MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnran Structured version   Unicode version

Theorem psgnran 16742
Description: The range of the permutation sign function for finite permutations. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnran.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
psgnran.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
Assertion
Ref Expression
psgnran  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  ( S `  Q
)  e.  { 1 ,  -u 1 } )

Proof of Theorem psgnran
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
2 psgnran.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
31, 2sygbasnfpfi 16739 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  dom  ( Q  \  _I  )  e.  Fin )
43ex 432 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Q  e.  P  ->  dom  ( Q  \  _I  )  e.  Fin )
)
54pm4.71d 632 . . . 4  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Q  e.  P  <->  ( Q  e.  P  /\  dom  ( Q  \  _I  )  e. 
Fin ) ) )
6 psgnran.s . . . . 5  |-  S  =  (pmSgn `  N )
71, 6, 2psgneldm 16730 . . . 4  |-  ( Q  e.  dom  S  <->  ( Q  e.  P  /\  dom  ( Q  \  _I  )  e. 
Fin ) )
85, 7syl6bbr 263 . . 3  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Q  e.  P  <->  Q  e.  dom  S ) )
9 eqid 2454 . . . . 5  |-  ran  (pmTrsp `  N )  =  ran  (pmTrsp `  N )
101, 9, 6psgnvali 16735 . . . 4  |-  ( Q  e.  dom  S  ->  E. w  e. Word  ran  (pmTrsp `  N ) ( Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  w )  /\  ( S `  Q )  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) )
11 lencl 12552 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e. Word  ran  (pmTrsp `  N
)  ->  ( # `  w
)  e.  NN0 )
1211nn0zd 10963 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e. Word  ran  (pmTrsp `  N
)  ->  ( # `  w
)  e.  ZZ )
13 m1expcl2 12173 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  w )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( # `  w
) )  e.  { -u 1 ,  1 } )
14 prcom 4094 . . . . . . . . . 10  |-  { -u
1 ,  1 }  =  { 1 , 
-u 1 }
1513, 14syl6eleq 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  w )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( # `  w
) )  e.  {
1 ,  -u 1 } )
1612, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( w  e. Word  ran  (pmTrsp `  N
)  ->  ( -u 1 ^ ( # `  w
) )  e.  {
1 ,  -u 1 } )
1716adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  w  e. Word  ran  (pmTrsp `  N ) )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 w ) )  e.  { 1 , 
-u 1 } )
18 eleq1a 2537 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1 ^ ( # `
 w ) )  e.  { 1 , 
-u 1 }  ->  ( ( S `  Q
)  =  ( -u
1 ^ ( # `  w ) )  -> 
( S `  Q
)  e.  { 1 ,  -u 1 } ) )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  w  e. Word  ran  (pmTrsp `  N ) )  -> 
( ( S `  Q )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 w ) )  ->  ( S `  Q )  e.  {
1 ,  -u 1 } ) )
2019adantld 465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  w  e. Word  ran  (pmTrsp `  N ) )  -> 
( ( Q  =  ( ( SymGrp `  N
)  gsumg  w )  /\  ( S `  Q )  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) )  -> 
( S `  Q
)  e.  { 1 ,  -u 1 } ) )
2120rexlimdva 2946 . . . 4  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( E. w  e. Word  ran  (pmTrsp `  N ) ( Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  w )  /\  ( S `  Q )  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) )  -> 
( S `  Q
)  e.  { 1 ,  -u 1 } ) )
2210, 21syl5 32 . . 3  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Q  e.  dom  S  -> 
( S `  Q
)  e.  { 1 ,  -u 1 } ) )
238, 22sylbid 215 . 2  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Q  e.  P  ->  ( S `  Q )  e.  { 1 , 
-u 1 } ) )
2423imp 427 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  ( S `  Q
)  e.  { 1 ,  -u 1 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805    \ cdif 3458   {cpr 4018    _I cid 4779   dom cdm 4988   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   1c1 9482   -ucneg 9797   ZZcz 10860   ^cexp 12151   #chash 12390  Word cword 12521   Basecbs 14719    gsumg cgsu 14933   SymGrpcsymg 16604  pmTrspcpmtr 16668  pmSgncpsgn 16716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-xor 1363  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-word 12529  df-lsw 12530  df-concat 12531  df-s1 12532  df-substr 12533  df-splice 12534  df-reverse 12535  df-s2 12807  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-tset 14806  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-subg 16400  df-ghm 16467  df-gim 16509  df-oppg 16583  df-symg 16605  df-pmtr 16669  df-psgn 16718
This theorem is referenced by:  zrhpsgnelbas  18806
  Copyright terms: Public domain W3C validator