MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnodpm Structured version   Unicode version

Theorem psgnodpm 18127
Description: A permutation which is odd (i.e. not even) has sign -1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
evpmss.p  |-  P  =  ( Base `  S
)
psgnevpmb.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnodpm  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  ( N `  F )  =  -u 1 )

Proof of Theorem psgnodpm
StepHypRef Expression
1 eldif 3436 . . 3  |-  ( F  e.  ( P  \ 
(pmEven `  D )
)  <->  ( F  e.  P  /\  -.  F  e.  (pmEven `  D )
) )
2 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  F  e.  P )
32a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( N `  F )  =  1  ->  F  e.  P
) )
43ancrd 554 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( N `  F )  =  1  ->  ( F  e.  P  /\  ( N `
 F )  =  1 ) ) )
5 evpmss.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
6 evpmss.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  S
)
7 psgnevpmb.n . . . . . . . 8  |-  N  =  (pmSgn `  D )
85, 6, 7psgnevpmb 18126 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( F  e.  (pmEven `  D
)  <->  ( F  e.  P  /\  ( N `
 F )  =  1 ) ) )
98adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( F  e.  (pmEven `  D )  <->  ( F  e.  P  /\  ( N `  F )  =  1 ) ) )
104, 9sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( N `  F )  =  1  ->  F  e.  (pmEven `  D ) ) )
1110con3d 133 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( -.  F  e.  (pmEven `  D )  ->  -.  ( N `  F )  =  1 ) )
1211impr 619 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( F  e.  P  /\  -.  F  e.  (pmEven `  D ) ) )  ->  -.  ( N `  F )  =  1 )
131, 12sylan2b 475 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  -.  ( N `  F )  =  1 )
14 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
155, 7, 14psgnghm2 18120 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
1615adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
1714cnmsgnbas 18117 . . . . . 6  |-  { 1 ,  -u 1 }  =  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u 1 } ) )
186, 17ghmf 15853 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  N : P --> { 1 ,  -u
1 } )
1916, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  N : P --> { 1 , 
-u 1 } )
20 eldifi 3576 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( P  \ 
(pmEven `  D )
)  ->  F  e.  P )
2120adantl 466 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  F  e.  P )
2219, 21ffvelrnd 5943 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  ( N `  F )  e.  { 1 ,  -u
1 } )
23 fvex 5799 . . . 4  |-  ( N `
 F )  e. 
_V
2423elpr 3993 . . 3  |-  ( ( N `  F )  e.  { 1 , 
-u 1 }  <->  ( ( N `  F )  =  1  \/  ( N `  F )  =  -u 1 ) )
2522, 24sylib 196 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  (
( N `  F
)  =  1  \/  ( N `  F
)  =  -u 1
) )
26 orel1 382 . 2  |-  ( -.  ( N `  F
)  =  1  -> 
( ( ( N `
 F )  =  1  \/  ( N `
 F )  = 
-u 1 )  -> 
( N `  F
)  =  -u 1
) )
2713, 25, 26sylc 60 1  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  ( P  \  (pmEven `  D )
) )  ->  ( N `  F )  =  -u 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3423   {cpr 3977   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Fincfn 7410   1c1 9384   -ucneg 9697   Basecbs 14276   ↾s cress 14277    GrpHom cghm 15846   SymGrpcsymg 15984  pmSgncpsgn 16097  pmEvencevpm 16098  mulGrpcmgp 16696  ℂfldccnfld 17927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-ot 3984  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-tpos 6845  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-rp 11093  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-seq 11908  df-exp 11967  df-hash 12205  df-word 12331  df-concat 12333  df-s1 12334  df-substr 12335  df-splice 12336  df-reverse 12337  df-s2 12577  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-mhm 15566  df-submnd 15567  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-subg 15780  df-ghm 15847  df-gim 15889  df-oppg 15963  df-symg 15985  df-pmtr 16050  df-psgn 16099  df-evpm 16100  df-cmn 16383  df-abl 16384  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-cring 16754  df-oppr 16821  df-dvdsr 16839  df-unit 16840  df-invr 16870  df-dvr 16881  df-drng 16940  df-cnfld 17928
This theorem is referenced by:  zrhpsgnodpm  18131  evpmodpmf1o  18135
  Copyright terms: Public domain W3C validator