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Theorem psgnunilem1 16844
Description: Lemma for psgnuni 16850. Given two consequtive transpositions in a representation of a permutation, either they are equal and therefore equivalent to the identity, or they are not and it is possible to commute them such that a chosen point in the left transposition is preserved in the right. By repeating this process, a point can be removed from a representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnunilem1.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
psgnunilem1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  V )
psgnunilem1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  T )
psgnunilem1.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  T )
psgnunilem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  ( P  \  _I  ) )
Assertion
Ref Expression
psgnunilem1  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, A    P, r, s    Q, r, s    T, r, s
Allowed substitution hints:    ph( s, r)    D( s, r)    V( s, r)

Proof of Theorem psgnunilem1
StepHypRef Expression
1 psgnunilem1.q . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  T )
2 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  (pmTrsp `  D )  =  (pmTrsp `  D )
3 psgnunilem1.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
42, 3pmtrfinv 16812 . . . . . . . 8  |-  ( Q  e.  T  ->  ( Q  o.  Q )  =  (  _I  |`  D ) )
51, 4syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D ) )
6 coeq1 4983 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  Q  ->  ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  Q ) )
76eqeq1d 2406 . . . . . . 7  |-  ( P  =  Q  ->  (
( P  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D )  <->  ( Q  o.  Q )  =  (  _I  |`  D )
) )
85, 7syl5ibrcom 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  =  Q  ->  ( P  o.  Q )  =  (  _I  |`  D )
) )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( P  =  Q  ->  ( P  o.  Q )  =  (  _I  |`  D ) ) )
109imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =  Q )  ->  ( P  o.  Q )  =  (  _I  |`  D ) )
1110orcd 392 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =  Q )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
12 psgnunilem1.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  T )
132, 3pmtrfcnv 16815 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  T  ->  `' P  =  P )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  `' P  =  P
)
1514eqcomd 2412 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =  `' P
)
1615coeq2d 4988 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  =  ( ( P  o.  Q )  o.  `' P ) )
172, 3pmtrff1o 16814 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  T  ->  P : D -1-1-onto-> D )
1812, 17syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P : D -1-1-onto-> D )
192, 3pmtrfconj 16817 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  e.  T  /\  P : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( P  o.  Q
)  o.  `' P
)  e.  T )
201, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  `' P )  e.  T
)
2116, 20eqeltrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  e.  T )
2221ad2antrr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  (
( P  o.  Q
)  o.  P )  e.  T )
2312ad2antrr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  P  e.  T )
24 coass 5344 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P )  o.  P )  =  ( ( P  o.  Q )  o.  ( P  o.  P )
)
252, 3pmtrfinv 16812 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  T  ->  ( P  o.  P )  =  (  _I  |`  D ) )
2612, 25syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  o.  P
)  =  (  _I  |`  D ) )
2726coeq2d 4988 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  ( P  o.  P )
)  =  ( ( P  o.  Q )  o.  (  _I  |`  D ) ) )
28 f1of 5801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P : D -1-1-onto-> D  ->  P : D
--> D )
2918, 28syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P : D --> D )
302, 3pmtrff1o 16814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  T  ->  Q : D -1-1-onto-> D )
311, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q : D -1-1-onto-> D )
32 f1of 5801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q : D -1-1-onto-> D  ->  Q : D
--> D )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q : D --> D )
34 fco 5726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P : D --> D  /\  Q : D --> D )  ->  ( P  o.  Q ) : D --> D )
3529, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  o.  Q
) : D --> D )
36 fcoi1 5744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  o.  Q ) : D --> D  -> 
( ( P  o.  Q )  o.  (  _I  |`  D ) )  =  ( P  o.  Q ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  (  _I  |`  D ) )  =  ( P  o.  Q ) )
3827, 37eqtrd 2445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  o.  ( P  o.  P )
)  =  ( P  o.  Q ) )
3924, 38syl5req 2458 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  o.  Q
)  =  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P )  o.  P ) )
4039ad2antrr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  o.  P ) )
41 psgnunilem1.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  ( P  \  _I  ) )
4241ad2antrr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  A  e.  dom  ( P  \  _I  ) )
4318adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  P : D -1-1-onto-> D )
4431adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  Q : D -1-1-onto-> D )
452, 3pmtrfb 16816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  T  <->  ( D  e.  _V  /\  P : D
-1-1-onto-> D  /\  dom  ( P 
\  _I  )  ~~  2o ) )
4645simp3bi 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  T  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o )
4712, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o )
4847adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o )
49 2onn 7328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2o  e.  om
50 nnfi 7750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  e.  Fin
522, 3pmtrfb 16816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Q  e.  T  <->  ( D  e.  _V  /\  Q : D
-1-1-onto-> D  /\  dom  ( Q 
\  _I  )  ~~  2o ) )
5352simp3bi 1016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Q  e.  T  ->  dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o )
541, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o )
55 enfi 7773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  ~~  2o  ->  ( dom  ( Q  \  _I  )  e.  Fin  <->  2o  e.  Fin ) )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( dom  ( Q 
\  _I  )  e. 
