MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnsn Structured version   Unicode version

Theorem psgnsn 17112
Description: The permutation sign function for a singleton. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnsn.0  |-  D  =  { A }
psgnsn.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnsn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
psgnsn.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnsn  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  =  1 )

Proof of Theorem psgnsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
21gsum0 16472 . . . 4  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
3 psgnsn.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
4 psgnsn.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 psgnsn.0 . . . . . . . 8  |-  D  =  { A }
63, 4, 5symg1bas 16988 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  B  =  { { <. A ,  A >. } } )
76eleq2d 2499 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( X  e.  B  <->  X  e.  { { <. A ,  A >. } } ) )
87biimpa 486 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  { { <. A ,  A >. } } )
9 elsni 4027 . . . . . 6  |-  ( X  e.  { { <. A ,  A >. } }  ->  X  =  { <. A ,  A >. } )
105reseq2i 5122 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  D )  =  (  _I  |`  { A } )
11 snex 4663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { A }  e.  _V
1211snid 4030 . . . . . . . . . . . 12  |-  { A }  e.  { { A } }
135, 12eqeltri 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  D  e. 
{ { A } }
143symgid 16993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  { { A } }  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G ) )
1513, 14mp1i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
16 restidsing 5181 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I  |`  { A } )  =  ( { A }  X.  { A }
)
17 xpsng 6080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( { A }  X.  { A } )  =  { <. A ,  A >. } )
1817anidms 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( { A }  X.  { A } )  =  { <. A ,  A >. } )
1916, 18syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (  _I  |`  { A }
)  =  { <. A ,  A >. } )
2010, 15, 193eqtr3a 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( 0g `  G )  =  { <. A ,  A >. } )
2120adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  G
)  =  { <. A ,  A >. } )
22 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. A ,  A >. }  =  X  ->  { <. A ,  A >. }  =  X )
2322eqcoms 2441 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { <. A ,  A >. }  ->  { <. A ,  A >. }  =  X )
2421, 23sylan9eqr 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  { <. A ,  A >. }  /\  ( A  e.  V  /\  X  e.  B
) )  ->  ( 0g `  G )  =  X )
2524ex 435 . . . . . 6  |-  ( X  =  { <. A ,  A >. }  ->  (
( A  e.  V  /\  X  e.  B
)  ->  ( 0g `  G )  =  X ) )
269, 25syl 17 . . . . 5  |-  ( X  e.  { { <. A ,  A >. } }  ->  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  G )  =  X ) )
278, 26mpcom 37 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  G
)  =  X )
282, 27syl5req 2483 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( G 
gsumg  (/) ) )
2928fveq2d 5885 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  =  ( N `
 ( G  gsumg  (/) ) ) )
305, 11eqeltri 2513 . . . 4  |-  D  e. 
_V
31 wrd0 12678 . . . 4  |-  (/)  e. Word  (/)
3230, 31pm3.2i 456 . . 3  |-  ( D  e.  _V  /\  (/)  e. Word  (/) )
335fveq2i 5884 . . . . . . 7  |-  (pmTrsp `  D )  =  (pmTrsp `  { A } )
34 pmtrsn 17111 . . . . . . 7  |-  (pmTrsp `  { A } )  =  (/)
3533, 34eqtri 2458 . . . . . 6  |-  (pmTrsp `  D )  =  (/)
3635rneqi 5081 . . . . 5  |-  ran  (pmTrsp `  D )  =  ran  (/)
37 rn0 5106 . . . . 5  |-  ran  (/)  =  (/)
3836, 37eqtr2i 2459 . . . 4  |-  (/)  =  ran  (pmTrsp `  D )
39 psgnsn.n . . . 4  |-  N  =  (pmSgn `  D )
403, 38, 39psgnvalii 17101 . . 3  |-  ( ( D  e.  _V  /\  (/) 
e. Word  (/) )  ->  ( N `  ( G  gsumg  (/) ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 (/) ) ) )
4132, 40mp1i 13 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( G  gsumg  (/) ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 (/) ) ) )
42 hash0 12545 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
4342oveq2i 6316 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ ( # `  (/) ) )  =  ( -u 1 ^ 0 )
44 neg1cn 10713 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
45 exp0 12273 . . . . 5  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
4644, 45ax-mp 5 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
4743, 46eqtri 2458 . . 3  |-  ( -u
1 ^ ( # `  (/) ) )  =  1
4847a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  (/) ) )  =  1 )
4929, 41, 483eqtrd 2474 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087   (/)c0 3767   {csn 4002   <.cop 4008    _I cid 4764    X. cxp 4852   ran crn 4855    |` cres 4856   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539   -ucneg 9860   ^cexp 12269   #chash 12512  Word cword 12643   Basecbs 15084   0gc0g 15297    gsumg cgsu 15298   SymGrpcsymg 16969  pmTrspcpmtr 17033  pmSgncpsgn 17081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-xor 1401  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-word 12651  df-lsw 12652  df-concat 12653  df-s1 12654  df-substr 12655  df-splice 12656  df-reverse 12657  df-s2 12929  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-tset 15171  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-gim 16874  df-oppg 16948  df-symg 16970  df-pmtr 17034  df-psgn 17083
This theorem is referenced by:  m1detdiag  19553
  Copyright terms: Public domain W3C validator