MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr0cl Structured version   Unicode version

Theorem psr0cl 18367
Description: The zero element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrgrp.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrgrp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
psr0cl.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psr0cl.o  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
psr0cl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
psr0cl  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } )  e.  B
)
Distinct variable group:    f, I
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    R( f)    S( f)    V( f)    .0. ( f)

Proof of Theorem psr0cl
StepHypRef Expression
1 psrgrp.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
2 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 psr0cl.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
42, 3grpidcl 16402 . . . 4  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
5 fconst6g 5757 . . . 4  |-  (  .0. 
e.  ( Base `  R
)  ->  ( D  X.  {  .0.  } ) : D --> ( Base `  R ) )
61, 4, 53syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } ) : D --> ( Base `  R )
)
7 fvex 5859 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
8 psr0cl.d . . . . 5  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
9 ovex 6306 . . . . 5  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
108, 9rabex2 4547 . . . 4  |-  D  e. 
_V
117, 10elmap 7485 . . 3  |-  ( ( D  X.  {  .0.  } )  e.  ( (
Base `  R )  ^m  D )  <->  ( D  X.  {  .0.  } ) : D --> ( Base `  R ) )
126, 11sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  D )
)
13 psrgrp.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
14 psr0cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
15 psrgrp.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
1613, 2, 8, 14, 15psrbas 18350 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( (
Base `  R )  ^m  D ) )
1712, 16eleqtrrd 2493 1  |-  ( ph  ->  ( D  X.  {  .0.  } )  e.  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2758   _Vcvv 3059   {csn 3972    X. cxp 4821   `'ccnv 4822   "cima 4826   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    ^m cmap 7457   Fincfn 7554   NNcn 10576   NN0cn0 10836   Basecbs 14841   0gc0g 15054   Grpcgrp 16377   mPwSer cmps 18320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-tset 14928  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-psr 18325
This theorem is referenced by:  psr0lid  18368  psrgrp  18371  psr0  18372  mplsubglem  18413  mplsubglemOLD  18415
  Copyright terms: Public domain W3C validator