MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnodpmr Structured version   Unicode version

Theorem psgnodpmr 18799
Description: If a permutation has sign -1 it is odd (not even). (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
evpmss.p  |-  P  =  ( Base `  S
)
psgnevpmb.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnodpmr  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P  /\  ( N `  F )  =  -u 1 )  ->  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )

Proof of Theorem psgnodpmr
StepHypRef Expression
1 simp2 995 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P  /\  ( N `  F )  =  -u 1 )  ->  F  e.  P )
2 evpmss.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
3 evpmss.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  S
)
4 psgnevpmb.n . . . . . . . 8  |-  N  =  (pmSgn `  D )
52, 3, 4psgnevpm 18798 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  (pmEven `  D
) )  ->  ( N `  F )  =  1 )
65ex 432 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( F  e.  (pmEven `  D
)  ->  ( N `  F )  =  1 ) )
76adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( F  e.  (pmEven `  D )  ->  ( N `  F )  =  1 ) )
8 neg1rr 10636 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  RR
9 neg1lt0 10638 . . . . . . . 8  |-  -u 1  <  0
10 0lt1 10071 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
11 0reALT 9908 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
12 1re 9584 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
138, 11, 12lttri 9699 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1  <  0  /\  0  <  1
)  ->  -u 1  <  1 )
149, 10, 13mp2an 670 . . . . . . 7  |-  -u 1  <  1
158, 14gtneii 9685 . . . . . 6  |-  1  =/=  -u 1
16 neeq1 2735 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  =  1  ->  (
( N `  F
)  =/=  -u 1  <->  1  =/=  -u 1 ) )
1715, 16mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( ( N `  F )  =  1  ->  ( N `  F )  =/=  -u 1 )
187, 17syl6 33 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( F  e.  (pmEven `  D )  ->  ( N `  F )  =/=  -u 1 ) )
1918necon2bd 2669 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( N `  F )  =  -u
1  ->  -.  F  e.  (pmEven `  D )
) )
20193impia 1191 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P  /\  ( N `  F )  =  -u 1 )  ->  -.  F  e.  (pmEven `  D ) )
211, 20eldifd 3472 1  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P  /\  ( N `  F )  =  -u 1 )  ->  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    \ cdif 3458   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   Fincfn 7509   0cc0 9481   1c1 9482    < clt 9617   -ucneg 9797   Basecbs 14716   SymGrpcsymg 16601  pmSgncpsgn 16713  pmEvencevpm 16714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-xor 1363  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-word 12526  df-lsw 12527  df-concat 12528  df-s1 12529  df-substr 12530  df-splice 12531  df-reverse 12532  df-s2 12804  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-gim 16506  df-oppg 16580  df-symg 16602  df-pmtr 16666  df-psgn 16715  df-evpm 16716  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-dvr 17527  df-drng 17593  df-cnfld 18616
This theorem is referenced by:  evpmodpmf1o  18805  pmtrodpm  18806  mdetralt  19277
  Copyright terms: Public domain W3C validator