Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnunilem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem psgnunilem3 17215
 Description: Lemma for psgnuni 17218. Any nonempty representation of the identity can be incrementally transformed into a representation two shorter. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnunilem3.g
psgnunilem3.t pmTrsp
psgnunilem3.d
psgnunilem3.w1 Word
psgnunilem3.l
psgnunilem3.w2
psgnunilem3.w3 g
psgnunilem3.in Word g
Assertion
Ref Expression
psgnunilem3
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem psgnunilem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnunilem3.l . . . 4
2 psgnunilem3.w2 . . . 4
31, 2eqeltrrd 2550 . . 3
43nnnn0d 10949 . 2
5 psgnunilem3.w1 . . . . . . 7 Word
6 wrdf 12723 . . . . . . 7 Word ..^
75, 6syl 17 . . . . . 6 ..^
8 0nn0 10908 . . . . . . . . 9
98a1i 11 . . . . . . . 8
103nngt0d 10675 . . . . . . . 8
11 elfzo0 11984 . . . . . . . 8 ..^
129, 3, 10, 11syl3anbrc 1214 . . . . . . 7 ..^
131oveq2d 6324 . . . . . . 7 ..^ ..^
1412, 13eleqtrrd 2552 . . . . . 6 ..^
157, 14ffvelrnd 6038 . . . . 5
16 eqid 2471 . . . . . 6 pmTrsp pmTrsp
17 psgnunilem3.t . . . . . 6 pmTrsp
1816, 17pmtrfmvdn0 17181 . . . . 5
1915, 18syl 17 . . . 4
20 n0 3732 . . . 4
2119, 20sylib 201 . . 3
22 fzonel 11960 . . . . . . . 8 ..^
23 simpr1 1036 . . . . . . . 8 g ..^ ..^ ..^
2422, 23mto 181 . . . . . . 7 g ..^ ..^
2524a1i 11 . . . . . 6 Word g ..^ ..^
2625nrex 2841 . . . . 5 Word g ..^ ..^
27 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
28 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
2928difeq1d 3539 . . . . . . . . . . . 12
3029dmeqd 5042 . . . . . . . . . . 11
3130eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10
32 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
3332raleqdv 2979 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
3427, 31, 333anbi123d 1365 . . . . . . . . 9 ..^ ..^ ..^ ..^
3534anbi2d 718 . . . . . . . 8 g ..^ ..^ g ..^ ..^
3635rexbidv 2892 . . . . . . 7 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
3736imbi2d 323 . . . . . 6 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
38 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
39 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
4039difeq1d 3539 . . . . . . . . . . . . 13
4140dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . 12
4241eleq2d 2534 . . . . . . . . . . 11
43 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
4443raleqdv 2979 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
4538, 42, 443anbi123d 1365 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^ ..^ ..^
4645anbi2d 718 . . . . . . . . 9 g ..^ ..^ g ..^ ..^
4746rexbidv 2892 . . . . . . . 8 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
48 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12 g g
4948eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . 11 g g
50 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
5150eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . 11
5249, 51anbi12d 725 . . . . . . . . . 10 g g
53 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . 14
5453difeq1d 3539 . . . . . . . . . . . . 13
5554dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . 12
5655eleq2d 2534 . . . . . . . . . . 11
57 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5857difeq1d 3539 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . 14
6160notbid 301 . . . . . . . . . . . . 13
6261ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
63 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463difeq1d 3539 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6564dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . 14
6766notbid 301 . . . . . . . . . . . . 13
6867cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
6962, 68syl6bb 269 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
7056, 693anbi23d 1368 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^ ..^ ..^
7152, 70anbi12d 725 . . . . . . . . 9 g ..^ ..^ g ..^ ..^
7271cbvrexv 3006 . . . . . . . 8 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
7347, 72syl6bb 269 . . . . . . 7 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
7473imbi2d 323 . . . . . 6 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
75 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
76 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
7776difeq1d 3539 . . . . . . . . . . . 12
7877dmeqd 5042 . . . . . . . . . . 11
7978eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10
80 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
8180raleqdv 2979 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
8275, 79, 813anbi123d 1365 . . . . . . . . 9 ..^ ..^ ..^ ..^
8382anbi2d 718 . . . . . . . 8 g ..^ ..^ g ..^ ..^
8483rexbidv 2892 . . . . . . 7 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
