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Theorem psmetres2 18298
Description: Restriction of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetres2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  (PsMet `  R )
)

Proof of Theorem psmetres2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psmetf 18290 . . . . 5  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR* )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
3 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  R  C_  X )
4 xpss12 4940 . . . . 5  |-  ( ( R  C_  X  /\  R  C_  X )  -> 
( R  X.  R
)  C_  ( X  X.  X ) )
53, 3, 4syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( R  X.  R )  C_  ( X  X.  X
) )
6 fssres 5569 . . . 4  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  ( R  X.  R )  C_  ( X  X.  X ) )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R
) ) : ( R  X.  R ) -->
RR* )
72, 5, 6syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) ) : ( R  X.  R
) --> RR* )
8 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  a  e.  R )
98, 8ovresd 6173 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a )  =  ( a D a ) )
10 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
113sselda 3308 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  a  e.  X )
12 psmet0 18292 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  a  e.  X )  ->  (
a D a )  =  0 )
1310, 11, 12syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  (
a D a )  =  0 )
149, 13eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a )  =  0 )
1510adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R
)  /\  b  e.  R )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
1615adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
173ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R
)  /\  b  e.  R )  ->  R  C_  X )
1817sselda 3308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  c  e.  X )
1911adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R
)  /\  b  e.  R )  ->  a  e.  X )
2019adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  a  e.  X )
213adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  R  C_  X )
2221sselda 3308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R
)  /\  b  e.  R )  ->  b  e.  X )
2322adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  b  e.  X )
24 psmettri2 18293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  (
c  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) + e
( c D b ) ) )
2516, 18, 20, 23, 24syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  (
a D b )  <_  ( ( c D a ) + e ( c D b ) ) )
268adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R
)  /\  b  e.  R )  ->  a  e.  R )
27 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R
)  /\  b  e.  R )  ->  b  e.  R )
2826, 27ovresd 6173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R
)  /\  b  e.  R )  ->  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b )  =  ( a D b ) )
2928adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b )  =  ( a D b ) )
30 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  c  e.  R )
3126adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  a  e.  R )
3230, 31ovresd 6173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  (
c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a )  =  ( c D a ) )
3327adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  b  e.  R )
3430, 33ovresd 6173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  (
c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b )  =  ( c D b ) )
3532, 34oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  (
( c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a ) + e ( c ( D  |`  ( R  X.  R ) ) b ) )  =  ( ( c D a ) + e
( c D b ) ) )
3625, 29, 353brtr4d 4202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b )  <_  ( ( c ( D  |`  ( R  X.  R ) ) a ) + e
( c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b ) ) )
3736ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R
)  /\  b  e.  R )  ->  A. c  e.  R  ( a
( D  |`  ( R  X.  R ) ) b )  <_  (
( c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a ) + e ( c ( D  |`  ( R  X.  R ) ) b ) ) )
3837ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  A. b  e.  R  A. c  e.  R  ( a
( D  |`  ( R  X.  R ) ) b )  <_  (
( c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a ) + e ( c ( D  |`  ( R  X.  R ) ) b ) ) )
3914, 38jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  (
( a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a )  =  0  /\  A. b  e.  R  A. c  e.  R  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b )  <_  ( ( c ( D  |`  ( R  X.  R ) ) a ) + e
( c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b ) ) ) )
4039ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  A. a  e.  R  ( (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a )  =  0  /\  A. b  e.  R  A. c  e.  R  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b )  <_  ( ( c ( D  |`  ( R  X.  R ) ) a ) + e
( c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b ) ) ) )
417, 40jca 519 . 2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  (
( D  |`  ( R  X.  R ) ) : ( R  X.  R ) --> RR*  /\  A. a  e.  R  (
( a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a )  =  0  /\  A. b  e.  R  A. c  e.  R  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b )  <_  ( ( c ( D  |`  ( R  X.  R ) ) a ) + e
( c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b ) ) ) ) )
42 elfvex 5717 . . . . 5  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  X  e.  _V )
4342adantr 452 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  X  e.  _V )
44 ssexg 4309 . . . 4  |-  ( ( R  C_  X  /\  X  e.  _V )  ->  R  e.  _V )
453, 43, 44syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  R  e.  _V )
46 ispsmet 18288 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  (
( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  (PsMet `  R
)  <->  ( ( D  |`  ( R  X.  R
) ) : ( R  X.  R ) -->
RR*  /\  A. a  e.  R  ( (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a )  =  0  /\  A. b  e.  R  A. c  e.  R  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b )  <_  ( ( c ( D  |`  ( R  X.  R ) ) a ) + e
( c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b ) ) ) ) ) )
4745, 46syl 16 . 2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  (
( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  (PsMet `  R
)  <->  ( ( D  |`  ( R  X.  R
) ) : ( R  X.  R ) -->
RR*  /\  A. a  e.  R  ( (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a )  =  0  /\  A. b  e.  R  A. c  e.  R  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b )  <_  ( ( c ( D  |`  ( R  X.  R ) ) a ) + e
( c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b ) ) ) ) ) )
4841, 47mpbird 224 1  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  (PsMet `  R )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    X. cxp 4835    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   RR*cxr 9075    <_ cle 9077   + ecxad 10664  PsMetcpsmet 16640
This theorem is referenced by:  restmetu  18570
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979  df-xr 9080  df-psmet 16649
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