Fin 
<->  2o  e.  Fin )
)
5751, 56mpbiri 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  ( Q  \  _I  )  e.  Fin )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( Q  \  _I  )  e.  Fin )
5941adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  A  e.  dom  ( P 
\  _I  ) )
60 en2eleq 8420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  ( P  \  _I  )  /\  dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o )  ->  dom  ( P  \  _I  )  =  { A ,  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A } ) } )
6159, 48, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  =  { A ,  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A } ) } )
62 simprl 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  A  e.  dom  ( Q 
\  _I  ) )
63 f1ofn 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P : D -1-1-onto-> D  ->  P  Fn  D )
6418, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  Fn  D )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  P  Fn  D )
66 imassrn 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P
" dom  ( Q  \  _I  ) )  C_  ran  P
67 frn 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P : D --> D  ->  ran  P  C_  D )
6866, 67syl5ss 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P : D --> D  -> 
( P " dom  ( Q  \  _I  )
)  C_  D )
6929, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
)  C_  D )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  -> 
( P " dom  ( Q  \  _I  )
)  C_  D )
71 simprr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) )
72 fnfvima 6133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  Fn  D  /\  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) 
C_  D  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) )  ->  ( P `  A )  e.  ( P " ( P " dom  ( Q 
\  _I  ) ) ) )
7365, 70, 71, 72syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  -> 
( P `  A
)  e.  ( P
" ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
74 difss 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P 
\  _I  )  C_  P
75 dmss 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  \  _I  )  C_  P  ->  dom  ( P 
\  _I  )  C_  dom  P )
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  ( P  \  _I  )  C_  dom  P
77 f1odm 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P : D -1-1-onto-> D  ->  dom  P  =  D )
7818, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  P  =  D )
7976, 78syl5sseq 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  dom  ( P  \  _I  )  C_  D )
8079, 41sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
81 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  ( P  \  _I  )  =  dom  ( P  \  _I  )
822, 3, 81pmtrffv 16810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  T  /\  A  e.  D )  ->  ( P `  A
)  =  if ( A  e.  dom  ( P  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A } ) ,  A ) )
8312, 80, 82syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( P `  A
)  =  if ( A  e.  dom  ( P  \  _I  ) , 
U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A } ) ,  A ) )
8441iftrued 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  if ( A  e. 
dom  ( P  \  _I  ) ,  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A }
) ,  A )  =  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A }
) )
8583, 84eqtrd 2445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P `  A
)  =  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A }
) )
8685adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  -> 
( P `  A
)  =  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A }
) )
87 imaco 5330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  o.  P )
" dom  ( Q  \  _I  ) )  =  ( P " ( P " dom  ( Q 
\  _I  ) ) )
8826imaeq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  P ) " dom  ( Q  \  _I  )
)  =  ( (  _I  |`  D ) " dom  ( Q  \  _I  ) ) )
89 difss 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Q 
\  _I  )  C_  Q
90 dmss 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Q  \  _I  )  C_  Q  ->  dom  ( Q 
\  _I  )  C_  dom  Q )
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  dom  ( Q  \  _I  )  C_  dom  Q
92 f1odm 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Q : D -1-1-onto-> D  ->  dom  Q  =  D )
9391, 92syl5sseq 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Q : D -1-1-onto-> D  ->  dom  ( Q 
\  _I  )  C_  D )
9431, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  dom  ( Q  \  _I  )  C_  D )
95 resiima 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( dom  ( Q  \  _I  )  C_  D  ->  (
(  _I  |`  D )
" dom  ( Q  \  _I  ) )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( (  _I  |`  D )
" dom  ( Q  \  _I  ) )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
9788, 96eqtrd 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  P ) " dom  ( Q  \  _I  )
)  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
9887, 97syl5eqr 2459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P " ( P " dom  ( Q 
\  _I  ) ) )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  -> 
( P " ( P " dom  ( Q 
\  _I  ) ) )  =  dom  ( Q  \  _I  ) )
10073, 86, 993eltr3d 2506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  U. ( dom  ( P 
\  _I  )  \  { A } )  e. 
