MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnran Structured version   Unicode version

Theorem psgnran 16336
Description: The range of the permutation sign function for finite permutations. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnran.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
psgnran.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
Assertion
Ref Expression
psgnran  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  ( S `  Q
)  e.  { 1 ,  -u 1 } )

Proof of Theorem psgnran
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
2 psgnran.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
31, 2elsymgbas 16202 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Q  e.  P  <->  Q : N
-1-1-onto-> N ) )
4 f1ofn 5815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q : N -1-1-onto-> N  ->  Q  Fn  N )
5 fnfi 7794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q  Fn  N  /\  N  e.  Fin )  ->  Q  e.  Fin )
65ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q  Fn  N  ->  ( N  e.  Fin  ->  Q  e.  Fin ) )
74, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q : N -1-1-onto-> N  ->  ( N  e.  Fin  ->  Q  e.  Fin ) )
87com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Q : N -1-1-onto-> N  ->  Q  e.  Fin ) )
93, 8sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Q  e.  P  ->  Q  e.  Fin ) )
109imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  Q  e.  Fin )
11 diffi 7747 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  Fin  ->  ( Q  \  _I  )  e. 
Fin )
12 dmfi 7799 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  \  _I  )  e.  Fin  ->  dom  ( Q 
\  _I  )  e. 
Fin )
1310, 11, 123syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  dom  ( Q  \  _I  )  e.  Fin )
1413ex 434 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Q  e.  P  ->  dom  ( Q  \  _I  )  e.  Fin )
)
1514pm4.71d 634 . . . 4  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Q  e.  P  <->  ( Q  e.  P  /\  dom  ( Q  \  _I  )  e. 
Fin ) ) )
16 psgnran.s . . . . 5  |-  S  =  (pmSgn `  N )
171, 16, 2psgneldm 16324 . . . 4  |-  ( Q  e.  dom  S  <->  ( Q  e.  P  /\  dom  ( Q  \  _I  )  e. 
Fin ) )
1815, 17syl6bbr 263 . . 3  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Q  e.  P  <->  Q  e.  dom  S ) )
19 eqid 2467 . . . . 5  |-  ran  (pmTrsp `  N )  =  ran  (pmTrsp `  N )
201, 19, 16psgnvali 16329 . . . 4  |-  ( Q  e.  dom  S  ->  E. w  e. Word  ran  (pmTrsp `  N ) ( Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  w )  /\  ( S `  Q )  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) )
21 lencl 12524 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e. Word  ran  (pmTrsp `  N
)  ->  ( # `  w
)  e.  NN0 )
2221nn0zd 10960 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e. Word  ran  (pmTrsp `  N
)  ->  ( # `  w
)  e.  ZZ )
23 m1expcl2 12152 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  w )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( # `  w
) )  e.  { -u 1 ,  1 } )
24 prcom 4105 . . . . . . . . . 10  |-  { -u
1 ,  1 }  =  { 1 , 
-u 1 }
2523, 24syl6eleq 2565 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  w )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( # `  w
) )  e.  {
1 ,  -u 1 } )
2622, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( w  e. Word  ran  (pmTrsp `  N
)  ->  ( -u 1 ^ ( # `  w
) )  e.  {
1 ,  -u 1 } )
2726adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  w  e. Word  ran  (pmTrsp `  N ) )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 w ) )  e.  { 1 , 
-u 1 } )
28 eleq1a 2550 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1 ^ ( # `
 w ) )  e.  { 1 , 
-u 1 }  ->  ( ( S `  Q
)  =  ( -u
1 ^ ( # `  w ) )  -> 
( S `  Q
)  e.  { 1 ,  -u 1 } ) )
2927, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  w  e. Word  ran  (pmTrsp `  N ) )  -> 
( ( S `  Q )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 w ) )  ->  ( S `  Q )  e.  {
1 ,  -u 1 } ) )
3029adantld 467 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  w  e. Word  ran  (pmTrsp `  N ) )  -> 
( ( Q  =  ( ( SymGrp `  N
)  gsumg  w )  /\  ( S `  Q )  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) )  -> 
( S `  Q
)  e.  { 1 ,  -u 1 } ) )
3130rexlimdva 2955 . . . 4  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( E. w  e. Word  ran  (pmTrsp `  N ) ( Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  w )  /\  ( S `  Q )  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) )  -> 
( S `  Q
)  e.  { 1 ,  -u 1 } ) )
3220, 31syl5 32 . . 3  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Q  e.  dom  S  -> 
( S `  Q
)  e.  { 1 ,  -u 1 } ) )
3318, 32sylbid 215 . 2  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Q  e.  P  ->  ( S `  Q )  e.  { 1 , 
-u 1 } ) )
3433imp 429 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  Q  e.  P )  ->  ( S `  Q
)  e.  { 1 ,  -u 1 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815    \ cdif 3473   {cpr 4029    _I cid 4790   dom cdm 4999   ran crn 5000    Fn wfn 5581   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   1c1 9489   -ucneg 9802   ZZcz 10860   ^cexp 12130   #chash 12369  Word cword 12496   Basecbs 14486    gsumg cgsu 14692   SymGrpcsymg 16197  pmTrspcpmtr 16262  pmSgncpsgn 16310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-word 12504  df-concat 12506  df-s1 12507  df-substr 12508  df-splice 12509  df-reverse 12510  df-s2 12772  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-tset 14570  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-gim 16102  df-oppg 16176  df-symg 16198  df-pmtr 16263  df-psgn 16312
This theorem is referenced by:  zrhpsgnelbas  18397
  Copyright terms: Public domain W3C validator