MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnsn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem psgnsn 17239
Description: The permutation sign function for a singleton. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnsn.0  |-  D  =  { A }
psgnsn.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnsn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
psgnsn.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnsn  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  =  1 )

Proof of Theorem psgnsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
21gsum0 16599 . . . 4  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
3 psgnsn.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
4 psgnsn.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 psgnsn.0 . . . . . . . 8  |-  D  =  { A }
63, 4, 5symg1bas 17115 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  B  =  { { <. A ,  A >. } } )
76eleq2d 2534 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( X  e.  B  <->  X  e.  { { <. A ,  A >. } } ) )
87biimpa 492 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  { { <. A ,  A >. } } )
9 elsni 3985 . . . . . 6  |-  ( X  e.  { { <. A ,  A >. } }  ->  X  =  { <. A ,  A >. } )
105reseq2i 5108 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  D )  =  (  _I  |`  { A } )
11 snex 4641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { A }  e.  _V
1211snid 3988 . . . . . . . . . . . 12  |-  { A }  e.  { { A } }
135, 12eqeltri 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  D  e. 
{ { A } }
143symgid 17120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  { { A } }  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G ) )
1513, 14mp1i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
16 restidsing 5167 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I  |`  { A } )  =  ( { A }  X.  { A }
)
17 xpsng 6081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( { A }  X.  { A } )  =  { <. A ,  A >. } )
1817anidms 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( { A }  X.  { A } )  =  { <. A ,  A >. } )
1916, 18syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (  _I  |`  { A }
)  =  { <. A ,  A >. } )
2010, 15, 193eqtr3a 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( 0g `  G )  =  { <. A ,  A >. } )
2120adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  G
)  =  { <. A ,  A >. } )
22 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. A ,  A >. }  =  X  ->  { <. A ,  A >. }  =  X )
2322eqcoms 2479 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { <. A ,  A >. }  ->  { <. A ,  A >. }  =  X )
2421, 23sylan9eqr 2527 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  { <. A ,  A >. }  /\  ( A  e.  V  /\  X  e.  B
) )  ->  ( 0g `  G )  =  X )
2524ex 441 . . . . . 6  |-  ( X  =  { <. A ,  A >. }  ->  (
( A  e.  V  /\  X  e.  B
)  ->  ( 0g `  G )  =  X ) )
269, 25syl 17 . . . . 5  |-  ( X  e.  { { <. A ,  A >. } }  ->  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  G )  =  X ) )
278, 26mpcom 36 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  G
)  =  X )
282, 27syl5req 2518 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( G 
gsumg  (/) ) )
2928fveq2d 5883 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  =  ( N `
 ( G  gsumg  (/) ) ) )
305, 11eqeltri 2545 . . . 4  |-  D  e. 
_V
31 wrd0 12742 . . . 4  |-  (/)  e. Word  (/)
3230, 31pm3.2i 462 . . 3  |-  ( D  e.  _V  /\  (/)  e. Word  (/) )
335fveq2i 5882 . . . . . . 7  |-  (pmTrsp `  D )  =  (pmTrsp `  { A } )
34 pmtrsn 17238 . . . . . . 7  |-  (pmTrsp `  { A } )  =  (/)
3533, 34eqtri 2493 . . . . . 6  |-  (pmTrsp `  D )  =  (/)
3635rneqi 5067 . . . . 5  |-  ran  (pmTrsp `  D )  =  ran  (/)
37 rn0 5092 . . . . 5  |-  ran  (/)  =  (/)
3836, 37eqtr2i 2494 . . . 4  |-  (/)  =  ran  (pmTrsp `  D )
39 psgnsn.n . . . 4  |-  N  =  (pmSgn `  D )
403, 38, 39psgnvalii 17228 . . 3  |-  ( ( D  e.  _V  /\  (/) 
e. Word  (/) )  ->  ( N `  ( G  gsumg  (/) ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 (/) ) ) )
4132, 40mp1i 13 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( G  gsumg  (/) ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 (/) ) ) )
42 hash0 12586 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
4342oveq2i 6319 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ ( # `  (/) ) )  =  ( -u 1 ^ 0 )
44 neg1cn 10735 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
45 exp0 12314 . . . . 5  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
4644, 45ax-mp 5 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
4743, 46eqtri 2493 . . 3  |-  ( -u
1 ^ ( # `  (/) ) )  =  1
4847a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  (/) ) )  =  1 )
4929, 41, 483eqtrd 2509 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965    _I cid 4749    X. cxp 4837   ran crn 4840    |` cres 4841   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558   -ucneg 9881   ^cexp 12310   #chash 12553  Word cword 12703   Basecbs 15199   0gc0g 15416    gsumg cgsu 15417   SymGrpcsymg 17096  pmTrspcpmtr 17160  pmSgncpsgn 17208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-xor 1431  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-reverse 12717  df-s2 13003  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-tset 15287  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-oppg 17075  df-symg 17097  df-pmtr 17161  df-psgn 17210
This theorem is referenced by:  m1detdiag  19699
  Copyright terms: Public domain W3C validator