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Theorem psgnunilem1 16645
Description: Lemma for psgnuni 16651. Given two consequtive transpositions in a representation of a permutation, either they are equal and therefore equivalent to the identity, or they are not and it is possible to commute them such that a chosen point in the left transposition is preserved in the right. By repeating this process, a point can be removed from a representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnunilem1.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
psgnunilem1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  V )
psgnunilem1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  T )
psgnunilem1.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  T )
psgnunilem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  ( P  \  _I  ) )
Assertion
Ref Expression
psgnunilem1  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, A    P, r, s    Q, r, s    T, r, s
Allowed substitution hints:    ph( s, r)    D( s, r)    V( s, r)

Proof of Theorem psgnunilem1
StepHypRef Expression
1 psgnunilem1.q . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  T )
2 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  (pmTrsp `  D )  =  (pmTrsp `  D )
3 psgnunilem1.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
42, 3pmtrfinv 16613 . . . . . . . 8  |-  ( Q  e.  T  ->  ( Q  o.  Q )  =  (  _I  |`  D ) )
51, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D ) )
6 coeq1 5170 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  Q  ->  ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  Q ) )
76eqeq1d 2459 . . . . . . 7  |-  ( P  =  Q  ->  (
( P  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D )  <->  ( Q  o.  Q )  =  (  _I  |`  D )
) )
85, 7syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  =  Q  ->  ( P  o.  Q )  =  (  _I  |`  D )
) )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( P  =  Q  ->  ( P  o.  Q )  =  (  _I  |`  D ) ) )
109imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =  Q )  ->  ( P  o.  Q )  =  (  _I  |`  D ) )
1110orcd 392 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =  Q )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
12 psgnunilem1.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  T )
132, 3pmtrfcnv 16616 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  T  ->  `' P  =  P )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  `' P  =  P
)
1514eqcomd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =  `' P
)
1615coeq2d 5175 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  =  ( ( P  o.  Q )  o.  `' P ) )
172, 3pmtrff1o 16615 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  T  ->  P : D -1-1-onto-> D )
1812, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P : D -1-1-onto-> D )
192, 3pmtrfconj 16618 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  e.  T  /\  P : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( P  o.  Q
)  o.  `' P
)  e.  T )
201, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  `' P )  e.  T
)
2116, 20eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  e.  T )
2221ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  (
( P  o.  Q
)  o.  P )  e.  T )
2312ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  P  e.  T )
24 coass 5532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P )  o.  P )  =  ( ( P  o.  Q )  o.  ( P  o.  P )
)
252, 3pmtrfinv 16613 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  T  ->  ( P  o.  P )  =  (  _I  |`  D ) )
2612, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  o.  P
)  =  (  _I  |`  D ) )
2726coeq2d 5175 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  ( P  o.  P )
)  =  ( ( P  o.  Q )  o.  (  _I  |`  D ) ) )
28 f1of 5822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P : D -1-1-onto-> D  ->  P : D
--> D )
2918, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P : D --> D )
302, 3pmtrff1o 16615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  T  ->  Q : D -1-1-onto-> D )
311, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q : D -1-1-onto-> D )
32 f1of 5822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q : D -1-1-onto-> D  ->  Q : D
--> D )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q : D --> D )
34 fco 5747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P : D --> D  /\  Q : D --> D )  ->  ( P  o.  Q ) : D --> D )
3529, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  o.  Q
) : D --> D )
36 fcoi1 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  o.  Q ) : D --> D  -> 
( ( P  o.  Q )  o.  (  _I  |`  D ) )  =  ( P  o.  Q ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  (  _I  |`  D ) )  =  ( P  o.  Q ) )
3827, 37eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  ( P  o.  P )
)  =  ( P  o.  Q ) )
3924, 38syl5req 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  o.  Q
)  =  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P )  o.  P ) )
4039ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  o.  P ) )
41 psgnunilem1.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  ( P  \  _I  ) )
4241ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  A  e.  dom  ( P  \  _I  ) )
4318adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  P : D -1-1-onto-> D )
4431adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  Q : D -1-1-onto-> D )
452, 3pmtrfb 16617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  T  <->  ( D  e.  _V  /\  P : D
-1-1-onto-> D  /\  dom  ( P 
\  _I  )  ~~  2o ) )
4645simp3bi 1013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  T  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o )
4712, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o )
4847adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o )
49 2onn 7307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2o  e.  om
50 nnfi 7729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  e.  Fin
522, 3pmtrfb 16617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Q  e.  T  <->  ( D  e.  _V  /\  Q : D
-1-1-onto-> D  /\  dom  ( Q 
\  _I  )  ~~  2o ) )
5352simp3bi 1013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Q  e.  T  ->  dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o )
541, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o )
55 enfi 7755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o  ->  ( dom  ( Q  \  _I  )  e.  Fin  <->  2o  e.  Fin ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( dom  ( Q 
\  _I  )  e. 
