MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnpmtr Structured version   Unicode version

Theorem psgnpmtr 16737
Description: All transpositions are odd. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnval.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnval.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
psgnval.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnpmtr  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  P )  =  -u 1 )

Proof of Theorem psgnpmtr
StepHypRef Expression
1 psgnval.t . . . . . 6  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
2 psgnval.g . . . . . 6  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
3 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
41, 2, 3symgtrf 16696 . . . . 5  |-  T  C_  ( Base `  G )
54sseli 3485 . . . 4  |-  ( P  e.  T  ->  P  e.  ( Base `  G
) )
63gsumws1 16209 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Base `  G
)  ->  ( G  gsumg  <" P "> )  =  P )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( P  e.  T  ->  ( G  gsumg 
<" P "> )  =  P )
87fveq2d 5852 . 2  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  ( N `  P ) )
92, 3elbasfv 14768 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Base `  G
)  ->  D  e.  _V )
105, 9syl 16 . . . 4  |-  ( P  e.  T  ->  D  e.  _V )
11 s1cl 12606 . . . 4  |-  ( P  e.  T  ->  <" P ">  e. Word  T )
12 psgnval.n . . . . 5  |-  N  =  (pmSgn `  D )
132, 1, 12psgnvalii 16736 . . . 4  |-  ( ( D  e.  _V  /\  <" P ">  e. Word  T )  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 <" P "> ) ) )
1410, 11, 13syl2anc 659 . . 3  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 <" P "> ) ) )
15 s1len 12609 . . . . 5  |-  ( # `  <" P "> )  =  1
1615oveq2i 6281 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ ( # `  <" P "> ) )  =  (
-u 1 ^ 1 )
17 neg1cn 10635 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
18 exp1 12157 . . . . 5  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 1 )  =  -u 1
)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ 1 )  =  -u 1
2016, 19eqtri 2483 . . 3  |-  ( -u
1 ^ ( # `  <" P "> ) )  =  -u
1
2114, 20syl6eq 2511 . 2  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  -u
1 )
228, 21eqtr3d 2497 1  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  P )  =  -u 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   1c1 9482   -ucneg 9797   ^cexp 12151   #chash 12390  Word cword 12521   <"cs1 12524   Basecbs 14719    gsumg cgsu 14933   SymGrpcsymg 16604  pmTrspcpmtr 16668  pmSgncpsgn 16716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-xor 1363  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-word 12529  df-lsw 12530  df-concat 12531  df-s1 12532  df-substr 12533  df-splice 12534  df-reverse 12535  df-s2 12807  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-tset 14806  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-subg 16400  df-ghm 16467  df-gim 16509  df-oppg 16583  df-symg 16605  df-pmtr 16669  df-psgn 16718
This theorem is referenced by:  psgnprfval2  16750  pmtrodpm  18809  mdetralt  19280
  Copyright terms: Public domain W3C validator