MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1cl Structured version   Unicode version

Theorem psr1cl 18181
Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrring.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrring.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psr1cl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psr1cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psr1cl.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
psr1cl.u  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
psr1cl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
psr1cl  |-  ( ph  ->  U  e.  B )
Distinct variable groups:    x, f,  .0.    f, I, x    x, B    R, f, x    x, D    ph, x    x, V    x, S    x,  .1.
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    S( f)    U( x, f)    .1. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psr1cl
StepHypRef Expression
1 psrring.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 psr1cl.o . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
42, 3ringidcl 17345 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
5 psr1cl.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
62, 5ring0cl 17346 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
74, 6ifcld 3987 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
81, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R
) )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  if ( x  =  (
I  X.  { 0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
10 psr1cl.u . . . 4  |-  U  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  ( I  X.  {
0 } ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
119, 10fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  U : D --> ( Base `  R ) )
12 fvex 5882 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
13 psr1cl.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
14 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
1513, 14rabex2 4609 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1612, 15elmap 7466 . . 3  |-  ( U  e.  ( ( Base `  R )  ^m  D
)  <->  U : D --> ( Base `  R ) )
1711, 16sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  ( (
Base `  R )  ^m  D ) )
18 psrring.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
19 psr1cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
20 psrring.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
2118, 2, 13, 19, 20psrbas 18156 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( (
Base `  R )  ^m  D ) )
2217, 21eleqtrrd 2548 1  |-  ( ph  ->  U  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109   ifcif 3944   {csn 4032    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   "cima 5011   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   0cc0 9509   NNcn 10556   NN0cn0 10816   Basecbs 14643   0gc0g 14856   1rcur 17279   Ringcrg 17324   mPwSer cmps 18126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-tset 14730  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-psr 18131
This theorem is referenced by:  psrlidm  18182  psrlidmOLD  18183  psrridm  18184  psrridmOLD  18185  psrring  18192  psr1  18193
  Copyright terms: Public domain W3C validator