MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnsn Structured version   Unicode version

Theorem psgnsn 17104
Description: The permutation sign function for a singleton. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnsn.0  |-  D  =  { A }
psgnsn.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnsn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
psgnsn.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnsn  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  =  1 )

Proof of Theorem psgnsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2428 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
21gsum0 16464 . . . 4  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
3 psgnsn.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
4 psgnsn.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 psgnsn.0 . . . . . . . 8  |-  D  =  { A }
63, 4, 5symg1bas 16980 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  B  =  { { <. A ,  A >. } } )
76eleq2d 2491 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( X  e.  B  <->  X  e.  { { <. A ,  A >. } } ) )
87biimpa 486 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  { { <. A ,  A >. } } )
9 elsni 3966 . . . . . 6  |-  ( X  e.  { { <. A ,  A >. } }  ->  X  =  { <. A ,  A >. } )
105reseq2i 5064 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  D )  =  (  _I  |`  { A } )
11 snex 4605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { A }  e.  _V
1211snid 3969 . . . . . . . . . . . 12  |-  { A }  e.  { { A } }
135, 12eqeltri 2502 . . . . . . . . . . 11  |-  D  e. 
{ { A } }
143symgid 16985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  { { A } }  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G ) )
1513, 14mp1i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
16 restidsing 5123 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I  |`  { A } )  =  ( { A }  X.  { A }
)
17 xpsng 6024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( { A }  X.  { A } )  =  { <. A ,  A >. } )
1817anidms 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( { A }  X.  { A } )  =  { <. A ,  A >. } )
1916, 18syl5eq 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (  _I  |`  { A }
)  =  { <. A ,  A >. } )
2010, 15, 193eqtr3a 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( 0g `  G )  =  { <. A ,  A >. } )
2120adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  G
)  =  { <. A ,  A >. } )
22 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. A ,  A >. }  =  X  ->  { <. A ,  A >. }  =  X )
2322eqcoms 2436 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { <. A ,  A >. }  ->  { <. A ,  A >. }  =  X )
2421, 23sylan9eqr 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  { <. A ,  A >. }  /\  ( A  e.  V  /\  X  e.  B
) )  ->  ( 0g `  G )  =  X )
2524ex 435 . . . . . 6  |-  ( X  =  { <. A ,  A >. }  ->  (
( A  e.  V  /\  X  e.  B
)  ->  ( 0g `  G )  =  X ) )
269, 25syl 17 . . . . 5  |-  ( X  e.  { { <. A ,  A >. } }  ->  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  G )  =  X ) )
278, 26mpcom 37 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  G
)  =  X )
282, 27syl5req 2475 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( G 
gsumg  (/) ) )
2928fveq2d 5829 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  =  ( N `
 ( G  gsumg  (/) ) ) )
305, 11eqeltri 2502 . . . 4  |-  D  e. 
_V
31 wrd0 12639 . . . 4  |-  (/)  e. Word  (/)
3230, 31pm3.2i 456 . . 3  |-  ( D  e.  _V  /\  (/)  e. Word  (/) )
335fveq2i 5828 . . . . . . 7  |-  (pmTrsp `  D )  =  (pmTrsp `  { A } )
34 pmtrsn 17103 . . . . . . 7  |-  (pmTrsp `  { A } )  =  (/)
3533, 34eqtri 2450 . . . . . 6  |-  (pmTrsp `  D )  =  (/)
3635rneqi 5023 . . . . 5  |-  ran  (pmTrsp `  D )  =  ran  (/)
37 rn0 5048 . . . . 5  |-  ran  (/)  =  (/)
3836, 37eqtr2i 2451 . . . 4  |-  (/)  =  ran  (pmTrsp `  D )
39 psgnsn.n . . . 4  |-  N  =  (pmSgn `  D )
403, 38, 39psgnvalii 17093 . . 3  |-  ( ( D  e.  _V  /\  (/) 
e. Word  (/) )  ->  ( N `  ( G  gsumg  (/) ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 (/) ) ) )
4132, 40mp1i 13 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( G  gsumg  (/) ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 (/) ) ) )
42 hash0 12498 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
4342oveq2i 6260 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ ( # `  (/) ) )  =  ( -u 1 ^ 0 )
44 neg1cn 10664 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
45 exp0 12226 . . . . 5  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
4644, 45ax-mp 5 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
4743, 46eqtri 2450 . . 3  |-  ( -u
1 ^ ( # `  (/) ) )  =  1
4847a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  (/) ) )  =  1 )
4929, 41, 483eqtrd 2466 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   _Vcvv 3022   (/)c0 3704   {csn 3941   <.cop 3947    _I cid 4706    X. cxp 4794   ran crn 4797    |` cres 4798   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   0cc0 9490   1c1 9491   -ucneg 9812   ^cexp 12222   #chash 12465  Word cword 12604   Basecbs 15064   0gc0g 15281    gsumg cgsu 15282   SymGrpcsymg 16961  pmTrspcpmtr 17025  pmSgncpsgn 17073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-xor 1401  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-ot 3950  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-tpos 6928  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-word 12612  df-lsw 12613  df-concat 12614  df-s1 12615  df-substr 12616  df-splice 12617  df-reverse 12618  df-s2 12890  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-tset 15152  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-mhm 16525  df-submnd 16526  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-subg 16757  df-ghm 16824  df-gim 16866  df-oppg 16940  df-symg 16962  df-pmtr 17026  df-psgn 17075
This theorem is referenced by:  m1detdiag  19564
  Copyright terms: Public domain W3C validator