MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnprfval Structured version   Unicode version

Theorem psgnprfval 16339
Description: The permutation sign function for a pair. (Contributed by AV, 10-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnprfval.0  |-  D  =  { 1 ,  2 }
psgnprfval.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnprfval.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
psgnprfval.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
psgnprfval.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnprfval  |-  ( X  e.  B  ->  ( N `  X )  =  ( iota s E. w  e. Word  T ( X  =  ( G 
gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, s, w    G, s, w    N, s, w    T, s, w    X, s, w
Allowed substitution hints:    B( w, s)

Proof of Theorem psgnprfval
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  B )
2 elpri 4047 . . . . . 6  |-  ( X  e.  { { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  ->  ( X  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  \/  X  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
3 prfi 7791 . . . . . . . . 9  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  Fin
4 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( X  e. 
Fin 
<->  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  e.  Fin ) )
53, 4mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  X  e.  Fin )
6 prfi 7791 . . . . . . . . 9  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  e.  Fin
7 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( X  e. 
Fin 
<->  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  e.  Fin ) )
86, 7mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  X  e.  Fin )
95, 8jaoi 379 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  \/  X  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  ->  X  e.  Fin )
10 diffi 7747 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( X  \  _I  )  e. 
Fin )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  \/  X  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  -> 
( X  \  _I  )  e.  Fin )
12 dmfi 7799 . . . . . 6  |-  ( ( X  \  _I  )  e.  Fin  ->  dom  ( X 
\  _I  )  e. 
Fin )
132, 11, 123syl 20 . . . . 5  |-  ( X  e.  { { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  ->  dom  ( X  \  _I  )  e.  Fin )
14 1ex 9587 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
15 2nn 10689 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
16 psgnprfval.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
17 psgnprfval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
18 psgnprfval.0 . . . . . . 7  |-  D  =  { 1 ,  2 }
1916, 17, 18symg2bas 16215 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  B  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } } )
2014, 15, 19mp2an 672 . . . . 5  |-  B  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. } ,  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } }
2113, 20eleq2s 2575 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  dom  ( X  \  _I  )  e.  Fin )
22 psgnprfval.n . . . . 5  |-  N  =  (pmSgn `  D )
2316, 22, 17psgneldm 16321 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  N  <->  ( X  e.  B  /\  dom  ( X  \  _I  )  e. 
Fin ) )
241, 21, 23sylanbrc 664 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  dom  N )
25 psgnprfval.t . . . 4  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
2616, 25, 22psgnval 16325 . . 3  |-  ( X  e.  dom  N  -> 
( N `  X
)  =  ( iota s E. w  e. Word  T ( X  =  ( G  gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) ) )
2724, 26syl 16 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  ( N `  X )  =  ( iota s E. w  e. Word  T ( X  =  ( G 
gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) ) )
281, 27syl 16 1  |-  ( X  e.  B  ->  ( N `  X )  =  ( iota s E. w  e. Word  T ( X  =  ( G 
gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   {cpr 4029   <.cop 4033    _I cid 4790   dom cdm 4999   ran crn 5000   iotacio 5547   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   1c1 9489   -ucneg 9802   NNcn 10532   2c2 10581   ^cexp 12129   #chash 12367  Word cword 12494   Basecbs 14483    gsumg cgsu 14689   SymGrpcsymg 16194  pmTrspcpmtr 16259  pmSgncpsgn 16307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-fac 12316  df-bc 12343  df-hash 12368  df-word 12502  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-plusg 14561  df-tset 14567  df-symg 16195  df-psgn 16309
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator