MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1baslem Structured version   Unicode version

Theorem psr1baslem 18436
Description: The set of finite bags on  1o is just the set of all functions from  1o to  NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
psr1baslem  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }

Proof of Theorem psr1baslem
StepHypRef Expression
1 rabid2 2984 . 2  |-  ( ( NN0  ^m  1o )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' f " NN )  e. 
Fin }  <->  A. f  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( `' f " NN )  e.  Fin )
2 df1o2 7099 . . . 4  |-  1o  =  { (/) }
3 snfi 7554 . . . 4  |-  { (/) }  e.  Fin
42, 3eqeltri 2486 . . 3  |-  1o  e.  Fin
5 cnvimass 5298 . . . 4  |-  ( `' f " NN ) 
C_  dom  f
6 elmapi 7398 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  f : 1o --> NN0 )
7 fdm 5674 . . . . 5  |-  ( f : 1o --> NN0  ->  dom  f  =  1o )
86, 7syl 17 . . . 4  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  dom  f  =  1o )
95, 8syl5sseq 3489 . . 3  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( `' f " NN ) 
C_  1o )
10 ssfi 7695 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  Fin  /\  ( `' f " NN )  C_  1o )  -> 
( `' f " NN )  e.  Fin )
114, 9, 10sylancr 661 . 2  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( `' f " NN )  e.  Fin )
121, 11mprgbir 2767 1  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { f  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2757    C_ wss 3413   (/)c0 3737   {csn 3971   `'ccnv 4941   dom cdm 4942   "cima 4945   -->wf 5521  (class class class)co 6234   1oc1o 7080    ^m cmap 7377   Fincfn 7474   NNcn 10496   NN0cn0 10756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-1o 7087  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-fin 7478
This theorem is referenced by:  psr1bas  18442  ply1basf  18453  ply1plusgfvi  18495  coe1z  18516  coe1mul2  18522  coe1tm  18526  ply1coe  18549  ply1coeOLD  18550  deg1ldg  22676  deg1leb  22679  deg1val  22680  deg1valOLD  22681
  Copyright terms: Public domain W3C validator