8584imbi2d 323 . . . . . 6 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
86 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
87 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
8887difeq1d 3539 . . . . . . . . . . . 12
8988dmeqd 5042 . . . . . . . . . . 11
9089eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10
91 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
9291raleqdv 2979 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
9386, 90, 923anbi123d 1365 . . . . . . . . 9 ..^ ..^ ..^ ..^
9493anbi2d 718 . . . . . . . 8 g ..^ ..^ g ..^ ..^
9594rexbidv 2892 . . . . . . 7 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
9695imbi2d 323 . . . . . 6 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
975adantr 472 . . . . . . 7 Word
98 psgnunilem3.w3 . . . . . . . . 9 g
9998, 1jca 541 . . . . . . . 8 g
10099adantr 472 . . . . . . 7 g
10112adantr 472 . . . . . . . 8 ..^
102 simpr 468 . . . . . . . 8
103 ral0 3865 . . . . . . . . . 10
104 fzo0 11969 . . . . . . . . . . 11 ..^
105104raleqi 2977 . . . . . . . . . 10 ..^
106103, 105mpbir 214 . . . . . . . . 9 ..^
107106a1i 11 . . . . . . . 8 ..^
108101, 102, 1073jca 1210 . . . . . . 7 ..^ ..^
109 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11 g g
110109eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10 g g
111 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
112111eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10
113110, 112anbi12d 725 . . . . . . . . 9 g g
114 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . 13
115114difeq1d 3539 . . . . . . . . . . . 12
116115dmeqd 5042 . . . . . . . . . . 11
117116eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10
118 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15
119118difeq1d 3539 . . . . . . . . . . . . . 14
120119dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . . 13
121120eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . 12
122121notbid 301 . . . . . . . . . . 11
123122ralbidv 2829 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
124117, 1233anbi23d 1368 . . . . . . . . 9 ..^ ..^ ..^ ..^
125113, 124anbi12d 725 . . . . . . . 8 g ..^ ..^ g ..^ ..^
126125rspcev 3136 . . . . . . 7 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
12797, 100, 108, 126syl12anc 1290 . . . . . 6 Word g ..^ ..^
128 psgnunilem3.g . . . . . . . . . 10
129 psgnunilem3.d . . . . . . . . . . 11
130129ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10 Word g ..^ ..^
131 simprl 772 . . . . . . . . . 10 Word g ..^ ..^ Word
132 simpll 768 . . . . . . . . . . 11 g ..^ ..^ g
133132ad2antll 743 . . . . . . . . . 10 Word g ..^ ..^ g
134 simplr 770 . . . . . . . . . . 11 g ..^ ..^
135134ad2antll 743 . . . . . . . . . 10 Word g ..^ ..^
136 simpr1 1036 . . . . . . . . . . 11 g ..^ ..^ ..^
137136ad2antll 743 . . . . . . . . . 10 Word g ..^ ..^ ..^
138 simpr2 1037 . . . . . . . . . . 11 g ..^ ..^
139138ad2antll 743 . . . . . . . . . 10 Word g ..^ ..^
140 simpr3 1038 . . . . . . . . . . 11 g ..^ ..^ ..^
141140ad2antll 743 . . . . . . . . . 10 Word g ..^ ..^ ..^
142 psgnunilem3.in . . . . . . . . . . . 12 Word g
143 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
144143eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14
145 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15 g g
146145eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14 g g
147144, 146anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . 13 g g
148147cbvrexv 3006 . . . . . . . . . . . 12 Word g Word g
149142, 148sylnib 311 . . . . . . . . . . 11 Word g
150149ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10 Word g ..^ ..^ Word g
151128, 17, 130, 131, 133, 135, 137, 139, 141, 150psgnunilem2 17214 . . . . . . . . 9 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
152151rexlimdvaa 2872 . . . . . . . 8 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
153152a2i 14 . . . . . . 7 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
154153a1i 11 . . . . . 6 Word g ..^ ..^ Word g ..^ ..^
15537, 74, 85, 96, 127, 154nn0ind 11053 . . . . 5 Word g ..^ ..^
15626, 155mtoi 183 . . . 4
157156con2i 124 . . 3
15821, 157exlimddv 1789 . 2
1594, 158pm2.65i 178 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   cdif 3387  c0 3722   class class class wbr 4395   cid 4749   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   clt 9693   cmin 9880  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  ..^cfzo 11942  chash 12553  Word cword 12703   g cgsu 15417  csymg 17096  pmTrspcpmtr 17160 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-xor 1431  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-s2 13003  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-tset 15287  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-symg 17097  df-pmtr 17161 This theorem is referenced by:  psgnunilem4  17216
 Copyright terms: Public domain W3C validator