MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnprfval1 Structured version   Unicode version

Theorem psgnprfval1 16673
Description: The permutation sign of the identity for a pair. (Contributed by AV, 11-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnprfval.0  |-  D  =  { 1 ,  2 }
psgnprfval.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnprfval.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
psgnprfval.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
psgnprfval.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnprfval1  |-  ( N `
 { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. } )  =  1

Proof of Theorem psgnprfval1
StepHypRef Expression
1 psgnprfval.0 . . . . . . 7  |-  D  =  { 1 ,  2 }
2 prex 4698 . . . . . . 7  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
31, 2eqeltri 2541 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
4 psgnprfval.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
54symgid 16552 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
63, 5ax-mp 5 . . . . 5  |-  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G )
76gsum0 16031 . . . 4  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  (  _I  |`  D )
8 reseq2 5278 . . . . . 6  |-  ( D  =  { 1 ,  2 }  ->  (  _I  |`  D )  =  (  _I  |`  { 1 ,  2 } ) )
9 1ex 9608 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
10 2nn 10714 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
11 residpr 6076 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  (  _I  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. } )
129, 10, 11mp2an 672 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  { 1 ,  2 } )  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. }
138, 12syl6eq 2514 . . . . 5  |-  ( D  =  { 1 ,  2 }  ->  (  _I  |`  D )  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } )
141, 13ax-mp 5 . . . 4  |-  (  _I  |`  D )  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. }
157, 14eqtr2i 2487 . . 3  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  =  ( G 
gsumg  (/) )
1615fveq2i 5875 . 2  |-  ( N `
 { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. } )  =  ( N `
 ( G  gsumg  (/) ) )
17 wrd0 12572 . . 3  |-  (/)  e. Word  T
18 psgnprfval.t . . . 4  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
19 psgnprfval.n . . . 4  |-  N  =  (pmSgn `  D )
204, 18, 19psgnvalii 16660 . . 3  |-  ( ( D  e.  _V  /\  (/) 
e. Word  T )  ->  ( N `  ( G  gsumg  (/) ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 (/) ) ) )
213, 17, 20mp2an 672 . 2  |-  ( N `
 ( G  gsumg  (/) ) )  =  ( -u 1 ^ ( # `  (/) ) )
22 hash0 12439 . . . 4  |-  ( # `  (/) )  =  0
2322oveq2i 6307 . . 3  |-  ( -u
1 ^ ( # `  (/) ) )  =  ( -u 1 ^ 0 )
24 neg1cn 10660 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
25 exp0 12172 . . . 4  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
2624, 25ax-mp 5 . . 3  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
2723, 26eqtri 2486 . 2  |-  ( -u
1 ^ ( # `  (/) ) )  =  1
2816, 21, 273eqtri 2490 1  |-  ( N `
 { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. } )  =  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   {cpr 4034   <.cop 4038    _I cid 4799   ran crn 5009    |` cres 5010   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510   -ucneg 9825   NNcn 10556   2c2 10606   ^cexp 12168   #chash 12407  Word cword 12537   Basecbs 14643   0gc0g 14856    gsumg cgsu 14857   SymGrpcsymg 16528  pmTrspcpmtr 16592  pmSgncpsgn 16640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-word 12545  df-lsw 12546  df-concat 12547  df-s1 12548  df-substr 12549  df-splice 12550  df-reverse 12551  df-s2 12824  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-tset 14730  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-gim 16433  df-oppg 16507  df-symg 16529  df-pmtr 16593  df-psgn 16642
This theorem is referenced by:  m2detleiblem1  19252  m2detleiblem5  19253
  Copyright terms: Public domain W3C validator