MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnprfval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem psgnprfval 17240
Description: The permutation sign function for a pair. (Contributed by AV, 10-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnprfval.0  |-  D  =  { 1 ,  2 }
psgnprfval.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnprfval.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
psgnprfval.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
psgnprfval.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnprfval  |-  ( X  e.  B  ->  ( N `  X )  =  ( iota s E. w  e. Word  T ( X  =  ( G 
gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, s, w    G, s, w    N, s, w    T, s, w    X, s, w
Allowed substitution hints:    B( w, s)

Proof of Theorem psgnprfval
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  B )
2 elpri 3976 . . . . . 6  |-  ( X  e.  { { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  ->  ( X  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  \/  X  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
3 prfi 7864 . . . . . . . . 9  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  Fin
4 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( X  e. 
Fin 
<->  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  e.  Fin ) )
53, 4mpbiri 241 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  X  e.  Fin )
6 prfi 7864 . . . . . . . . 9  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  e.  Fin
7 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( X  e. 
Fin 
<->  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  e.  Fin ) )
86, 7mpbiri 241 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  X  e.  Fin )
95, 8jaoi 386 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  \/  X  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  ->  X  e.  Fin )
10 diffi 7821 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( X  \  _I  )  e. 
Fin )
119, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  \/  X  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  -> 
( X  \  _I  )  e.  Fin )
12 dmfi 7872 . . . . . 6  |-  ( ( X  \  _I  )  e.  Fin  ->  dom  ( X 
\  _I  )  e. 
Fin )
132, 11, 123syl 18 . . . . 5  |-  ( X  e.  { { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  ->  dom  ( X  \  _I  )  e.  Fin )
14 1ex 9656 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
15 2nn 10790 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
16 psgnprfval.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
17 psgnprfval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
18 psgnprfval.0 . . . . . . 7  |-  D  =  { 1 ,  2 }
1916, 17, 18symg2bas 17117 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  B  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } } )
2014, 15, 19mp2an 686 . . . . 5  |-  B  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. } ,  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } }
2113, 20eleq2s 2567 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  dom  ( X  \  _I  )  e.  Fin )
22 psgnprfval.n . . . . 5  |-  N  =  (pmSgn `  D )
2316, 22, 17psgneldm 17222 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  N  <->  ( X  e.  B  /\  dom  ( X  \  _I  )  e. 
Fin ) )
241, 21, 23sylanbrc 677 . . 3  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  dom  N )
25 psgnprfval.t . . . 4  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
2616, 25, 22psgnval 17226 . . 3  |-  ( X  e.  dom  N  -> 
( N `  X
)  =  ( iota s E. w  e. Word  T ( X  =  ( G  gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) ) )
2724, 26syl 17 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  ( N `  X )  =  ( iota s E. w  e. Word  T ( X  =  ( G 
gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) ) )
281, 27syl 17 1  |-  ( X  e.  B  ->  ( N `  X )  =  ( iota s E. w  e. Word  T ( X  =  ( G 
gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    \ cdif 3387   {cpr 3961   <.cop 3965    _I cid 4749   dom cdm 4839   ran crn 4840   iotacio 5551   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   1c1 9558   -ucneg 9881   NNcn 10631   2c2 10681   ^cexp 12310   #chash 12553  Word cword 12703   Basecbs 15199    gsumg cgsu 15417   SymGrpcsymg 17096  pmTrspcpmtr 17160  pmSgncpsgn 17208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-word 12711  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-tset 15287  df-symg 17097  df-psgn 17210
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator