MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetge0 Structured version   Unicode version

Theorem psmetge0 20920
Description: The distance function of a pseudometric space is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetge0  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  0  <_  ( A D B ) )

Proof of Theorem psmetge0
StepHypRef Expression
1 simp1 994 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
2 simp2 995 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
3 simp3 996 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
4 psmettri2 20917 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( B D B )  <_  (
( A D B ) +e ( A D B ) ) )
51, 2, 3, 3, 4syl13anc 1228 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B D B )  <_ 
( ( A D B ) +e
( A D B ) ) )
6 psmet0 20916 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  B  e.  X )  ->  ( B D B )  =  0 )
763adant2 1013 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B D B )  =  0 )
8 2re 10540 . . . . 5  |-  2  e.  RR
9 rexr 9568 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR  ->  2  e.  RR* )
10 xmul01 11398 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR*  ->  ( 2 xe 0 )  =  0 )
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4  |-  ( 2 xe 0 )  =  0
127, 11syl6reqr 2452 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
2 xe 0 )  =  ( B D B ) )
13 psmetcl 20915 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e. 
RR* )
14 x2times 11430 . . . 4  |-  ( ( A D B )  e.  RR*  ->  ( 2 xe ( A D B ) )  =  ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
2 xe ( A D B ) )  =  ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
165, 12, 153brtr4d 4410 . 2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
2 xe 0 )  <_  ( 2 xe ( A D B ) ) )
17 0xr 9569 . . . 4  |-  0  e.  RR*
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  0  e.  RR* )
19 2rp 11162 . . . 4  |-  2  e.  RR+
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  2  e.  RR+ )
21 xlemul2 11422 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( A D B )  e. 
RR*  /\  2  e.  RR+ )  ->  ( 0  <_  ( A D B )  <->  ( 2 xe 0 )  <_  ( 2 xe ( A D B ) ) ) )
2218, 13, 20, 21syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
0  <_  ( A D B )  <->  ( 2 xe 0 )  <_  ( 2 xe ( A D B ) ) ) )
2316, 22mpbird 232 1  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  0  <_  ( A D B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836   class class class wbr 4380   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   RRcr 9420   0cc0 9421   RR*cxr 9556    <_ cle 9558   2c2 10520   RR+crp 11157   +ecxad 11255   xecxmu 11256  PsMetcpsmet 18534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-op 3964  df-uni 4177  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-er 7247  df-map 7358  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-2 10529  df-rp 11158  df-xneg 11257  df-xadd 11258  df-xmul 11259  df-psmet 18543
This theorem is referenced by:  psmetxrge0  20921  psmetlecl  20923  xblpnfps  21002  xblss2ps  21008  metustexhalf  21171  blval2  21182  metuel2  21186  metider  28058
  Copyright terms: Public domain W3C validator