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Theorem psmettri2 20001
Description: Triangle inequality for the distance function of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmettri2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A ) +e ( C D B ) ) )

Proof of Theorem psmettri2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anass 969 . . . 4  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )  <->  ( a  e.  X  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) ) )
2 elfvex 5816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  X  e.  _V )
3 ispsmet 19996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  (PsMet `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. a  e.  X  ( (
a D a )  =  0  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  (
a D b )  <_  ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( D  e.  (PsMet `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  A. a  e.  X  ( ( a D a )  =  0  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( a D b )  <_  (
( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
54ibi 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. a  e.  X  (
( a D a )  =  0  /\ 
A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
65simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  A. a  e.  X  ( (
a D a )  =  0  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  (
a D b )  <_  ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
76r19.21bi 2910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  a  e.  X )  ->  (
( a D a )  =  0  /\ 
A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
87simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  a  e.  X )  ->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) ) )
98r19.21bi 2910 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  a  e.  X )  /\  b  e.  X )  ->  A. c  e.  X  ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) ) )
109r19.21bi 2910 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  a  e.  X
)  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X )  ->  (
a D b )  <_  ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
1110anasss 647 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  a  e.  X )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) ) )
1211anasss 647 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )
131, 12sylan2b 475 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) ) )
1413ralrimivvva 2905 . 2  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) ) )
15 3anrot 970 . . 3  |-  ( ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)
16 oveq1 6197 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
a D b )  =  ( A D b ) )
17 oveq2 6198 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
c D a )  =  ( c D A ) )
1817oveq1d 6205 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( c D a ) +e ( c D b ) )  =  ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) )
1916, 18breq12d 4403 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) )  <-> 
( A D b )  <_  ( (
c D A ) +e ( c D b ) ) ) )
20 oveq2 6198 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( A D b )  =  ( A D B ) )
21 oveq2 6198 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
c D b )  =  ( c D B ) )
2221oveq2d 6206 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( c D A ) +e ( c D b ) )  =  ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) )
2320, 22breq12d 4403 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( A D b )  <_  ( (
c D A ) +e ( c D b ) )  <-> 
( A D B )  <_  ( (
c D A ) +e ( c D B ) ) ) )
24 oveq1 6197 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
c D A )  =  ( C D A ) )
25 oveq1 6197 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
c D B )  =  ( C D B ) )
2624, 25oveq12d 6208 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  (
( c D A ) +e ( c D B ) )  =  ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
2726breq2d 4402 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( A D B )  <_  ( (
c D A ) +e ( c D B ) )  <-> 
( A D B )  <_  ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2819, 23, 27rspc3v 3179 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( a D b )  <_  (
( c D a ) +e ( c D b ) )  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2915, 28sylbi 195 . 2  |-  ( ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( a D b )  <_  (
( c D a ) +e ( c D b ) )  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
3014, 29mpan9 469 1  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3068   class class class wbr 4390    X. cxp 4936   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   0cc0 9383   RR*cxr 9518    <_ cle 9520   +ecxad 11188  PsMetcpsmet 17909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-map 7316  df-xr 9523  df-psmet 17918
This theorem is referenced by:  psmetsym  20002  psmettri  20003  psmetge0  20004  psmetres2  20006  xblss2ps  20092  metideq  26454  metider  26455  pstmxmet  26458
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