MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1cl Structured version   Unicode version

Theorem psr1cl 17471
Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psr1cl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psr1cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psr1cl.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
psr1cl.u  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
psr1cl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
psr1cl  |-  ( ph  ->  U  e.  B )
Distinct variable groups:    x, f,  .0.    f, I, x    x, B    R, f, x    x, D    ph, x    x, V    x, S    x,  .1.
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    U( x, f)    .1. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psr1cl
StepHypRef Expression
1 psrrng.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 psr1cl.o . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
42, 3rngidcl 16663 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
5 psr1cl.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
62, 5rng0cl 16664 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
7 ifcl 3829 . . . . . . 7  |-  ( (  .1.  e.  ( Base `  R )  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  if ( x  =  (
I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
84, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
91, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R
) )
109adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  if ( x  =  (
I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
11 psr1cl.u . . . 4  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1210, 11fmptd 5865 . . 3  |-  ( ph  ->  U : D --> ( Base `  R ) )
13 fvex 5699 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
14 psr1cl.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
15 ovex 6114 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1615rabex 4441 . . . . 5  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1714, 16eqeltri 2511 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1813, 17elmap 7239 . . 3  |-  ( U  e.  ( ( Base `  R )  ^m  D
)  <->  U : D --> ( Base `  R ) )
1912, 18sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  ( (
Base `  R )  ^m  D ) )
20 psrrng.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
21 psr1cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
22 psrrng.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
2320, 2, 14, 21, 22psrbas 17446 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( (
Base `  R )  ^m  D ) )
2419, 23eleqtrrd 2518 1  |-  ( ph  ->  U  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2717   _Vcvv 2970   ifcif 3789   {csn 3875    e. cmpt 4348    X. cxp 4836   `'ccnv 4837   "cima 4841   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    ^m cmap 7212   Fincfn 7308   0cc0 9280   NNcn 10320   NN0cn0 10577   Basecbs 14172   0gc0g 14376   1rcur 16601   Ringcrg 16643   mPwSer cmps 17416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-tset 14255  df-0g 14378  df-mnd 15413  df-grp 15543  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-psr 17421
This theorem is referenced by:  psrlidm  17472  psrlidmOLD  17473  psrridm  17474  psrridmOLD  17475  psrrng  17481  psr1  17482
  Copyright terms: Public domain W3C validator