MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetf Structured version   Unicode version

Theorem psmetf 21253
Description: The distance function of a pseudometric as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetf  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR* )

Proof of Theorem psmetf
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5908 . . . 4  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  X  e.  _V )
2 ispsmet 21251 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  (PsMet `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. a  e.  X  ( (
a D a )  =  0  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  (
a D b )  <_  ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( D  e.  (PsMet `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  A. a  e.  X  ( ( a D a )  =  0  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( a D b )  <_  (
( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
43ibi 244 . 2  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. a  e.  X  (
( a D a )  =  0  /\ 
A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( a D b )  <_  ( (
c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
54simpld 460 1  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   _Vcvv 3087   class class class wbr 4426    X. cxp 4852   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9538   RR*cxr 9673    <_ cle 9675   +ecxad 11407  PsMetcpsmet 18889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-map 7482  df-xr 9678  df-psmet 18897
This theorem is referenced by:  psmetcl  21254  psmetxrge0  21260  psmetres2  21261  metustss  21497  metustid  21500  metustsym  21501  metustexhalf  21502  metustfbas  21503  cfilucfil  21505  blval2  21508  metuel2  21511  restmetu  21516  metideq  28535  pstmxmet  28539
  Copyright terms: Public domain W3C validator