MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnodpm Structured version   Unicode version

Theorem psgnodpm 18497
Description: A permutation which is odd (i.e. not even) has sign -1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
evpmss.p  |-  P  =  ( Base `  S
)
psgnevpmb.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnodpm  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  ( N `  F )  =  -u 1 )

Proof of Theorem psgnodpm
StepHypRef Expression
1 eldif 3471 . . 3  |-  ( F  e.  ( P  \ 
(pmEven `  D )
)  <->  ( F  e.  P  /\  -.  F  e.  (pmEven `  D )
) )
2 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  F  e.  P )
32a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( N `  F )  =  1  ->  F  e.  P
) )
43ancrd 554 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( N `  F )  =  1  ->  ( F  e.  P  /\  ( N `
 F )  =  1 ) ) )
5 evpmss.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
6 evpmss.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  S
)
7 psgnevpmb.n . . . . . . . 8  |-  N  =  (pmSgn `  D )
85, 6, 7psgnevpmb 18496 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( F  e.  (pmEven `  D
)  <->  ( F  e.  P  /\  ( N `
 F )  =  1 ) ) )
98adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( F  e.  (pmEven `  D )  <->  ( F  e.  P  /\  ( N `  F )  =  1 ) ) )
104, 9sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( N `  F )  =  1  ->  F  e.  (pmEven `  D ) ) )
1110con3d 133 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( -.  F  e.  (pmEven `  D )  ->  -.  ( N `  F )  =  1 ) )
1211impr 619 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( F  e.  P  /\  -.  F  e.  (pmEven `  D ) ) )  ->  -.  ( N `  F )  =  1 )
131, 12sylan2b 475 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  -.  ( N `  F )  =  1 )
14 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
155, 7, 14psgnghm2 18490 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
1615adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
1714cnmsgnbas 18487 . . . . . 6  |-  { 1 ,  -u 1 }  =  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u 1 } ) )
186, 17ghmf 16145 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  N : P --> { 1 ,  -u
1 } )
1916, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  N : P --> { 1 , 
-u 1 } )
20 eldifi 3611 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( P  \ 
(pmEven `  D )
)  ->  F  e.  P )
2120adantl 466 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  F  e.  P )
2219, 21ffvelrnd 6017 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  ( N `  F )  e.  { 1 ,  -u
1 } )
23 fvex 5866 . . . 4  |-  ( N `
 F )  e. 
_V
2423elpr 4032 . . 3  |-  ( ( N `  F )  e.  { 1 , 
-u 1 }  <->  ( ( N `  F )  =  1  \/  ( N `  F )  =  -u 1 ) )
2522, 24sylib 196 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  (
( N `  F
)  =  1  \/  ( N `  F
)  =  -u 1
) )
26 orel1 382 . 2  |-  ( -.  ( N `  F
)  =  1  -> 
( ( ( N `
 F )  =  1  \/  ( N `
 F )  = 
-u 1 )  -> 
( N `  F
)  =  -u 1
) )
2713, 25, 26sylc 60 1  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  ( N `  F )  =  -u 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    \ cdif 3458   {cpr 4016   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   1c1 9496   -ucneg 9811   Basecbs 14509   ↾s cress 14510    GrpHom cghm 16138   SymGrpcsymg 16276  pmSgncpsgn 16388  pmEvencevpm 16389  mulGrpcmgp 17015  ℂfldccnfld 18294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-xor 1365  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-rp 11230  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-word 12521  df-concat 12523  df-s1 12524  df-substr 12525  df-splice 12526  df-reverse 12527  df-s2 12792  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15840  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-subg 16072  df-ghm 16139  df-gim 16181  df-oppg 16255  df-symg 16277  df-pmtr 16341  df-psgn 16390  df-evpm 16391  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-cring 17075  df-oppr 17146  df-dvdsr 17164  df-unit 17165  df-invr 17195  df-dvr 17206  df-drng 17272  df-cnfld 18295
This theorem is referenced by:  zrhpsgnodpm  18501  evpmodpmf1o  18505
  Copyright terms: Public domain W3C validator