Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetres2 Structured version   Unicode version

Theorem psmetres2 21252
 Description: Restriction of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetres2 PsMet PsMet

Proof of Theorem psmetres2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psmetf 21244 . . . 4 PsMet
21adantr 466 . . 3 PsMet
3 simpr 462 . . . 4 PsMet
4 xpss12 4960 . . . 4
53, 3, 4syl2anc 665 . . 3 PsMet
62, 5fssresd 5767 . 2 PsMet
7 simpr 462 . . . . . 6 PsMet
87, 7ovresd 6451 . . . . 5 PsMet
9 simpll 758 . . . . . 6 PsMet PsMet
103sselda 3470 . . . . . 6 PsMet
11 psmet0 21246 . . . . . 6 PsMet
129, 10, 11syl2anc 665 . . . . 5 PsMet
138, 12eqtrd 2470 . . . 4 PsMet
149ad2antrr 730 . . . . . . . 8 PsMet PsMet
153ad2antrr 730 . . . . . . . . 9 PsMet
1615sselda 3470 . . . . . . . 8 PsMet
1710ad2antrr 730 . . . . . . . 8 PsMet
183adantr 466 . . . . . . . . . 10 PsMet
1918sselda 3470 . . . . . . . . 9 PsMet
2019adantr 466 . . . . . . . 8 PsMet
21 psmettri2 21247 . . . . . . . 8 PsMet
2214, 16, 17, 20, 21syl13anc 1266 . . . . . . 7 PsMet
237adantr 466 . . . . . . . . 9 PsMet
24 simpr 462 . . . . . . . . 9 PsMet
2523, 24ovresd 6451 . . . . . . . 8 PsMet
2625adantr 466 . . . . . . 7 PsMet
27 simpr 462 . . . . . . . . 9 PsMet
287ad2antrr 730 . . . . . . . . 9 PsMet
2927, 28ovresd 6451 . . . . . . . 8 PsMet
3024adantr 466 . . . . . . . . 9 PsMet
3127, 30ovresd 6451 . . . . . . . 8 PsMet
3229, 31oveq12d 6323 . . . . . . 7 PsMet
3322, 26, 323brtr4d 4456 . . . . . 6 PsMet
3433ralrimiva 2846 . . . . 5 PsMet
3534ralrimiva 2846 . . . 4 PsMet
3613, 35jca 534 . . 3 PsMet
3736ralrimiva 2846 . 2 PsMet
38 elfvex 5908 . . . . 5 PsMet
3938adantr 466 . . . 4 PsMet
4039, 3ssexd 4572 . . 3 PsMet
41 ispsmet 21242 . . 3 PsMet
4240, 41syl 17 . 2 PsMet PsMet
436, 37, 42mpbir2and 930 1 PsMet PsMet
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  cvv 3087   wss 3442   class class class wbr 4426   cxp 4852   cres 4856  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc0 9538  cxr 9673   cle 9675  cxad 11407  PsMetcpsmet 18880 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-map 7482  df-xr 9678  df-psmet 18888 This theorem is referenced by:  restmetu  21507
 Copyright terms: Public domain W3C validator