MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr0lid Structured version   Unicode version

Theorem psr0lid 18370
Description: The zero element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrgrp.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrgrp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
psr0cl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psr0cl.o  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psr0cl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psr0lid.p  |-  .+  =  ( +g  `  S )
psr0lid.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
psr0lid  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  {  .0.  } )  .+  X )  =  X )
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    .+ ( f)    R( f)    S( f)    V( f)    X( f)    .0. ( f)

Proof of Theorem psr0lid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrgrp.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psr0cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
3 eqid 2404 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 psr0lid.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  S )
5 psrgrp.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
6 psrgrp.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
7 psr0cl.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
8 psr0cl.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
91, 5, 6, 7, 8, 2psr0cl 18369 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } )  e.  B
)
10 psr0lid.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
111, 2, 3, 4, 9, 10psradd 18357 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  {  .0.  } )  .+  X )  =  ( ( D  X.  {  .0.  } )  oF ( +g  `  R
) X ) )
12 ovex 6308 . . . . 5  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
137, 12rabex2 4549 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
15 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
161, 15, 7, 2, 10psrelbas 18354 . . 3  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
17 fvex 5861 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
188, 17eqeltri 2488 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
1918a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
2015, 3, 8grplid 16406 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  R ) )  -> 
(  .0.  ( +g  `  R ) x )  =  x )
216, 20sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  (  .0.  ( +g  `  R ) x )  =  x )
2214, 16, 19, 21caofid0l 6552 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  {  .0.  } )  oF ( +g  `  R
) X )  =  X )
2311, 22eqtrd 2445 1  |-  ( ph  ->  ( ( D  X.  {  .0.  } )  .+  X )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407    e. wcel 1844   {crab 2760   _Vcvv 3061   {csn 3974    X. cxp 4823   `'ccnv 4824   "cima 4828   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    oFcof 6521    ^m cmap 7459   Fincfn 7556   NNcn 10578   NN0cn0 10838   Basecbs 14843   +g cplusg 14911   0gc0g 15056   Grpcgrp 16379   mPwSer cmps 18322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-tset 14930  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-grp 16383  df-psr 18327
This theorem is referenced by:  psrgrp  18373  psr0  18374
  Copyright terms: Public domain W3C validator