Fin 
<->  2o  e.  Fin )
)
5751, 56mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  ( Q  \  _I  )  e.  Fin )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( Q  \  _I  )  e.  Fin )
5941adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  A  e.  dom  ( P 
\  _I  ) )
60 en2eleq 8403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  ( P  \  _I  )  /\  dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o )  ->  dom  ( P  \  _I  )  =  { A ,  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A } ) } )
6159, 48, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  =  { A ,  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A } ) } )
62 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  A  e.  dom  ( Q 
\  _I  ) )
63 f1ofn 5823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P : D -1-1-onto-> D  ->  P  Fn  D )
6418, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  Fn  D )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  P  Fn  D )
66 imassrn 5358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P
" dom  ( Q  \  _I  ) )  C_  ran  P
67 frn 5743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P : D --> D  ->  ran  P  C_  D )
6866, 67syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P : D --> D  -> 
( P " dom  ( Q  \  _I  )
)  C_  D )
6929, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
)  C_  D )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  -> 
( P " dom  ( Q  \  _I  )
)  C_  D )
71 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) )
72 fnfvima 6151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  Fn  D  /\  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) 
C_  D  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) )  ->  ( P `  A )  e.  ( P " ( P " dom  ( Q 
\  _I  ) ) ) )
7365, 70, 71, 72syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  -> 
( P `  A
)  e.  ( P
" ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
74 difss 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P 
\  _I  )  C_  P
75 dmss 5212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  \  _I  )  C_  P  ->  dom  ( P 
\  _I  )  C_  dom  P )
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  ( P  \  _I  )  C_  dom  P
77 f1odm 5826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P : D -1-1-onto-> D  ->  dom  P  =  D )
7818, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  P  =  D )
7976, 78syl5sseq 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  dom  ( P  \  _I  )  C_  D )
8079, 41sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
81 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  ( P  \  _I  )  =  dom  ( P  \  _I  )
822, 3, 81pmtrffv 16611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  T  /\  A  e.  D )  ->  ( P `  A
)  =  if ( A  e.  dom  ( P  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A } ) ,  A ) )
8312, 80, 82syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( P `  A
)  =  if ( A  e.  dom  ( P  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A } ) ,  A ) )
8441iftrued 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( A  e. 
dom  ( P  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A }
) ,  A )  =  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A }
) )
8583, 84eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P `  A
)  =  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A }
) )
8685adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  -> 
( P `  A
)  =  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A }
) )
87 imaco 5518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  o.  P )
" dom  ( Q  \  _I  ) )  =  ( P " ( P " dom  ( Q 
\  _I  ) ) )
8826imaeq1d 5346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  P ) " dom  ( Q  \  _I  )
)  =  ( (  _I  |`  D ) " dom  ( Q  \  _I  ) ) )
89 difss 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Q 
\  _I  )  C_  Q
90 dmss 5212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Q  \  _I  )  C_  Q  ->  dom  ( Q 
\  _I  )  C_  dom  Q )
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  dom  ( Q  \  _I  )  C_  dom  Q
92 f1odm 5826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Q : D -1-1-onto-> D  ->  dom  Q  =  D )
9391, 92syl5sseq 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Q : D -1-1-onto-> D  ->  dom  ( Q 
\  _I  )  C_  D )
9431, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  dom  ( Q  \  _I  )  C_  D )
95 resiima 5361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  C_  D  ->  (
(  _I  |`  D )
" dom  ( Q  \  _I  ) )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( (  _I  |`  D )
" dom  ( Q  \  _I  ) )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
9788, 96eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  P ) " dom  ( Q  \  _I  )
)  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
9887, 97syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P " ( P " dom  ( Q 
\  _I  ) ) )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  -> 
( P " ( P " dom  ( Q 
\  _I  ) ) )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
10073, 86, 993eltr3d 2559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  U. ( dom  ( P 
\  _I  )  \  { A } )  e. 
dom  ( Q  \  _I  ) )
101 prssi 4188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  U. ( dom  ( P 
\  _I  )  \  { A } )  e. 
dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  { A ,  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A } ) } 
C_  dom  ( Q  \  _I  ) )
10262, 100, 101syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  { A ,  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A }
) }  C_  dom  ( Q  \  _I  )
)
10361, 102eqsstrd 3533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  C_  dom  ( Q 
\  _I  ) )
10454ensymd 7585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2o  ~~  dom  ( Q  \  _I  ) )
105 entr 7586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o  /\  2o  ~~  dom  ( Q 
\  _I  ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  dom  ( Q  \  _I  )
)
10647, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  dom  ( Q  \  _I  ) )
107106adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  dom  ( Q 
\  _I  ) )
108 fisseneq 7750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  ( Q  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( P  \  _I  )  C_  dom  ( Q  \  _I  )  /\  dom  ( P  \  _I  )  ~~  dom  ( Q 
\  _I  ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  =  dom  ( Q  \  _I  )
)
10958, 103, 107, 108syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  =  dom  ( Q 
\  _I  ) )
110109eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( Q  \  _I  )  =  dom  ( P 
\  _I  ) )
111 f1otrspeq 16599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P : D -1-1-onto-> D  /\  Q : D -1-1-onto-> D )  /\  ( dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( Q 
\  _I  )  =  dom  ( P  \  _I  ) ) )  ->  P  =  Q )
11243, 44, 48, 110, 111syl22anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  P  =  Q )
113112expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  P  =  Q ) )
114113necon3ad 2667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( P  =/=  Q  ->  -.  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
115114imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  -.  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) )
11616difeq1d 3617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  )  =  ( (
( P  o.  Q
)  o.  `' P
)  \  _I  )
)
117116dmeqd 5215 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  )  =  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  `' P )  \  _I  ) )
118 f1omvdconj 16598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q : D --> D  /\  P : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  `' P )  \  _I  )  =  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) )
11933, 18, 118syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  `' P ) 
\  _I  )  =  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) )
120117, 119eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  )  =  ( P " dom  ( Q 
\  _I  ) ) )
121120eleq2d 2527 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) 
<->  A  e.  ( P
" dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
122121ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  ( A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P ) 
\  _I  )  <->  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
123115, 122mtbird 301 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  -.  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P ) 
\  _I  ) )
124 coeq1 5170 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  (
r  o.  s )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  o.  s ) )
125124eqeq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  <->  ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  o.  s ) ) )
126 difeq1 3611 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  (
r  \  _I  )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) )
127126dmeqd 5215 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  dom  ( r  \  _I  )  =  dom  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P ) 
\  _I  ) )
128127eleq2d 2527 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  ( A  e.  dom  ( r 
\  _I  )  <->  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) ) )
129128notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  ( -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) 
<->  -.  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) ) )
130125, 1293anbi13d 1301 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  (
( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) )  <->  ( ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) ) ) )
131 coeq2 5171 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  P  ->  (
( ( P  o.  Q )  o.  P
)  o.  s )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  o.  P ) )
132131eqeq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( s  =  P  ->  (
( P  o.  Q
)  =  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P )  o.  s )  <->  ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  o.  P ) ) )
133 difeq1 3611 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  P  ->  (
s  \  _I  )  =  ( P  \  _I  ) )
134133dmeqd 5215 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  P  ->  dom  ( s  \  _I  )  =  dom  ( P 
\  _I  ) )
135134eleq2d 2527 . . . . . . 7  |-  ( s  =  P  ->  ( A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  <->  A  e.  dom  ( P  \  _I  ) ) )
136132, 1353anbi12d 1300 . . . . . 6  |-  ( s  =  P  ->  (
( ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) )  <->  ( ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  o.  P )  /\  A  e.  dom  ( P  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) ) ) )
137130, 136rspc2ev 3221 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  e.  T  /\  P  e.  T  /\  ( ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  o.  P )  /\  A  e.  dom  ( P  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) ) )  ->  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) )
13822, 23, 40, 42, 123, 137syl113anc 1240 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) )
139138olcd 393 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
14011, 139pm2.61dane 2775 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
1411adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  Q  e.  T )
142 coass 5532 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  o.  P )  o.  Q )  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
)
1432, 3pmtrfcnv 16616 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  T  ->  `' Q  =  Q )
1441, 143syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  `' Q  =  Q
)
145144eqcomd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  =  `' Q
)
146145coeq2d 5175 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  P )  o.  Q
)  =  ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q ) )
147142, 146syl5eqr 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
)  =  ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q ) )
