MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1mulr Structured version   Unicode version

Theorem psr1mulr 18401
Description: Value of multiplication in a univariate power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psr1plusg.y  |-  Y  =  (PwSer1 `  R )
psr1plusg.s  |-  S  =  ( 1o mPwSer  R )
psr1mulr.n  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
Assertion
Ref Expression
psr1mulr  |-  .x.  =  ( .r `  S )

Proof of Theorem psr1mulr
StepHypRef Expression
1 psr1mulr.n . 2  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
2 psr1plusg.s . . . 4  |-  S  =  ( 1o mPwSer  R )
3 psr1plusg.y . . . . 5  |-  Y  =  (PwSer1 `  R )
43psr1val 18361 . . . 4  |-  Y  =  ( ( 1o ordPwSer  R ) `
 (/) )
5 0ss 3758 . . . . 5  |-  (/)  C_  ( 1o  X.  1o )
65a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  (/)  C_  ( 1o  X.  1o ) )
72, 4, 6opsrmulr 18281 . . 3  |-  ( T. 
->  ( .r `  S
)  =  ( .r
`  Y ) )
87trud 1408 . 2  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  Y
)
91, 8eqtr4i 2428 1  |-  .x.  =  ( .r `  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1399   T. wtru 1400    C_ wss 3406   (/)c0 3728    X. cxp 4928   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   1oc1o 7063   .rcmulr 14726   mPwSer cmps 18136  PwSer1cps1 18350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-mulr 14739  df-ple 14745  df-psr 18141  df-opsr 18145  df-psr1 18355
This theorem is referenced by:  ply1mulr  18404  coe1mul2  18446  coe1mul  18447
  Copyright terms: Public domain W3C validator