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Theorem psmettri2 20548
Description: Triangle inequality for the distance function of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmettri2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A ) +e ( C D B ) ) )

Proof of Theorem psmettri2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anass 977 . . . 4  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )  <->  ( a  e.  X  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) ) )
2 elfvex 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  X  e.  _V )
3 ispsmet 20543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  (PsMet `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. a  e.  X  ( (
a D a )  =  0  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  (
a D b )  <_  ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( D  e.  (PsMet `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  A. a  e.  X  ( ( a D a )  =  0  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( a D b )  <_  (
( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
54ibi 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. a  e.  X  (
( a D a )  =  0  /\ 
A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
65simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  A. a  e.  X  ( (
a D a )  =  0  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  (
a D b )  <_  ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
76r19.21bi 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  a  e.  X )  ->  (
( a D a )  =  0  /\ 
A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
87simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  a  e.  X )  ->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) ) )
98r19.21bi 2833 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  a  e.  X )  /\  b  e.  X )  ->  A. c  e.  X  ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) ) )
109r19.21bi 2833 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  a  e.  X
)  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X )  ->  (
a D b )  <_  ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
1110anasss 647 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  a  e.  X )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) ) )
1211anasss 647 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) ) )  -> 
( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) )
131, 12sylan2b 475 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) ) )
1413ralrimivvva 2886 . 2  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) ) )
15 3anrot 978 . . 3  |-  ( ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  <->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)
16 oveq1 6289 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
a D b )  =  ( A D b ) )
17 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
c D a )  =  ( c D A ) )
1817oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( c D a ) +e ( c D b ) )  =  ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) )
1916, 18breq12d 4460 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) )  <-> 
( A D b )  <_  ( (
c D A ) +e ( c D b ) ) ) )
20 oveq2 6290 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( A D b )  =  ( A D B ) )
21 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
c D b )  =  ( c D B ) )
2221oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( c D A ) +e ( c D b ) )  =  ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) )
2320, 22breq12d 4460 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( A D b )  <_  ( (
c D A ) +e ( c D b ) )  <-> 
( A D B )  <_  ( (
c D A ) +e ( c D B ) ) ) )
24 oveq1 6289 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
c D A )  =  ( C D A ) )
25 oveq1 6289 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
c D B )  =  ( C D B ) )
2624, 25oveq12d 6300 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  (
( c D A ) +e ( c D B ) )  =  ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
2726breq2d 4459 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( A D B )  <_  ( (
c D A ) +e ( c D B ) )  <-> 
( A D B )  <_  ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2819, 23, 27rspc3v 3226 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( a D b )  <_  (
( c D a ) +e ( c D b ) )  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2915, 28sylbi 195 . 2  |-  ( ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( a D b )  <_  (
( c D a ) +e ( c D b ) )  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
3014, 29mpan9 469 1  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488   RR*cxr 9623    <_ cle 9625   +ecxad 11312  PsMetcpsmet 18173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419  df-xr 9628  df-psmet 18182
This theorem is referenced by:  psmetsym  20549  psmettri  20550  psmetge0  20551  psmetres2  20553  xblss2ps  20639  metideq  27508  metider  27509  pstmxmet  27512
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