MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetcl Structured version   Unicode version

Theorem psmetcl 20539
Description: Closure of the distance function of a pseudometric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetcl  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e. 
RR* )

Proof of Theorem psmetcl
StepHypRef Expression
1 psmetf 20538 . 2  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR* )
2 fovrn 6420 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
31, 2syl3an1 1256 1  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e. 
RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 968    e. wcel 1762    X. cxp 4990   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RR*cxr 9616  PsMetcpsmet 18166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-map 7412  df-xr 9621  df-psmet 18175
This theorem is referenced by:  psmetsym  20542  psmetge0  20544  psmetlecl  20547  xblpnfps  20626  xblss2ps  20632  blssps  20655  blval2  20806  metuel2  20810  metider  27495
  Copyright terms: Public domain W3C validator