MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnprfval Structured version   Unicode version

Theorem psgnprfval 16025
Description: The permutation sign function for a pair. (Contributed by AV, 10-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnprfval.0  |-  D  =  { 1 ,  2 }
psgnprfval.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnprfval.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
psgnprfval.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
psgnprfval.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnprfval  |-  ( X  e.  B  ->  ( N `  X )  =  ( iota s E. w  e. Word  T ( X  =  ( G 
gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, s, w    G, s, w    N, s, w    T, s, w    X, s, w
Allowed substitution hints:    B( w, s)

Proof of Theorem psgnprfval
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  B )
2 elpri 3897 . . . . . 6  |-  ( X  e.  { { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  ->  ( X  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  \/  X  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
3 prfi 7586 . . . . . . . . 9  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  Fin
4 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( X  e. 
Fin 
<->  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  e.  Fin ) )
53, 4mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  X  e.  Fin )
6 prfi 7586 . . . . . . . . 9  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  e.  Fin
7 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( X  e. 
Fin 
<->  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  e.  Fin ) )
86, 7mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  X  e.  Fin )
95, 8jaoi 379 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  \/  X  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  ->  X  e.  Fin )
10 diffi 7543 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( X  \  _I  )  e. 
Fin )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  \/  X  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  -> 
( X  \  _I  )  e.  Fin )
12 dmfi 7594 . . . . . 6  |-  ( ( X  \  _I  )  e.  Fin  ->  dom  ( X 
\  _I  )  e. 
Fin )
132, 11, 123syl 20 . . . . 5  |-  ( X  e.  { { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  ->  dom  ( X  \  _I  )  e.  Fin )
14 1ex 9381 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
15 2nn 10479 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
16 psgnprfval.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
17 psgnprfval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
18 psgnprfval.0 . . . . . . 7  |-  D  =  { 1 ,  2 }
1916, 17, 18symg2bas 15903 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  B  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } } )
2014, 15, 19mp2an 672 . . . . 5  |-  B  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. } ,  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } }
2113, 20eleq2s 2535 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  dom  ( X  \  _I  )  e.  Fin )
22 psgnprfval.n . . . . 5  |-  N  =  (pmSgn `  D )
2316, 22, 17psgneldm 16009 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  N  <->  ( X  e.  B  /\  dom  ( X  \  _I  )  e. 
Fin ) )
241, 21, 23sylanbrc 664 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  dom  N )
25 psgnprfval.t . . . 4  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
2616, 25, 22psgnval 16013 . . 3  |-  ( X  e.  dom  N  -> 
( N `  X
)  =  ( iota s E. w  e. Word  T ( X  =  ( G  gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) ) )
2724, 26syl 16 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  ( N `  X )  =  ( iota s E. w  e. Word  T ( X  =  ( G 
gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) ) )
281, 27syl 16 1  |-  ( X  e.  B  ->  ( N `  X )  =  ( iota s E. w  e. Word  T ( X  =  ( G 
gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    \ cdif 3325   {cpr 3879   <.cop 3883    _I cid 4631   dom cdm 4840   ran crn 4841   iotacio 5379   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   1c1 9283   -ucneg 9596   NNcn 10322   2c2 10371   ^cexp 11865   #chash 12103  Word cword 12221   Basecbs 14174    gsumg cgsu 14379   SymGrpcsymg 15882  pmTrspcpmtr 15947  pmSgncpsgn 15995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-word 12229  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-tset 14257  df-symg 15883  df-psgn 15997
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator