MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnsn Structured version   Unicode version

Theorem psgnsn 16351
Description: The permutation sign function for a singleton. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnsn.0  |-  D  =  { A }
psgnsn.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnsn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
psgnsn.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnsn  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  =  1 )

Proof of Theorem psgnsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
21gsum0 15832 . . . 4  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
3 psgnsn.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
4 psgnsn.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 psgnsn.0 . . . . . . . 8  |-  D  =  { A }
63, 4, 5symg1bas 16226 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  B  =  { { <. A ,  A >. } } )
76eleq2d 2537 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( X  e.  B  <->  X  e.  { { <. A ,  A >. } } ) )
87biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  { { <. A ,  A >. } } )
9 elsni 4052 . . . . . 6  |-  ( X  e.  { { <. A ,  A >. } }  ->  X  =  { <. A ,  A >. } )
105reseq2i 5270 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  D )  =  (  _I  |`  { A } )
11 snex 4688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { A }  e.  _V
1211snid 4055 . . . . . . . . . . . 12  |-  { A }  e.  { { A } }
135, 12eqeltri 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  D  e. 
{ { A } }
143symgid 16231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  { { A } }  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G ) )
1513, 14mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
16 restidsing 5330 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I  |`  { A } )  =  ( { A }  X.  { A }
)
17 xpsng 6062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( { A }  X.  { A } )  =  { <. A ,  A >. } )
1817anidms 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( { A }  X.  { A } )  =  { <. A ,  A >. } )
1916, 18syl5eq 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (  _I  |`  { A }
)  =  { <. A ,  A >. } )
2010, 15, 193eqtr3a 2532 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( 0g `  G )  =  { <. A ,  A >. } )
2120adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  G
)  =  { <. A ,  A >. } )
22 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. A ,  A >. }  =  X  ->  { <. A ,  A >. }  =  X )
2322eqcoms 2479 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { <. A ,  A >. }  ->  { <. A ,  A >. }  =  X )
2421, 23sylan9eqr 2530 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  { <. A ,  A >. }  /\  ( A  e.  V  /\  X  e.  B
) )  ->  ( 0g `  G )  =  X )
2524ex 434 . . . . . 6  |-  ( X  =  { <. A ,  A >. }  ->  (
( A  e.  V  /\  X  e.  B
)  ->  ( 0g `  G )  =  X ) )
269, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( X  e.  { { <. A ,  A >. } }  ->  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  G )  =  X ) )
278, 26mpcom 36 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  G
)  =  X )
282, 27syl5req 2521 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( G 
gsumg  (/) ) )
2928fveq2d 5870 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  =  ( N `
 ( G  gsumg  (/) ) ) )
305, 11eqeltri 2551 . . . 4  |-  D  e. 
_V
31 wrd0 12531 . . . 4  |-  (/)  e. Word  (/)
3230, 31pm3.2i 455 . . 3  |-  ( D  e.  _V  /\  (/)  e. Word  (/) )
335fveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  (pmTrsp `  D )  =  (pmTrsp `  { A } )
34 pmtrsn 16350 . . . . . . 7  |-  (pmTrsp `  { A } )  =  (/)
3533, 34eqtri 2496 . . . . . 6  |-  (pmTrsp `  D )  =  (/)
3635rneqi 5229 . . . . 5  |-  ran  (pmTrsp `  D )  =  ran  (/)
37 rn0 5254 . . . . 5  |-  ran  (/)  =  (/)
3836, 37eqtr2i 2497 . . . 4  |-  (/)  =  ran  (pmTrsp `  D )
39 psgnsn.n . . . 4  |-  N  =  (pmSgn `  D )
403, 38, 39psgnvalii 16340 . . 3  |-  ( ( D  e.  _V  /\  (/) 
e. Word  (/) )  ->  ( N `  ( G  gsumg  (/) ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 (/) ) ) )
4132, 40mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( G  gsumg  (/) ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 (/) ) ) )
42 hash0 12405 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
4342oveq2i 6295 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ ( # `  (/) ) )  =  ( -u 1 ^ 0 )
44 neg1cn 10639 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
45 exp0 12138 . . . . 5  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
4644, 45ax-mp 5 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
4743, 46eqtri 2496 . . 3  |-  ( -u
1 ^ ( # `  (/) ) )  =  1
4847a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  (/) ) )  =  1 )
4929, 41, 483eqtrd 2512 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033    _I cid 4790    X. cxp 4997   ran crn 5000    |` cres 5001   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493   -ucneg 9806   ^cexp 12134   #chash 12373  Word cword 12500   Basecbs 14490   0gc0g 14695    gsumg cgsu 14696   SymGrpcsymg 16207  pmTrspcpmtr 16272  pmSgncpsgn 16320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-word 12508  df-concat 12510  df-s1 12511  df-substr 12512  df-splice 12513  df-reverse 12514  df-s2 12776  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-tset 14574  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-gim 16112  df-oppg 16186  df-symg 16208  df-pmtr 16273  df-psgn 16322
This theorem is referenced by:  m1detdiag  18894
  Copyright terms: Public domain W3C validator