MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnodpm Structured version   Unicode version

Theorem psgnodpm 18922
Description: A permutation which is odd (i.e. not even) has sign -1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
evpmss.p  |-  P  =  ( Base `  S
)
psgnevpmb.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnodpm  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  ( N `  F )  =  -u 1 )

Proof of Theorem psgnodpm
StepHypRef Expression
1 eldif 3424 . . 3  |-  ( F  e.  ( P  \ 
(pmEven `  D )
)  <->  ( F  e.  P  /\  -.  F  e.  (pmEven `  D )
) )
2 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  F  e.  P )
32a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( N `  F )  =  1  ->  F  e.  P
) )
43ancrd 552 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( N `  F )  =  1  ->  ( F  e.  P  /\  ( N `
 F )  =  1 ) ) )
5 evpmss.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
6 evpmss.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  S
)
7 psgnevpmb.n . . . . . . . 8  |-  N  =  (pmSgn `  D )
85, 6, 7psgnevpmb 18921 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( F  e.  (pmEven `  D
)  <->  ( F  e.  P  /\  ( N `
 F )  =  1 ) ) )
98adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( F  e.  (pmEven `  D )  <->  ( F  e.  P  /\  ( N `  F )  =  1 ) ) )
104, 9sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( N `  F )  =  1  ->  F  e.  (pmEven `  D ) ) )
1110con3d 133 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( -.  F  e.  (pmEven `  D )  ->  -.  ( N `  F )  =  1 ) )
1211impr 617 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( F  e.  P  /\  -.  F  e.  (pmEven `  D ) ) )  ->  -.  ( N `  F )  =  1 )
131, 12sylan2b 473 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  -.  ( N `  F )  =  1 )
14 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
155, 7, 14psgnghm2 18915 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
1615adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
1714cnmsgnbas 18912 . . . . . 6  |-  { 1 ,  -u 1 }  =  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u 1 } ) )
186, 17ghmf 16595 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  N : P --> { 1 ,  -u
1 } )
1916, 18syl 17 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  N : P --> { 1 , 
-u 1 } )
20 eldifi 3565 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( P  \ 
(pmEven `  D )
)  ->  F  e.  P )
2120adantl 464 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  F  e.  P )
2219, 21ffvelrnd 6010 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  ( N `  F )  e.  { 1 ,  -u
1 } )
23 fvex 5859 . . . 4  |-  ( N `
 F )  e. 
_V
2423elpr 3990 . . 3  |-  ( ( N `  F )  e.  { 1 , 
-u 1 }  <->  ( ( N `  F )  =  1  \/  ( N `  F )  =  -u 1 ) )
2522, 24sylib 196 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  (
( N `  F
)  =  1  \/  ( N `  F
)  =  -u 1
) )
26 orel1 380 . 2  |-  ( -.  ( N `  F
)  =  1  -> 
( ( ( N `
 F )  =  1  \/  ( N `
 F )  = 
-u 1 )  -> 
( N `  F
)  =  -u 1
) )
2713, 25, 26sylc 59 1  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  ( N `  F )  =  -u 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    \ cdif 3411   {cpr 3974   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Fincfn 7554   1c1 9523   -ucneg 9842   Basecbs 14841   ↾s cress 14842    GrpHom cghm 16588   SymGrpcsymg 16726  pmSgncpsgn 16838  pmEvencevpm 16839  mulGrpcmgp 17461  ℂfldccnfld 18740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-xor 1367  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-ot 3981  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-word 12591  df-lsw 12592  df-concat 12593  df-s1 12594  df-substr 12595  df-splice 12596  df-reverse 12597  df-s2 12869  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-subg 16522  df-ghm 16589  df-gim 16631  df-oppg 16705  df-symg 16727  df-pmtr 16791  df-psgn 16840  df-evpm 16841  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-oppr 17592  df-dvdsr 17610  df-unit 17611  df-invr 17641  df-dvr 17652  df-drng 17718  df-cnfld 18741
This theorem is referenced by:  zrhpsgnodpm  18926  evpmodpmf1o  18930
  Copyright terms: Public domain W3C validator