MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnprfval Structured version   Unicode version

Theorem psgnprfval 16870
Description: The permutation sign function for a pair. (Contributed by AV, 10-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnprfval.0  |-  D  =  { 1 ,  2 }
psgnprfval.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnprfval.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
psgnprfval.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
psgnprfval.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnprfval  |-  ( X  e.  B  ->  ( N `  X )  =  ( iota s E. w  e. Word  T ( X  =  ( G 
gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, s, w    G, s, w    N, s, w    T, s, w    X, s, w
Allowed substitution hints:    B( w, s)

Proof of Theorem psgnprfval
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  B )
2 elpri 3992 . . . . . 6  |-  ( X  e.  { { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  ->  ( X  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  \/  X  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
3 prfi 7829 . . . . . . . . 9  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  Fin
4 eleq1 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( X  e. 
Fin 
<->  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  e.  Fin ) )
53, 4mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  X  e.  Fin )
6 prfi 7829 . . . . . . . . 9  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  e.  Fin
7 eleq1 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( X  e. 
Fin 
<->  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  e.  Fin ) )
86, 7mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  X  e.  Fin )
95, 8jaoi 377 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  \/  X  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  ->  X  e.  Fin )
10 diffi 7786 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( X  \  _I  )  e. 
Fin )
119, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  \/  X  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  -> 
( X  \  _I  )  e.  Fin )
12 dmfi 7837 . . . . . 6  |-  ( ( X  \  _I  )  e.  Fin  ->  dom  ( X 
\  _I  )  e. 
Fin )
132, 11, 123syl 18 . . . . 5  |-  ( X  e.  { { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  ->  dom  ( X  \  _I  )  e.  Fin )
14 1ex 9621 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
15 2nn 10734 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
16 psgnprfval.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
17 psgnprfval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
18 psgnprfval.0 . . . . . . 7  |-  D  =  { 1 ,  2 }
1916, 17, 18symg2bas 16747 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  B  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } } )
2014, 15, 19mp2an 670 . . . . 5  |-  B  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. } ,  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } }
2113, 20eleq2s 2510 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  dom  ( X  \  _I  )  e.  Fin )
22 psgnprfval.n . . . . 5  |-  N  =  (pmSgn `  D )
2316, 22, 17psgneldm 16852 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  N  <->  ( X  e.  B  /\  dom  ( X  \  _I  )  e. 
Fin ) )
241, 21, 23sylanbrc 662 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  dom  N )
25 psgnprfval.t . . . 4  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
2616, 25, 22psgnval 16856 . . 3  |-  ( X  e.  dom  N  -> 
( N `  X
)  =  ( iota s E. w  e. Word  T ( X  =  ( G  gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) ) )
2724, 26syl 17 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  ( N `  X )  =  ( iota s E. w  e. Word  T ( X  =  ( G 
gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) ) )
281, 27syl 17 1  |-  ( X  e.  B  ->  ( N `  X )  =  ( iota s E. w  e. Word  T ( X  =  ( G 
gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2755   _Vcvv 3059    \ cdif 3411   {cpr 3974   <.cop 3978    _I cid 4733   dom cdm 4823   ran crn 4824   iotacio 5531   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Fincfn 7554   1c1 9523   -ucneg 9842   NNcn 10576   2c2 10626   ^cexp 12210   #chash 12452  Word cword 12583   Basecbs 14841    gsumg cgsu 15055   SymGrpcsymg 16726  pmTrspcpmtr 16790  pmSgncpsgn 16838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-word 12591  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-tset 14928  df-symg 16727  df-psgn 16840
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator