MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnpmtr Structured version   Unicode version

Theorem psgnpmtr 16350
Description: All transpositions are odd. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnval.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnval.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
psgnval.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnpmtr  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  P )  =  -u 1 )

Proof of Theorem psgnpmtr
StepHypRef Expression
1 psgnval.t . . . . . 6  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
2 psgnval.g . . . . . 6  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
3 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
41, 2, 3symgtrf 16309 . . . . 5  |-  T  C_  ( Base `  G )
54sseli 3500 . . . 4  |-  ( P  e.  T  ->  P  e.  ( Base `  G
) )
63gsumws1 15842 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Base `  G
)  ->  ( G  gsumg  <" P "> )  =  P )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( P  e.  T  ->  ( G  gsumg 
<" P "> )  =  P )
87fveq2d 5870 . 2  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  ( N `  P ) )
92, 3elbasfv 14540 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Base `  G
)  ->  D  e.  _V )
105, 9syl 16 . . . 4  |-  ( P  e.  T  ->  D  e.  _V )
11 s1cl 12580 . . . 4  |-  ( P  e.  T  ->  <" P ">  e. Word  T )
12 psgnval.n . . . . 5  |-  N  =  (pmSgn `  D )
132, 1, 12psgnvalii 16349 . . . 4  |-  ( ( D  e.  _V  /\  <" P ">  e. Word  T )  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 <" P "> ) ) )
1410, 11, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 <" P "> ) ) )
15 s1len 12583 . . . . 5  |-  ( # `  <" P "> )  =  1
1615oveq2i 6296 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ ( # `  <" P "> ) )  =  (
-u 1 ^ 1 )
17 neg1cn 10640 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
18 exp1 12141 . . . . 5  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 1 )  =  -u 1
)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ 1 )  =  -u 1
2016, 19eqtri 2496 . . 3  |-  ( -u
1 ^ ( # `  <" P "> ) )  =  -u
1
2114, 20syl6eq 2524 . 2  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  ( G  gsumg  <" P "> ) )  =  -u
1 )
228, 21eqtr3d 2510 1  |-  ( P  e.  T  ->  ( N `  P )  =  -u 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   1c1 9494   -ucneg 9807   ^cexp 12135   #chash 12374  Word cword 12501   <"cs1 12504   Basecbs 14493    gsumg cgsu 14699   SymGrpcsymg 16216  pmTrspcpmtr 16281  pmSgncpsgn 16329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-word 12509  df-concat 12511  df-s1 12512  df-substr 12513  df-splice 12514  df-reverse 12515  df-s2 12779  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-tset 14577  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-subg 16012  df-ghm 16079  df-gim 16121  df-oppg 16195  df-symg 16217  df-pmtr 16282  df-psgn 16331
This theorem is referenced by:  psgnprfval2  16363  pmtrodpm  18440  mdetralt  18917
  Copyright terms: Public domain W3C validator