dom  ( Q  \  _I  ) )
101 prssi 4130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  U. ( dom  ( P 
\  _I  )  \  { A } )  e. 
dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  { A ,  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A } ) } 
C_  dom  ( Q  \  _I  ) )
10262, 100, 101syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  { A ,  U. ( dom  ( P  \  _I  )  \  { A }
) }  C_  dom  ( Q  \  _I  )
)
10361, 102eqsstrd 3478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  C_  dom  ( Q 
\  _I  ) )
10454ensymd 7606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2o  ~~  dom  ( Q  \  _I  ) )
105 entr 7607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o  /\  2o  ~~  dom  ( Q 
\  _I  ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  dom  ( Q  \  _I  )
)
10647, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  dom  ( Q  \  _I  ) )
107106adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  ~~  dom  ( Q 
\  _I  ) )
108 fisseneq 7768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  ( Q  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( P  \  _I  )  C_  dom  ( Q  \  _I  )  /\  dom  ( P  \  _I  )  ~~  dom  ( Q 
\  _I  ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  =  dom  ( Q  \  _I  )
)
10958, 103, 107, 108syl3anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( P  \  _I  )  =  dom  ( Q 
\  _I  ) )
110109eqcomd 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  dom  ( Q  \  _I  )  =  dom  ( P 
\  _I  ) )
111 f1otrspeq 16798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P : D -1-1-onto-> D  /\  Q : D -1-1-onto-> D )  /\  ( dom  ( P  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( Q 
\  _I  )  =  dom  ( P  \  _I  ) ) )  ->  P  =  Q )
11243, 44, 48, 110, 111syl22anc 1233 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  /\  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) ) )  ->  P  =  Q )
113112expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  P  =  Q ) )
114113necon3ad 2615 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( P  =/=  Q  ->  -.  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
115114imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  -.  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) )
11616difeq1d 3562 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  )  =  ( (
( P  o.  Q
)  o.  `' P
)  \  _I  )
)
117116dmeqd 5028 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  )  =  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  `' P )  \  _I  ) )
118 f1omvdconj 16797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q : D --> D  /\  P : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  `' P )  \  _I  )  =  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) )
11933, 18, 118syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  `' P ) 
\  _I  )  =  ( P " dom  ( Q  \  _I  )
) )
120117, 119eqtrd 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  )  =  ( P " dom  ( Q 
\  _I  ) ) )
121120eleq2d 2474 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) 
<->  A  e.  ( P
" dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
122121ad2antrr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  ( A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P ) 
\  _I  )  <->  A  e.  ( P " dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
123115, 122mtbird 301 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  -.  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P ) 
\  _I  ) )
124 coeq1 4983 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  (
r  o.  s )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  o.  s ) )
125124eqeq2d 2418 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  <->  ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  o.  s ) ) )
126 difeq1 3556 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  (
r  \  _I  )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) )
127126dmeqd 5028 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  dom  ( r  \  _I  )  =  dom  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P ) 
\  _I  ) )
128127eleq2d 2474 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  ( A  e.  dom  ( r 
\  _I  )  <->  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) ) )
129128notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  ( -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) 
<->  -.  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) ) )
130125, 1293anbi13d 1305 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( ( P  o.  Q )  o.  P )  ->  (
( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) )  <->  ( ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) ) ) )
131 coeq2 4984 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  P  ->  (
( ( P  o.  Q )  o.  P
)  o.  s )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  o.  P ) )