1482, 3pmtrfconj 16618 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  T  /\  Q : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( Q  o.  P
)  o.  `' Q
)  e.  T )
14912, 31, 148syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q )  e.  T
)
150147, 149eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
)  e.  T )
151150adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  e.  T )
1525coeq1d 5174 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  Q )  o.  ( P  o.  Q )
)  =  ( (  _I  |`  D )  o.  ( P  o.  Q
) ) )
153 fcoi2 5766 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  o.  Q ) : D --> D  -> 
( (  _I  |`  D )  o.  ( P  o.  Q ) )  =  ( P  o.  Q
) )
15435, 153syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  _I  |`  D )  o.  ( P  o.  Q ) )  =  ( P  o.  Q
) )
155152, 154eqtr2d 2499 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  o.  Q
)  =  ( ( Q  o.  Q )  o.  ( P  o.  Q ) ) )
156 coass 5532 . . . . . 6  |-  ( ( Q  o.  Q )  o.  ( P  o.  Q ) )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q ) ) )
157155, 156syl6eq 2514 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  o.  Q
)  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) ) ) )
158157adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
) ) )
159 f1ofn 5823 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q : D -1-1-onto-> D  ->  Q  Fn  D )
16031, 159syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  Fn  D )
161 fnelnfp 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  Fn  D  /\  A  e.  D )  ->  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  <->  ( Q `  A )  =/=  A ) )
162160, 80, 161syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  <->  ( Q `  A )  =/=  A ) )
163162necon2bbid 2713 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  A )  =  A  <->  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  )
) )
164163biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( Q `  A )  =  A )
165 fnfvima 6151 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  Fn  D  /\  dom  ( P  \  _I  )  C_  D  /\  A  e.  dom  ( P  \  _I  ) )  ->  ( Q `  A )  e.  ( Q " dom  ( P  \  _I  )
) )
166160, 79, 41, 165syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  A
)  e.  ( Q
" dom  ( P  \  _I  ) ) )
167166adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( Q `  A )  e.  ( Q " dom  ( P  \  _I  )
) )
168164, 167eqeltrrd 2546 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  A  e.  ( Q " dom  ( P  \  _I  )
) )
169147difeq1d 3617 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  \  _I  )  =  ( (
( Q  o.  P
)  o.  `' Q
)  \  _I  )
)
170169dmeqd 5215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  \  _I  )  =  dom  ( ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q )  \  _I  ) )
171 f1omvdconj 16598 . . . . . . . 8  |-  ( ( P : D --> D  /\  Q : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q )  \  _I  )  =  ( Q " dom  ( P  \  _I  ) ) )
17229, 31, 171syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q ) 
\  _I  )  =  ( Q " dom  ( P  \  _I  )
) )
173170, 172eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  \  _I  )  =  ( Q " dom  ( P 
\  _I  ) ) )
174173adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  \  _I  )  =  ( Q " dom  ( P  \  _I  ) ) )
175168, 174eleqtrrd 2548 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  A  e.  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  \  _I  ) )
176 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  -.  A  e.  dom  ( Q 
\  _I  ) )
177 coeq1 5170 . . . . . . 7  |-  ( r  =  Q  ->  (
r  o.  s )  =  ( Q  o.  s ) )
178177eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( r  =  Q  ->  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  <->  ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  s ) ) )
179 difeq1 3611 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  Q  ->  (
r  \  _I  )  =  ( Q  \  _I  ) )
180179dmeqd 5215 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  Q  ->  dom  ( r  \  _I  )  =  dom  ( Q 
\  _I  ) )
181180eleq2d 2527 . . . . . . 7  |-  ( r  =  Q  ->  ( A  e.  dom  ( r 
\  _I  )  <->  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) )
182181notbid 294 . . . . . 6  |-  ( r  =  Q  ->  ( -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) 
<->  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  )
) )
183178, 1823anbi13d 1301 . . . . 5  |-  ( r  =  Q  ->  (
( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) )  <->  ( ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
184 coeq2 5171 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  ( Q  o.  s )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
) ) )
185184eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  ( Q  o.  s )  <->  ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q ) ) ) ) )
186 difeq1 3611 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  (
s  \  _I  )  =  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  \  _I  ) )
187186dmeqd 5215 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  dom  ( s  \  _I  )  =  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) ) 
\  _I  ) )
188187eleq2d 2527 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  ( A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  <->  A  e.  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  \  _I  ) ) )
189185, 1883anbi12d 1300 . . . . 5  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  (
( ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( Q  \  _I  ) )  <->  ( ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
) )  /\  A  e.  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
190183, 189rspc2ev 3221 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
)  e.  T  /\  ( ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q ) ) )  /\  A  e.  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( Q  \  _I  ) ) )  ->  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) )
191141, 151, 158, 175, 176, 190syl113anc 1240 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) )
192191olcd 393 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
193140, 192pm2.61dan 791 1  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   {cpr 4034   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    _I cid 4799   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   "cima 5011    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594   omcom 6699   2oc2o 7142    ~~ cen 7532   Fincfn 7535  pmTrspcpmtr 16593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-1o 7148  df-2o 7149  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pmtr 16594
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  16647
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