17418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-tset 14257  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-psr 17423
This theorem is referenced by:  psrgrp  17469  psrlmod  17472  psrdi  17479  psrdir  17480  mplsubglem  17510  mplsubglemOLD  17512
  Copyright terms: Public domain W3C validator