132131eqeq2d 2418 . . . . . . 7  |-  ( s  =  P  ->  (
( P  o.  Q
)  =  ( ( ( P  o.  Q
)  o.  P )  o.  s )  <->  ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  o.  P ) ) )
133 difeq1 3556 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  P  ->  (
s  \  _I  )  =  ( P  \  _I  ) )
134133dmeqd 5028 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  P  ->  dom  ( s  \  _I  )  =  dom  ( P 
\  _I  ) )
135134eleq2d 2474 . . . . . . 7  |-  ( s  =  P  ->  ( A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  <->  A  e.  dom  ( P  \  _I  ) ) )
136132, 1353anbi12d 1304 . . . . . 6  |-  ( s  =  P  ->  (
( ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) )  <->  ( ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  o.  P )  /\  A  e.  dom  ( P  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) ) ) )
137130, 136rspc2ev 3173 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  e.  T  /\  P  e.  T  /\  ( ( P  o.  Q )  =  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P
)  o.  P )  /\  A  e.  dom  ( P  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( ( ( P  o.  Q )  o.  P )  \  _I  ) ) )  ->  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) )
13822, 23, 40, 42, 123, 137syl113anc 1244 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) )
139138olcd 393 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
14011, 139pm2.61dane 2723 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
1411adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  Q  e.  T )
142 coass 5344 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  o.  P )  o.  Q )  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
)
1432, 3pmtrfcnv 16815 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  T  ->  `' Q  =  Q )
1441, 143syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  `' Q  =  Q
)
145144eqcomd 2412 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  =  `' Q
)
146145coeq2d 4988 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  P )  o.  Q
)  =  ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q ) )
147142, 146syl5eqr 2459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
)  =  ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q ) )
1482, 3pmtrfconj 16817 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  T  /\  Q : D -1-1-onto-> D )  ->  (
( Q  o.  P
)  o.  `' Q
)  e.  T )
14912, 31, 148syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q )  e.  T
)
150147, 149eqeltrd 2492 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
)  e.  T )
151150adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  e.  T )
1525coeq1d 4987 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  Q )  o.  ( P  o.  Q )
)  =  ( (  _I  |`  D )  o.  ( P  o.  Q
) ) )
153 fcoi2 5745 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  o.  Q ) : D --> D  -> 
( (  _I  |`  D )  o.  ( P  o.  Q ) )  =  ( P  o.  Q
) )
15435, 153syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  _I  |`  D )  o.  ( P  o.  Q ) )  =  ( P  o.  Q
) )
155152, 154eqtr2d 2446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  o.  Q
)  =  ( ( Q  o.  Q )  o.  ( P  o.  Q ) ) )
156 coass 5344 . . . . . 6  |-  ( ( Q  o.  Q )  o.  ( P  o.  Q ) )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q ) ) )
157155, 156syl6eq 2461 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  o.  Q
)  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) ) ) )
158157adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
) ) )
159 f1ofn 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q : D -1-1-onto-> D  ->  Q  Fn  D )
16031, 159syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  Fn  D )
161 fnelnfp 6083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  Fn  D  /\  A  e.  D )  ->  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  <->  ( Q `  A )  =/=  A ) )
162160, 80, 161syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  e.  dom  ( Q  \  _I  )  <->  ( Q `  A )  =/=  A ) )
163162necon2bbid 2661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  A )  =  A  <->  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  )
) )
164163biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( Q `  A )  =  A )
165 fnfvima 6133 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  Fn  D  /\  dom  ( P  \  _I  )  C_  D  /\  A  e.  dom  ( P  \  _I  ) )  ->  ( Q `  A )  e.  ( Q " dom  ( P  \  _I  )
) )
166160, 79, 41, 165syl3anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  A
)  e.  ( Q
" dom  ( P  \  _I  ) ) )
167166adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  ( Q `  A )  e.  ( Q " dom  ( P  \  _I  )
) )
168164, 167eqeltrrd 2493 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  A  e.  ( Q " dom  ( P  \  _I  )
) )
169147difeq1d 3562 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  \  _I  )  =  ( (
( Q  o.  P
)  o.  `' Q
