MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetge0 Structured version   Unicode version

Theorem psmetge0 20006
Description: The distance function of a pseudometric space is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetge0  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  0  <_  ( A D B ) )

Proof of Theorem psmetge0
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
2 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
3 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
4 psmettri2 20003 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( B D B )  <_  (
( A D B ) +e ( A D B ) ) )
51, 2, 3, 3, 4syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B D B )  <_ 
( ( A D B ) +e
( A D B ) ) )
6 psmet0 20002 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  B  e.  X )  ->  ( B D B )  =  0 )
763adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B D B )  =  0 )
8 2re 10494 . . . . 5  |-  2  e.  RR
9 rexr 9532 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR  ->  2  e.  RR* )
10 xmul01 11333 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR*  ->  ( 2 xe 0 )  =  0 )
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4  |-  ( 2 xe 0 )  =  0
127, 11syl6reqr 2511 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
2 xe 0 )  =  ( B D B ) )
13 psmetcl 20001 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e. 
RR* )
14 x2times 11365 . . . 4  |-  ( ( A D B )  e.  RR*  ->  ( 2 xe ( A D B ) )  =  ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
2 xe ( A D B ) )  =  ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
165, 12, 153brtr4d 4422 . 2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
2 xe 0 )  <_  ( 2 xe ( A D B ) ) )
17 0xr 9533 . . . 4  |-  0  e.  RR*
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  0  e.  RR* )
19 2rp 11099 . . . 4  |-  2  e.  RR+
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  2  e.  RR+ )
21 xlemul2 11357 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( A D B )  e. 
RR*  /\  2  e.  RR+ )  ->  ( 0  <_  ( A D B )  <->  ( 2 xe 0 )  <_  ( 2 xe ( A D B ) ) ) )
2218, 13, 20, 21syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
0  <_  ( A D B )  <->  ( 2 xe 0 )  <_  ( 2 xe ( A D B ) ) ) )
2316, 22mpbird 232 1  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  0  <_  ( A D B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4392   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   RRcr 9384   0cc0 9385   RR*cxr 9520    <_ cle 9522   2c2 10474   RR+crp 11094   +ecxad 11190   xecxmu 11191  PsMetcpsmet 17911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-2 10483  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-psmet 17920
This theorem is referenced by:  psmetxrge0  20007  psmetlecl  20009  xblpnfps  20088  xblss2ps  20094  metustexhalf  20257  blval2  20268  metuel2  20272  metider  26457
  Copyright terms: Public domain W3C validator