)  \  _I  )
)
170169dmeqd 5028 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  \  _I  )  =  dom  ( ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q )  \  _I  ) )
171 f1omvdconj 16797 . . . . . . . 8  |-  ( ( P : D --> D  /\  Q : D -1-1-onto-> D )  ->  dom  ( ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q )  \  _I  )  =  ( Q " dom  ( P  \  _I  ) ) )
17229, 31, 171syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( ( ( Q  o.  P )  o.  `' Q ) 
\  _I  )  =  ( Q " dom  ( P  \  _I  )
) )
173170, 172eqtrd 2445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  \  _I  )  =  ( Q " dom  ( P 
\  _I  ) ) )
174173adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  \  _I  )  =  ( Q " dom  ( P  \  _I  ) ) )
175168, 174eleqtrrd 2495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  A  e.  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  \  _I  ) )
176 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  -.  A  e.  dom  ( Q 
\  _I  ) )
177 coeq1 4983 . . . . . . 7  |-  ( r  =  Q  ->  (
r  o.  s )  =  ( Q  o.  s ) )
178177eqeq2d 2418 . . . . . 6  |-  ( r  =  Q  ->  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  <->  ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  s ) ) )
179 difeq1 3556 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  Q  ->  (
r  \  _I  )  =  ( Q  \  _I  ) )
180179dmeqd 5028 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  Q  ->  dom  ( r  \  _I  )  =  dom  ( Q 
\  _I  ) )
181180eleq2d 2474 . . . . . . 7  |-  ( r  =  Q  ->  ( A  e.  dom  ( r 
\  _I  )  <->  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) )
182181notbid 294 . . . . . 6  |-  ( r  =  Q  ->  ( -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) 
<->  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  )
) )
183178, 1823anbi13d 1305 . . . . 5  |-  ( r  =  Q  ->  (
( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) )  <->  ( ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
184 coeq2 4984 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  ( Q  o.  s )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
) ) )
185184eqeq2d 2418 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  ( Q  o.  s )  <->  ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q ) ) ) ) )
186 difeq1 3556 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  (
s  \  _I  )  =  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  \  _I  ) )
187186dmeqd 5028 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  dom  ( s  \  _I  )  =  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) ) 
\  _I  ) )
188187eleq2d 2474 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  ( A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  <->  A  e.  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  \  _I  ) ) )
189185, 1883anbi12d 1304 . . . . 5  |-  ( s  =  ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  ->  (
( ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( Q  \  _I  ) )  <->  ( ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
) )  /\  A  e.  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q ) )  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) ) ) )
190183, 189rspc2ev 3173 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  T  /\  ( Q  o.  ( P  o.  Q )
)  e.  T  /\  ( ( P  o.  Q )  =  ( Q  o.  ( Q  o.  ( P  o.  Q ) ) )  /\  A  e.  dom  ( ( Q  o.  ( P  o.  Q
) )  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( Q  \  _I  ) ) )  ->  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) )
191141, 151, 158, 175, 176, 190syl113anc 1244 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) )
192191olcd 393 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  A  e.  dom  ( Q  \  _I  ) )  ->  (
( P  o.  Q
)  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  (
( P  o.  Q
)  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s 
\  _I  )  /\  -.  A  e.  dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
193140, 192pm2.61dan 794 1  |-  ( ph  ->  ( ( P  o.  Q )  =  (  _I  |`  D )  \/  E. r  e.  T  E. s  e.  T  ( ( P  o.  Q )  =  ( r  o.  s )  /\  A  e.  dom  ( s  \  _I  )  /\  -.  A  e. 
dom  ( r  \  _I  ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   E.wrex 2757   _Vcvv 3061    \ cdif 3413    C_ wss 3416   ifcif 3887   {csn 3974   {cpr 3976   U.cuni 4193   class class class wbr 4397    _I cid 4735   `'ccnv 4824   dom cdm 4825   ran crn 4826    |` cres 4827   "cima 4828    o. ccom 4829    Fn wfn 5566   -->wf 5567   -1-1-onto->wf1o 5570   ` cfv 5571   omcom 6685   2oc2o 7163    ~~ cen 7553   Fincfn 7556  pmTrspcpmtr 16792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-om 6686  df-1o 7169  df-2o 7170  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-pmtr 16793
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  16846
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